第二十九章投影與視圖

29.1投影

課時1平行投影與中心投影

【知識與技能】

L通過實踐探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念.

2.了解平行投影和中心投影的含義，認識兩者之間的區別.

3.會在投影面上畫出平行投影和中心投影.

【過程與方法】

1.通過聯系生活實際,初步感受平行投影和中心投影,體會數學與生活之間的

密切聯系.

2.認識中心投影和平行投影的區別與聯系,發展空間想象能力.

【情感態度與價值觀】

1.通過觀察、分析、探究得出結論，激發學生學習數學的興趣，培養學生觀察

能力和實踐能力.

2.使學生學會關注生活中有關投影的數學問題，提高數學的應用意識,增強學

好數學的信心.

<80?

理解平行投影和中心投影的特征.

在投影面上畫出平面圖形的平行投影或中心投影.

多媒體課件.

導入一：

【師生活動】教師課件展示“鳥巢”“水立方”等建筑圖片，學生觀察欣賞.

［過渡語］你注意過周圍物體在日光或燈光下的影子嗎?影子和物體有著怎

樣的聯系呢?人們從光線照射物體會產生影子得到啟發，得出了投影的有關知識,

并用這些知識來繪制視圖.在生產實踐中，制造機器、建筑高樓、設計火箭……

無一不和視圖密切相關.本章我們將學習投影的有關知識,并借助投影認識視圖.

導入二：

你看過皮影戲嗎？皮影戲又名“燈影子”，是我國民間一種古老而奇特的戲曲

藝術,在關中地區非常流行.皮影戲演出簡便,表演領域廣闊,演技細膩,活躍于廣

大農村，深受農民的歡迎.

幄㈤匕

【師生活動】教師課件展示圖片，學生欣賞圖片，有條件的可以放映電影

《小兵張嘎》部分片段一一小胖墩和他父親在日軍炮臺內為日本人表演皮影戲,

簡單介紹有關皮影戲的知識,導出本節課的課題.

導入三：

北京故宮中的日暑聞名世界，是我國光輝燦爛的文化瑰寶.它是我國古代利用

日影測定時刻的儀器，它由“劈面”與“辱針”組成，太陽光照在日辱中軸上產

生投影，辱針的影子就會投向唇面，隨著時間的推移,唇針的影子長度發生變化,

唇針的影子在唇面上慢慢移動，聰明的古人以此來顯示時刻.

【師生活動】教師展示圖片，引入新課,學生觀察思考,初步感知投影的概念.

［設計意圖］通過欣賞大家熟悉的名建筑導出本章內容,讓學生體會數學與生

活之間的密切聯系,激發學習本章的興趣.學生通過觀看電影片段或欣賞圖片，了

解中國傳統文化,數學課堂上滲透德育教育,通過對皮影和日辱的介紹，讓學生初

步感知投影的概念,為下面的學習做好鋪墊.

［過渡語］影子隨處可見，你能舉出生活中關于物體在光線的照射下形成影

子的實例嗎？

一、認識概念

思路一

【師生活動】

(1)學生舉出物體在光線的照射下形成影子的例子,教師點評.

(2)教師出示投影圖片，讓學生感受日常生活中的一些投影現象.

(3)學生嘗試總結什么是投影,互相補充,最后教師與學生一起歸納總結.

課件展示圖片：

【結論】一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影

子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線,投影所在的平面叫做投影面.

［過渡語］我們生活中的所有投影是不是都一樣呢？

【師生活動】

(1)教師展示探照燈發出的光線圖片，學生觀察.

(2)學生思考:探照燈發出的光線與燈泡發出的光線是否相同？太陽光線與哪種

光線相同？

(3)學生小組合作交流,共同歸納，小組代表發言，教師點評,然后歸納有關概念.

【結論】有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈中的光線.

由平行光線形成的投影叫做平行投影.例如，物體在太陽光的照射下形成的影子

（簡稱日影）就是平行投影.

由同一點（點光源）發出的光線形成的投影叫做中心投影.例如，物體在燈泡發

出的光照射下形成的影子就是中心投影.

