第1頁（共1頁）2024年遼寧省撫順市、本溪市、鐵嶺市、遼陽市、葫蘆島市中考數學模擬試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題3分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）實數﹣3的相反數是（）A．﹣ B． C．3 D．﹣32．（3分）下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a3＝a5 C．（a﹣b）3＝a2+b2+2ab D．（a2b7）3＝a6b214．（3分）下列調查中，適合普查的是（）A．對于全年級學生的體質檢查 B．對于生產煙花的安全的檢查 C．對于長江水質的情況的調查 D．對于端午節上市的粽子食用安全的檢查5．（3分）某初中三年級男子足球隊的年齡分布如下．則對于下列說法，正確的是（）年齡（歲）1213141516人數（人）25472A．中位數為14.1歲，平均年齡為14.5歲 B．眾數為15歲，平均年齡為14.1歲 C．中位數為14.5歲，平均年齡為14.1歲 D．眾數為15歲，平均年齡為14歲6．（3分）我市在落實國家“精準扶貧”政策的過程中，為某村修建一條長為400米的公路，由甲、乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立施工2天后，乙工程隊加入，兩工程隊聯合施工3天后，還剩50米的工程．已知甲工程隊每天比乙工程隊多施工2米，求甲、乙工程隊每天各施工多少米？設甲工程隊每天施工x米，乙工程隊每天施工y米．根據題意，所列方程組正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）若反比例函數的圖象分別在第二、四象限，則一次函數y＝k（x﹣1）的圖象不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DA：DC＝1：3，BD＝CD．E為線段BC上的一點，過點E作EF⊥AB，EG⊥CD．若BC＝2，則EF+EG的長為（）A．2 B．2 C． D．9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E為線段OB上的一點，OE：EB＝1：，連接DE并延長交CB的延長線于點F，連接OF交⊙O于點G，若BF＝2，則的長是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6cm，點M從點C出發沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動到點B，同時點N從點C出發沿射線CA方向以2cm/s的速度勻速運動，當點M停止運動時，點N也隨之停止．過點M作MP∥CA交AB于點P，連接MN，NP，作△MNP關于直線MP對稱的△MN′P，設運動時間為ts，△MN′P與△BMP重疊部分的面積為Scm2，則能表示S與t之間函數關系的大致圖象為（）A． B． C． D．二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）11．（3分）第七次全國人口普查數據結果顯示，全國人口約為1411780000人．將1411780000用科學記數法可表示為．12．（3分）因式分解：16xy2﹣4x＝．13．（3分）一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上，每塊地磚的大小、質地完全相同，則該小球停留在陰影部分的概率是．14．（3分）如圖，直線MN∥PQ，△ABC的頂點A和C分別落在直線MN和PQ上，若AB平分∠MAC，CA平分∠BCQ，且∠PCB＝68°，則∠B的度數為．15．（3分）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸上，點B的坐標為（9，3）．分別以點B、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D、E．連接DE，交AB于點F．則點F的坐標為．16．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，且∠ACB＝60°．將△ABC沿AC方向平移得△A'B'C'，連接A'B'．當∠A'BB'＝90°時，平移的距離為．17．（3分）如圖，A，B分別為反比例函數y＝（k＜0）上的點，連接OA并延長；C為x軸上的一點，連接CB并延長；OA，CP交于點P．若，且S△POC＝，則k＝．18．（3分）已知△APB中，PA＝3，PB＝6，以AB為邊向下作矩形ABCD，對角線AC與BD相交于點O，且∠AOD＝60°，連接PO，則PO的最大值為．三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）19．（10分）先化簡，再求值：，其中﹣（﹣2）0．20．（12分）我國古代曾以“六藝”（禮、樂、射、御、書、數）教授學生，其中“樂”和“書”主要是用音樂和書畫來進行審美教育某校計劃在課后服務中開設美育相關課程，并在全校范圍內隨機抽取了部分學生進行調查，要求學生從A．書法、B．國畫、C．合唱、D．水彩畫四個課程中選擇一個自己最喜愛的．將調查結果繪制成如圖兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息解答下列問題：（1）本次被調查的學生有人；（2）在扇形統計圖中，C所對應的圓心角度數為，請補全條形統計圖；（3）該校共有1200名學生，請你估計選擇“A．