必備知識·逐點夯實2025屆新高考數學精準沖刺復習二次函數與一元二次方程、不等式核心考點·分類突破【課標解讀】【課程標準】1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式.2.結合二次函數圖象,會判斷一元二次方程的根的個數,以及解一元二次不等式.3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法.【核心素養】數學運算、邏輯推理、直觀想象.【命題說明】考向考法本節是高考的必考內容之一,常與函數、導數、解析幾何等內容相結合命題,重點考查不等式的求解等問題.預測2025年高考對于二次函數的考查,還是以一元二次不等式為主,難度不會太大,比如集合部分和函數定義域部分的求解等,稍有難度的主要還是與數形結合出題,整體保持穩定.必備知識·逐點夯實知識梳理·歸納1.一元二次不等式只含有____個未知數,并且未知數的最高次數是___的不等式,稱為一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均為常數,a≠0).2.二次函數的零點一般地,對于二次函數y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實數x叫做二次函數的零點.微點撥

二次函數的零點為對應方程的根,是一個實數,不是點的坐標.一23.三個二次的對應關系(其中a>0)判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數y=ax2+bx+c的圖象方程ax2+bx+c=0的根有兩個不相等的實數根x1,x2(x1<x2)沒有實數根ax2+bx+c>0的解集______________________ax2+bx+c<0的解集___________??{x|x<x1,或x>x2}

R

{x|x1<x<x2}微點撥1.解一元二次不等式一定要結合二次函數開口方向和不等號的方向下結論.2.若關于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集為(m,n),則x=m與x=n為一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個根.

(-∞,-a)∪(a,+∞)(-a,a)√√×基礎診斷·自測類型辨析改編易錯題號12,34

(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒有實數根,則不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集為R.(

)提示:(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒有實數根,則不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集為?.×2.(必修第一冊P52例3變條件)不等式-x2-5x+6≥0的解集為(

)A.{x|-6≤x≤1}

B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}【解析】選A.不等式-x2-5x+6≥0可化為x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集為{x|-6≤x≤1}.

核心考點·分類突破

[-2,-1)∪(2,3]解題技法

解題技法解含參數的一元二次不等式時分類討論的方法(1)當二次項系數中含有參數時,應討論二次項系數是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數為正的形式.(2)當不等式對應的一元二次方程的根的個數不確定時,討論判別式Δ與0的關系.(3)確定無根時可直接寫出解集;確定方程有兩個不相等的實根時,要討論兩根的大小關系,從而確定解集形式.

解題技法已知一元二次不等式的解集,就能夠得到相應的一元二次方程的兩根,由根與系數的關系,可以求出相應的系數.注意結合不等式解集的形式判斷二次項系數的正負.對點訓練1.若ax2+bx+c>0的解集為(-∞,-2)∪(4,+∞),則對于函數f(x)=ax2+bx+c,有(

)A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)D.f(2)<f(-1)<f(5)

(-2,-1)(答案不唯一)

角度2

在給定區間上的恒成立問題[例4]金榜原創·易錯對對碰(1)(一題多法)若對于x∈[1,3],mx2-mx+m-6<0(m≠0)恒成立,則m的取值范圍是

.

解題技法在給定區間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數的值(或范圍).(2)轉化為函數值域問題,即已知函數f(x)的值域為[m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.(3)對于以下兩種題型,可以利用二次函數在端點m,n處的取值特點確定不等式求范圍.①ax2+bx+c<0(a>0)對x∈[m,n]恒成立;②ax2+bx+c>0(a<0)對x∈[m,n]恒成立.提醒:一般地,知道誰的范圍,就選誰當主元;求誰的范圍,誰就是參數.如本例(1)中建立關于x的函數,m為參數,本例(2)中建立關于m的函數,x為參數.

解題技法一元二次不等式在給定區間上的有解問題解題策略(1)分離參數法:把不等式化為a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max.(2)最值轉化法;若f(x)>0在集合A中有解,