思路二

【思考】

（1）物體在日光或燈光的照射下會形成影子，影子的形成與哪些因素有關？

（物體本身、照射光線、形成影子的平面）

（2）你能舉出生活中的一些實例嗎？

【師生活動】教師展示生活中的圖片（同思路一），學生觀察思考后，小組合

作交流,教師結合學生的結論,給出投影的一些概念.

【結論】一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影

子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線,投影所在的平面叫做投影面.

【師生活動】教師展示分別用探照燈和燈泡作為光源,在教室的墻面上形成

三角尺的影子.

【思考】

（1）探照燈的光線與燈泡發出的光線有什么不同？

（2）太陽光與哪種光線相同？

【師生活動】學生觀察思考后小組合作交流，教師對學生的回答進行點評,

歸納概念.

【結論】有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈中的光線.

由平行光線形成的投影叫做平行投影.例如，物體在太陽光的照射下形成的影子

（簡稱日影）就是平行投影.

由同一點（點光源）發出的光線形成的投影叫做中心投影.例如I,物體在燈泡發

出的光照射下形成的影子就是中心投影.

［設計意佟|］通過觀察圖片，感知數學概念的形成來源于生活，通過觀察、思

考,抽象出有關概念,對投影的感性認識上升到理性認識,通過理論聯系實際，不

僅使學生加深了對概念的理解,而且突出了數學與現實的聯系,激發了學生的求

知欲望.

二、共同探究

［過渡語］通過觀察我們知道有兩種不同的投影一一平行投影和中心投影,

下面我們一起來探討它們的區別和聯系.

【思考】

（1）如圖（1）是同一時刻的兩棵樹及其影子,請你在圖中畫出形成樹影的光線,

并判斷它是太陽光線還是燈光的光線.若是燈光的光線,請確定光源的位置.

（2）請判斷如圖（2）的兩棵樹的影子是在太陽光下形成的還是在燈光下形成的,

并畫出同一時刻旗桿的影子（用線段表示）.

（3）通過上邊的練習，請觀察平行投影和中心投影，它們有什么相同點與不同點？

【師生活動】學生獨立思考后，小組合作交流,動手操作后交流答案,教師進

行點評，共同歸納.

【課件展示】

［課件展示】平行投影與中心投影的區別與聯系:

區別聯系

平行投都是物體在光線的照射

平行的投影線

影下在某個平面內形成的

中心投從一點發出的投影子（即都是投影）

影影線

［設計意佟|］通過解決設計的練習，學生經歷觀察、思考、操作、交流、歸納

等數學活動，得出平行投影和中心投影的區別與聯系，不僅加深了對平行投影和

中心投影的概念的理解和掌握，同時提高了學生的應用意識和能力，讓學生獲得

了成功的體驗.

三、例題講解

物園(1)地面上直立一根標桿AB,如圖(1),桿長為2m.

①當陽光垂直照射地面時,標桿在地面上的投影是什么圖形？

②當陽光與地面的傾斜角為60°時,標桿在地面上的投影是什么圖形?并畫出

投影示意圖.

(2)一個正方形紙板/四和投影面平行(如圖(2)),投影線和投影面垂直，點C

在投影面上的對應點為C,請畫出正方形紙板的投影示意圖.

教師引導分析：

(1)當陽光垂直照射地面時，點A的影子落在什么地方？

(2)當陽光與地面的傾斜角為60°時，點A的影子落在什么地方？

(3)在直角三角形中，已知一銳角和一直角邊,怎樣求出三角形的另一直角邊？

(4)當投影線與投影面垂直時，如何畫出頂點A,B,C,〃的投影？

【師生活動】學生獨立思考,動手操作完成畫圖及求解,小組代表展示成果,

教師點評.

解：(1)①當陽光垂直照射地面時，標桿在地面上的投影是一個點.因為標桿與

地面垂直，陽光垂直照射地面時與標桿平行，使得影子與點6重合.

②當陽光與地面的傾斜角為60°時，如圖(3).