書法”課程的學生有多少人；（4）小明和小華打算從四個課程中各自選擇一個作為美育課程，請用列表或畫樹狀圖的方法求出小明和小華所選的課程恰好相同的概率．四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）21．（12分）小區綠化是城市綠化建設的重要組成部分，是改善生態環境，提高環境質量的重要因素．某建設單位在小區建設中計劃安排甲、乙兩個工程隊完成小區綠化工作已知甲工程隊每天能完成的綠化面積是乙工程隊每天能完成的綠化面積的1.5倍，甲工程隊單獨完成900m2的綠化面積所用天數比乙工程隊單獨完成800m2的綠化面積所用天數少1天．（1）求甲、乙兩個工程隊每天能完成的綠化面積分別是多少m2？（2）該小區需要綠化的面積為8000m2，建設單位需付給甲工程隊每天綠化費為0.35萬元，付給乙工程隊每天綠化費為0.3萬元，若要使這次的綠化總費用不超過11萬元，則至少應安排甲工程隊工作多少？22．（12分）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角α的度數來調整晾桿的高度，圖2是晾衣架的側面的平面示意圖，AB和CD分別是兩根長度不等的支撐桿，夾角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求點A離地面的高度AE；（參考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）調節α的大小，使A離地面高度AE＝125cm時，求此時C點離地面的高度CF．五、解答題（滿分12分）23．（12分）2024年6月6日是第29個全國“愛眼日”，活動主題為“關注普遍眼健康，共筑“睛”彩大世界”．某電商銷售一款護眼貼，每盒的進價為50元，銷售平臺要求銷售單價不低于56元，且獲利不高于34%．根據銷售經驗，當銷售單價為56元時，每周可售出200盒，銷售單價每上漲1元，每周銷售量減少10盒．現電商決定提價銷售，設銷售單價為x元，每周銷售量為y盒．（1）請求出y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）當護眼貼的銷售單價定為多少元時，該電商每周獲利1440元？（3）將護眼貼的銷售單價定為多少元時，每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？六、解答題（滿分12分）24．（12分）如圖，△ABC內接于⊙O，D是⊙O的直徑AB的延長線上一點，∠DCB＝∠OAC．過圓心O作BC的平行線交DC的延長線于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半徑．七、解答題（滿分12分）25．（12分）如圖，在等邊△ABC中，BD⊥AC，垂足為D，點F是射線BD上一點．（1）如圖①，點F在線段BD上，連接CF，當BF＝CF時，請直接寫出BC與BF之間的數量關系；（2）如圖②，點E為線段AB上一點，連接EF，以EF為邊向上構造等邊△GEF，GF的延長線與射線BC交于點H，連接EH．請寫出線段BE，BF，BH之間的數量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，當DF＝BD，∠BFE＝15°時，請直接寫出△GEH與△ABC面積的比值．八、解答題（滿分14分）26．（14分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上第一象限內時，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點D，連接CP，CE，當△PCE的面積被直線BC分成3：1兩部分時，求出點P的坐標；（3）拋物線上是否存在點P，使∠PBA+∠OCB＝∠α，當tanα＝時，請直接寫出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

2024年遼寧省撫順市、本溪市、鐵嶺市、遼陽市、葫蘆島市中考數學模擬試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題3分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）實數﹣3的相反數是（）A．﹣ B． C．3 D．﹣3【分析】根據相反數的定義判斷即可．【解答】解：﹣3的相反數是3，故選：C．【點評】本題考查了相反數：只有符號不同的兩個數是互為相反數，掌握其定義是解題的關鍵．2．（3分）下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項B、C、D中的圖形都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項A中的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：A．【點評】本題考查中心對稱圖形，熟知中心對稱圖形是指圖形繞著某個點旋轉180°能與原來的圖形重合是解題的關鍵．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a3＝a5 C．（a﹣b）3＝a2+b2+2ab D．（a2b7）3＝a6b21【分析】A．根據完全平方公式進行計算，然后判斷即可；B．先判斷a2，a3是不是同類項，能否合并，然后判斷即可；C．根據完全平方公式和多項式乘多項式法則進行計算，然后判斷即可；D．根據冪的乘方和積的乘方法則進行計算，然后判斷即可．【解答】解：A．∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；B．∵a2，a3不是同類項，不能合并，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；C．∵（a﹣b）3＝（a﹣b）2（a﹣b）＝（a2﹣2ab+b2）（a﹣b）＝a3﹣2a2b+ab2﹣a2b+2ab2﹣b3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；D．∵（a2b7）3＝a6b21，∴此選項的計算正確，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了整式的有關運算，解題關鍵是熟練掌握合并同類項法則、完全平方公式、多項式乘多項式法則、積的乘方和冪的乘方法則．4．（3分）下列調查中，適合普查的是（）A．對于全年級學生的體質檢查 B．對于生產煙花的安全的檢查 C．對于長江水質的情況的調查 D．對于端午節上市的粽子食用安全的檢查【分析】根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似解答．【解答】解：A．對于全年級學生的體質檢查，適合全面調查，故本選項符合題意；B．對于生產煙花的安全的檢查，適合抽樣調查，故本選項不符合題意；C．對于長江水質的情況的調查，適合抽樣調查，故本選項不符合題意；D．對于端午節上市的粽子食用安全的檢查，適合抽樣調查，故本選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．5．（3分）某初中三年級男子足球隊的年齡分布如下．則對于下列說法，正確的是（）年齡（歲）1213141516人數（人）25472A．中位數為14.1歲，平均年齡為14.5歲 B．眾數為15歲，平均年齡為14.1歲 C．中位數為14.5歲，平均年齡為14.1歲 D．眾數為15歲，平均年齡為14歲【分析】根據眾數和中位數、平均數的意義和計算方法進行計算即可．【解答】解：根據表中的數據可得，15歲的隊員人數最多，故眾數為15，共有人數：2+5+4+7+2＝20（人），故第10和11名隊員年齡的平均值為中位數，即中位數為：＝14．平均數為×（12×2+13×5+14×4+15×7+16×2）＝14.1（歲），故選：B．【點評】本題考查眾數和中位數、平均數，理解眾數和中位數、平均數的意義是正確解答的前提．6．（3分）我市在落實國家“精準扶貧”政策的過程中，為某村修建一條長為400米的公路，由甲、乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立施工2天后，乙工程隊加入，兩工程隊聯合施工3天后，還剩50米的工程．已知甲工程隊每天比乙工程隊多施工2米，求甲、乙工程隊每天各施工多少米？設甲工程隊每天施工x米，乙工程隊每天施工y米．根據題意，所列方程組正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據甲工程隊獨立施工2天后，乙工程隊加入，兩工程隊聯合施工3天后，還剩50米的工程和甲工程隊每天比乙工程隊多施工2米，可以列出相應的二元一次方程組，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，，故選：D．【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．7．（3分）若反比例函數的圖象分別在第二、四象限，則一次函數y＝k（x﹣1）的圖象不經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據反比例函數與一次函數的性質解答即可．【解答】解：∵反比例函數的圖象分別在第二、四象限，∴k＜0，∴一次函數y＝k（x﹣1）＝kx﹣k，∴一次函數不經過第三象限，故選：C．【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的性質，熟練掌握兩個函數性質是關鍵．8．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DA：DC＝1：3，BD＝CD．E為線段BC上的一點，過點E作EF⊥AB，EG⊥CD．若BC＝2，則EF+EG的長為（）A．2 B．2 C． D．【分析】連接DE，令AD＝x，由勾股定理求出AC＝＝2x，由勾股定理得到（4x）2+＝，求出x＝，即可得到AC＝2x＝2，由三角形面積公式得到BD?AC＝BD?EF+CD?GE，因此FE+EG＝AC＝2．【解答】解：連接DE，令AD＝x，∵DA：DC＝1：3，∴DC＝3x，∵∠A＝90°，∴AC＝＝2x，∵BD＝CD＝3x，∴AB＝3x+x＝4x，∵AB2+AC2＝BC2，∴（4x）2+＝，∴x＝，∴AC＝2x＝2，∵△BCD的面積＝△BDE的面積+△CDE的面積，EF⊥AB，EG⊥CD，CA⊥BD，∴BD?AC＝BD?EF+CD?GE，∴FE+EG＝AC＝2．故選：B．【點評】本題考查勾股定理，三角形的面積，關鍵是由勾股定理得到關于x的方程，由三角形面積公式得到FE+EG＝AC＝2．