在RtzMa'中，N4儂60。，AB=2,

AEAB2^/3

?.?tan/4?BC=J,.?.除3.

2/

...標桿在地面上的投影是長為虧m的線段,如圖⑶的BC.

(2)因為紙板與投影面平行,投影線和投影面垂直,所以分別過點A,8,。作投影

面的垂線，垂足分別為順次連接C',〃'即可.如圖(4)為所畫的

投影.

［設計意圖］通過例題的教學進一步加深對投影的理解和掌握,在鞏固所學的

知識的同時，為下節課的正投影做鋪墊，通過分析、思考、交流、解答等數學活

動,培養學生分析問題、解決問題的能力.

［知識拓展］(1)光線移動時，物體影子的大小、方向也隨著變化，物體的形狀

與影子的形狀有密切的聯系.

(2)光是沿直線傳播的，因此我們可以由投影與物體確定光線方向.

(3)平行投影的應用：①根據陽光下影子的大小、位置的變化判斷時刻的不

同；②已知一個物體及其在陽光下的影子，可作出同一時刻另一個物體在陽光下

的影子；③根據物高和影長的關系可以求物高或影長.

(4)中心投影的應用：①根據點光源下兩種或兩種以上物體及影子的情況判斷

點光源的位置；②已知點光源的位置,可以畫物體在點光源下的影子.

1.一般地,用光線照射物體,在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物

體的投影.

2.有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈中的光線.由平行光

線形成的投影叫做平行投影.

3.由同一點(點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影.

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第1課時

1.認識概念

平行投影

中心投影

2.共同探究

3.例題講解

例題

-、教材作業

二、課后作業

【基礎鞏固】

L下面說法正確的是)

A.所有的光線都是平行的

B.太陽光線是平行的

C.同一組物體的平行投影與中心投影是相同的

D.以上說法都不對

2.在同一時刻,兩根長度不等的竹竿置于陽光之下，但它們的影長相等,那么這兩

根竹竿的相對位置是)

A.兩根都垂直于地面B.兩根平行斜插在地上

C.兩根竹竿不平行D.一根倒在地上

3.下列投影不是中心投影的是)

CD

4.如圖，晚上小亮在路燈下散步,在小亮由A處走到8處這一過程中，他在地上的

影子（）

A.逐漸變短

B.逐漸變長

C.先變短后變長

D.先變長后變短

5.下列結論正確的有（）

①同一時刻物體在陽光照射下影子的方向是相同的；②物體在任何光線照射下

影子的方向都是相同的；③物體在路燈照射下,影子的方向與路燈的位置有關；

④物體在光線照射下,影子的長短僅與物體的長短有關.

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，小華為了測量所住樓房的高度，他請來同學幫忙,測得同一時刻他自己的

影長和樓房的影長分別是0.5米和15米，已知小華的身高為1.6米,那么他所住

樓房的高度為米.

7.如圖，光源尸在橫桿4?的正上方，48在燈光下的影子為CD,AB〃

皿力於2m,切=6m,點尸至U5的距離是2.7m,則AB與切之間的距離是

m.

/\

/\

cD

8.如圖，趙亮同學想利用影長測量學校旗桿的高度，他在某一時刻直立1米長的

標桿測得其影長為L2米，同時旗桿的影子一部分在地面上，另一部分在某一建

筑的墻上，分別測得其長度分別為9.6米和2米，則學校旗桿的高度為

□□

□□

9.如圖,48和龍是直立在地面上的兩根立柱，/作5叫某一時刻48在陽光下的

投影以＞

（1）請在圖中畫出此時應在陽光下的投影；

⑵在測量的投影時，同時測量出應在陽光下的投影長為6m,請你計算應的

長.

10.如圖，小華、小軍、小麗同時站在路燈下，其中小軍和小麗的影子分別是

AB,CD.

⑴請你在圖中畫出路燈燈泡所在的位置（用點尸表示）；

（2）畫出小華此時在路燈下的影子（用線段如表示）.