9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E為線段OB上的一點，OE：EB＝1：，連接DE并延長交CB的延長線于點F，連接OF交⊙O于點G，若BF＝2，則的長是（）A． B． C． D．【分析】連接OD、BD，通過證得△ABD是等腰直角三角形得出OD⊥AB，進而證得OD∥FC，即可得到△DOE∽△FBE，得出＝，進一步得到∠BOF＝60°，OB＝2，然后根據弧長公式求得即可．【解答】解：連接OD、BD，∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠ABC，∴OD∥FC，∴△DOE∽△FBE，∴＝，∵OB＝OD，OE：EB＝1：，∴tan∠BOF＝＝，∴∠BOF＝60°，∴BF＝2，∴OB＝2，∴的長＝＝π，故選：C．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，圓周角定理，三角形相似的判定和性質解直角三角形以及弧長公式等，作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．10．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6cm，點M從點C出發沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動到點B，同時點N從點C出發沿射線CA方向以2cm/s的速度勻速運動，當點M停止運動時，點N也隨之停止．過點M作MP∥CA交AB于點P，連接MN，NP，作△MNP關于直線MP對稱的△MN′P，設運動時間為ts，△MN′P與△BMP重疊部分的面積為Scm2，則能表示S與t之間函數關系的大致圖象為（）A． B． C． D．【分析】首先求出當點N′落在AB上時，t的值，分0＜t≤2或2＜t≤6兩種情形，分別求出S的解析式，可得結論．【解答】解：如圖1中，當點N′落在AB上時，取CN的中點T，連接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等邊三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等邊三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四邊形CMPN是平行四邊形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如圖2中，當0＜t≤2時，過點M作MK⊥AC于K，則MK＝CM?sin60°＝t，∴S＝?（6﹣t）?t＝﹣t2+t．如圖3中，當2＜t≤6時，S＝?MQ?PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，觀察圖象可知，選項A符合題意，故選：A．【點評】本題考查動點問題，等邊三角形的性質，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）11．（3分）第七次全國人口普查數據結果顯示，全國人口約為1411780000人．將1411780000用科學記數法可表示為1.41178×109．【分析】根據把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，進行求解即可出得出答案．【解答】解：1411780000＝1.41178×109．故答案為：1.41178×109．【點評】本題主要考查了科學記數法，熟練應用科學記數法進行求解是解決本題的關鍵．12．（3分）因式分解：16xy2﹣4x＝4x（2y+1）（2y﹣1）．【分析】提取4x后，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝4x（4y2﹣1）＝4x（2y+1）（2y﹣1）．故答案為：4x（2y+1）（2y﹣1）．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．13．（3分）一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上，每塊地磚的大小、質地完全相同，則該小球停留在陰影部分的概率是．【分析】若將每個方格地磚的面積記為4，則圖中地磚的總面積為36，其中陰影部分的面積為7，再根據概率公式求解可得．【解答】解：若將每個方格地磚的面積記為4，則圖中地磚的總面積為36，其中陰影部分的面積為7，所以該小球停留在黑色區域的概率；故答案為：．【點評】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率＝相應的面積與總面積之比．14．（3分）如圖，直線MN∥PQ，△ABC的頂點A和C分別落在直線MN和PQ上，若AB平分∠MAC，CA平分∠BCQ，且∠PCB＝68°，則∠B的度數為96°．【分析】由鄰補角的性質求出∠BCQ＝180°﹣68°＝112°，由角平分線定義得到∠ACQ＝∠ACB＝∠BCQ＝56°，由平行線的性質推出∠MAC＝∠ACQ＝56°，由角平分線定義求出∠BAC＝∠MAC＝28°，由三角形內角和定理即可求出∠B的度數．【解答】解：∵∠PCB＝68°，∴∠BCQ＝180°﹣68°＝112°，∵CA平分∠BCQ，∴∠ACQ＝∠ACB＝∠BCQ＝56°，∵MN∥PQ，∴∠MAC＝∠ACQ＝56°，∵AB平分∠MAC，∴∠BAC＝∠MAC＝28°，∴∠B＝180°﹣56°﹣28°＝96°．故答案為：96°．【點評】本題考查平行線的性質，三角形內角和定理，角平分線定義，關鍵是由平行線的性質推出∠MAC＝∠ACQ＝56°，由三角形內角和定理即可求出∠B的度數．15．（3分）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸上，點B的坐標為（9，3）．分別以點B、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D、E．連接DE，交AB于點F．則點F的坐標為（，）．【分析】如圖，過點B作BH⊥x軸于點H，設OA＝AB＝x．利用勾股定理求出x，可得結論．【解答】解：如圖，過點點B作BH⊥x軸于點H，設DE交x軸于G，OA＝AB＝x．∵B（9，3），∴BH＝3，OH＝9，AH＝9﹣x，在Rt△ABH中，則有x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5，∴OA＝AB＝BC＝5，∴A（5，0），∴DE垂直平分線段BC，∴GH＝BC＝2.5，∴OG＝6.5，∴AG＝1.5，AH＝4，∵FG∥BH，∴△AFG∽△ABH，∴，∴，∴FG＝，∴F（），故答案為：（）．【點評】本題考查菱形的性質，勾股定理，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．16．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，且∠ACB＝60°．將△ABC沿AC方向平移得△A'B'C'，連接A'B'．當∠A'BB'＝90°時，平移的距離為．【分析】根據平移的性質和平行線的性質，可以得到∠BA′A＝∠BA′C＝90°，再根據勾股定理，即可求得平移的距離．【解答】解：由題意可得，BB′∥AA′，∠A'BB'＝90°，∴∠A'BB'＝∠BA′A＝90°，∴∠BA′C＝90°，設AA′＝x，則A′C＝2﹣x，∵AB＝3，AC＝2，∠ACB＝60°，∠BA′A＝∠BA′C＝90°，∴AB2＝A′B2+A′A2，BC＝2A′C＝2（2﹣x），∴A′B2＝9﹣x2，∴[2（2﹣x）]2＝（2﹣x）2+（9﹣x）2，解得x＝或x＝（舍去），故答案為：．【點評】本題考查勾股定理、平移的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．17．（3分）如圖，A，B分別為反比例函數y＝（k＜0）上的點，連接OA并延長；C為x軸上的一點，連接CB并延長；OA，CP交于點P．若，且S△POC＝，則k＝．【分析】過點P，A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為D，F，H，連接OB并延長交DP的延長線于G，則S△OAF＝|k|，S△OBH＝|k|，證△OAF∽△OPD得，則S△OPD＝2|k|，證△OBC∽△GBP得，則，再證△OBH∽△OGD得，則S△OGD＝|k|，由此得S△OPG＝S△OGD﹣S△OPD＝|k|，然后根據得S△OPB＝×S△POC＝，再根據得S△PBG＝2S△OPB＝，進而得S△OPG＝S△OPB+S△PBG＝，據此可得|k|＝，由此可得k的值．【解答】解：過點P，A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為D，F，H，連接OB并延長交DP的延長線于G，如下圖所示：∵點A，B分別為反比例函數（k＜0）上的點，∴根據反比例函數比例系數的幾何意義得：S△OAF＝|k|，S△OBH＝|k|，∵PD⊥y軸，AF⊥y軸，BH⊥y軸，∴AF∥PD∥BH，∴△OAF∽△OPD，∴∴S△OPD＝4×S△OAF＝4×|k|＝2|k|，∴，∴，∵PG∥OC，∴△OBC∽△GBP，∴，∴，∵BH∥DG，∴△OBH∽△OGD，∴，∴S△OGD＝9S△OBH＝9×|k|＝|k|，∴S△OPG＝S△OGD﹣S△OPD＝|k|﹣2|k|＝|k|，∵，△OCB的邊BC和△OPB的邊PB上的高相同，∴，∴S△OPB＝×S△POC＝＝，∵，△OPB的邊OB和△PBG的邊BG上的高相同，∴，∴S△PBG＝2S△OPB＝，∴S△OPG＝S△OPB+S△PBG＝＝，∴|k|＝，解得：|k|＝，∵k＜0，∴k＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了反比例函數比例系數的幾何意義，相似三角形的判定和性質，熟練掌握反比例函數比例系數的幾何意義，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．18．（3分）已知△APB中，PA＝3，PB＝6，以AB為邊向下作矩形ABCD，對角線AC與BD相交于點O，且∠AOD＝60°，連接PO，則PO的最大值為．【分析】如圖，在AP的右側取一點J，使得JA＝JP，∠AJP＝120°．連接AJ，JP，OJ，過點J作JH⊥AP于點H，根據矩形的性質和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【解答】解：如圖，在AP的右側取一點J，使得JA＝JP，∠AJP＝120°．連接AJ，JP，OJ，過點J作JH⊥AP于點H．