【能力提升】

11.三角尺在燈泡。的照射下在墻上形成影子（如圖）.現測得力=20cm,%'=50cm,

這個三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比值是.

12.如圖，小明在A時測得某樹的影長為2m,8時又測得該樹的影長為8m,若兩次

日照的光線互相垂直,則樹的高度為m.

泰JE/

13.如圖，光源L距地面(￡A)8米,距正方形頂端(/給2米，已知在光源照射下,正

方形在左側的影子應長5米,求正方形在右側的影子CF的長.

i.

金

B￡N；C

【拓展探究】

14.如圖,王琳同學在晚上由路燈A走向路燈內當他行到夕處時發現,他在路燈8

下的影長為2米,且恰好位于路燈A的正下方,接著他又走了6.5米到0處，此時

他在路燈A下的影子恰好位于路燈8的正下方.(已知王琳身高1.8米,路燈6高

9米)

⑴標出王琳站在尸處在路燈6下的影子；

(2)計算王琳站在。處在路燈A下的影長；

(3)計算路燈/的高度.

A

【答案與解析】

LB解析:只有平行投影的光線是平行的,而中心投影的光線是不平行的,故A錯

誤；太陽光線是平行的,B正確；根據平行投影及中心投影的定義及特點知同一

組物體的平行投影與中心投影是不相同的，故C錯誤；因為B選項正確，所以D

選項錯誤.故選B.

2.C解析:在同一時刻，兩根長度不等的竹竿置于陽光之下,但它們的影長相等,

那么這兩根竹竿不平行.故選C.

3.D解析:分別連接頭頂和影子的端點,A,B,C中的兩條光線交于一點，是中心投

影,D中的兩條光線平行,是平行投影.故選D.

4.C解析：因為小亮由A處走到6處這一過程中，離光源是由遠到近再到遠的過

程,所以他在地上的影子先變短后變長.故選C.

5.B解析:①因為太陽光線是平行光線，所以同一時刻物體在陽光照射下，影子的

方向是相同的,故①正確；②物體在燈光的照射下影子的方向與物體的位置有關,

故②錯誤；③物體在路燈照射下，影子的方向與路燈的位置有關，故③正確；④

物體在點光源的照射下,影子的長短與物體的長短和光源的位置有關,故④錯誤.

所以正確的有2個.故選B.

6.48解析:如圖，易證△/比?！鳌ǚ绖t有AC,.BC=DF,.EF,解得上48米.

7.1.8解析：?：AB〃CD,：.APABsAPCD,：.AB：緇點尸到4?的距離：點P到

的距離.，2：6=點0到4。的距離：2.7,.,.點尸到4。的距離為0.9m,則AB與

0之間的距離為2.7-0.9=1.8（m）.

AE1AE1

8.10解析:如圖，作DEUB于點、E根據題意得疝=巧,即獲=巧,解得心8米,

則/作44g8+2=10（米）.即旗桿的高度為10米.

9.解：⑴如圖,連接AC,過點D作DF〃AC,交直線勿于點內線段）即為龍的

投影.

ABBC

②?：AC〃DF,：./AC氏4DFE.?:4ABONDE六90°,：.4ABCs叢DEF,.?.DE=EF,

53

，朦=10m.

10.解:如圖.⑴點尸為所求的點.⑵跖為小華此時在路燈下的影子.

2

11.1解析：由題意知三角尺與其影子相似，它們周長的比就等于相似比.因為

OA2022

病=而=&所以三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比值是E

12.4解析：如圖，過點C作儲：由題意，得△儲T是直角三角形，且N

ECS

又，，/母N6ONE辦N〃叱90°，:./舁/DCRJRMEDC

EDDC

sRt4CDF,則有DC=F￡,即DC=ED?刈代入數據可得加=16,則膝4m.

13.解：由題意知四邊形DEFG是正方形,且LNLBC,：.DG/7EF,冊叱FG,四邊形

DMLM513

〃以"與四邊形惻%是矩形，.'.△/Os△應川.#.BE+EN=LN解得D?：.吩3,