∴JA＝JP，JH⊥AP，∴AH＝PH＝AP，∵∠AJP＝120°，∴∠JAP＝∠JPA＝30°，∴PJ＝2JH，∴PJ＝，JH＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∵∠AOB＝60°，∴∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠PAJ＝∠DAO，∴∠PAD＝∠JAO，∵，∴△PAD∽△JAO，∴，∴JO＝2，∵OP≤JP+OJ＝+2＝3，∴OP的最大值為3．故答案為：．【點評】本題考查等邊三角形的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）19．（10分）先化簡，再求值：，其中﹣（﹣2）0．【分析】根據分式的減法法則、除法法則把原式化簡，根據負整數指數冪、零指數冪求出x的值，代入計算得到答案．【解答】解：原式＝÷[﹣]＝÷＝÷?＝，當x＝（）﹣1﹣（﹣2）0＝3﹣1＝2時，原式＝＝4．【點評】本題考查的是分式的化簡求值、負整數指數冪、零指數冪的運算，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．20．（12分）我國古代曾以“六藝”（禮、樂、射、御、書、數）教授學生，其中“樂”和“書”主要是用音樂和書畫來進行審美教育某校計劃在課后服務中開設美育相關課程，并在全校范圍內隨機抽取了部分學生進行調查，要求學生從A．書法、B．國畫、C．合唱、D．水彩畫四個課程中選擇一個自己最喜愛的．將調查結果繪制成如圖兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息解答下列問題：（1）本次被調查的學生有200人；（2）在扇形統計圖中，C所對應的圓心角度數為108°，請補全條形統計圖；（3）該校共有1200名學生，請你估計選擇“A．書法”課程的學生有多少人；（4）小明和小華打算從四個課程中各自選擇一個作為美育課程，請用列表或畫樹狀圖的方法求出小明和小華所選的課程恰好相同的概率．【分析】（1）用條形統計圖中B的人數除以扇形統計圖中B的百分比可得本次被調查的學生人數．（2）用360°乘以選擇C課程的人數所占的百分比，即可得出答案．（3）根據用樣本估計總體，用1200乘以樣本中選擇A課程的人數所占的百分比，即可得出答案．（4）列表可得出所有等可能的結果數以及小明和小華所選的課程恰好相同的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次被調查的學生有80÷40%＝200（人）．故答案為：200．（2）在扇形統計圖中，C所對應的圓心角度數為360°×＝108°．故答案為：108°．選擇“D．水彩畫”的人數為200﹣40﹣80﹣60＝20（人）．補全條形統計圖如圖所示．（3）1200×＝240（人）．∴估計選擇“A．書法”課程的學生約240人．（4）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結果，其中小明和小華所選的課程恰好相同的結果有：（A，A），（B，B），（C，C），（D，D），共4種，∴小明和小華所選的課程恰好相同的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統計圖、扇形統計圖、用樣本估計總體，能夠讀懂統計圖，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關鍵．四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）21．（12分）小區綠化是城市綠化建設的重要組成部分，是改善生態環境，提高環境質量的重要因素．某建設單位在小區建設中計劃安排甲、乙兩個工程隊完成小區綠化工作已知甲工程隊每天能完成的綠化面積是乙工程隊每天能完成的綠化面積的1.5倍，甲工程隊單獨完成900m2的綠化面積所用天數比乙工程隊單獨完成800m2的綠化面積所用天數少1天．（1）求甲、乙兩個工程隊每天能完成的綠化面積分別是多少m2？（2）該小區需要綠化的面積為8000m2，建設單位需付給甲工程隊每天綠化費為0.35萬元，付給乙工程隊每天綠化費為0.3萬元，若要使這次的綠化總費用不超過11萬元，則至少應安排甲工程隊工作多少？【分析】（1）設乙工程隊每天能完成的綠化面積是xm2，則甲工程隊每天能完成的綠化面積是1.5xm2，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結合甲工程隊單獨完成900m2的綠化面積所用天數比乙工程隊單獨完成800m2的綠化面積所用天數少1天，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出x的值（即乙工程隊每天能完成的綠化面積），再將其代入1.5x中，即可求出甲工程隊每天能完成的綠化面積；（2）設應安排甲工程隊工作y天，則應安排乙工程隊工作（40﹣y）天，根據要使這次的綠化總費用不超過11萬元，可列出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論．【解答】解：（1）設乙工程隊每天能完成的綠化面積是xm2，則甲工程隊每天能完成的綠化面積是1.5xm2，根據題意得：﹣＝1，解得：x＝200，經檢驗，x＝200是所列方程的解，且符合實際，∴1.5x＝1.5×200＝300（m2）．答：甲工程隊每天能完成的綠化面積是300m2，乙工程隊每天能完成的綠化面積是200m2；（2）設應安排甲工程隊工作y天，則應安排乙工程隊工作＝（40﹣y）天，根據題意得：0.35y+0.3（40﹣y）≤11，解得：y≥10，∴y的最小值是10．答：至少應安排甲工程隊工作10天．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．22．（12分）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角α的度數來調整晾桿的高度，圖2是晾衣架的側面的平面示意圖，AB和CD分別是兩根長度不等的支撐桿，夾角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求點A離地面的高度AE；（參考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）調節α的大小，使A離地面高度AE＝125cm時，求此時C點離地面的高度CF．【分析】（1）過O作OG⊥BD于點G，根據等腰三角形的性質和平行線的性質可得∠EAB＝∠BOG＝28°，再利用銳角三角函數即可解決問題；（2）根據已知條件證明△AEB∽△CFD，對應邊成比例即可求出CF的高度．【解答】解：（1）如圖，過O作OG⊥BD于點G，∵AE⊥BD，∴OG∥AE，∵BO＝DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，∴∠EAB＝∠BOG＝28°，在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），∴AE＝AB?cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），答：點A離地面的高度AE約為132cm；（2）∵OG∥AE，∴∠EAB＝∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF∥OG，∴∠DCF＝∠DOG，∵∠BOG＝∠DOG，∴∠BAE＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△CFD，∴＝，∴CF＝＝＝100（cm），答：C點離地面的高度CF為100cm．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵是綜合運用銳角三角函數，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質等知識．五、解答題（滿分12分）23．（12分）2024年6月6日是第29個全國“愛眼日”，活動主題為“關注普遍眼健康，共筑“睛”彩大世界”．某電商銷售一款護眼貼，每盒的進價為50元，銷售平臺要求銷售單價不低于56元，且獲利不高于34%．根據銷售經驗，當銷售單價為56元時，每周可售出200盒，銷售單價每上漲1元，每周銷售量減少10盒．現電商決定提價銷售，設銷售單價為x元，每周銷售量為y盒．（1）請求出y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）當護眼貼的銷售單價定為多少元時，該電商每周獲利1440元？（3）將護眼貼的銷售單價定為多少元時，每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）依據題意，由當銷售單價為56元時，每周可售出200盒，銷售單價每上漲1元，每周銷售量減少10盒，列出函數關系式，并根據銷售單價不低于56元，且獲利不高于34%，求出自變量的取值范圍；（2）依據題意，根據銷售利潤＝銷售量×（售價﹣進價）列出一元二次方程，在自變量范圍內求解即可；（3）依據題意，根據銷售利潤＝銷售量×（售價﹣進價），列出平均每周的銷售利潤w與銷售價x之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤．【解答】解：（1）由題意，y＝200﹣10（x﹣56）＝﹣10x+760．∵銷售單價不低于56元，且獲利不高于34%，∴．∴56≤x≤67．∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣10x+760（56≤x≤67）．（2）根據題意，得（x﹣50）（﹣10x+760）＝1440，∴x2﹣126x+3944＝0．∴x1＝58，x2＝68．∵56≤x≤67，∴x＝58．答：當護眼貼的銷售單價定為58元時，該電商每周獲利1440元．（3）由題意，設每周的銷售利潤為w元，∴w＝（x﹣50）（﹣10x+760）＝﹣10x2+1260x﹣38000）＝﹣10（x﹣63）2+1690．∵﹣10＜0，56≤x≤67，∴當x＝63時，w取得最大值，w最大＝1690．答：將護眼貼的銷售單價定為63元時，每周的銷售利潤最大，最大利潤是1690元．【點評】本題主要考查了二次函數的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．六、解答題（滿分12分）24．（12分）如圖，△ABC內接于⊙O，D是⊙O的直徑AB的延長線上一點，∠DCB＝∠OAC．過圓心O作BC的平行線交DC的延長線于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半徑．【分析】（1）由等腰三角形的性質與已知條件得出，∠OCA＝∠DCB，由圓周角定理可得∠ACB＝90°，進而得到∠OCD＝90°，即可得出結論；（2）根據平行線分線段成比例定理得到＝＝，設BD＝2x，則OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，在Rt△OCD中，根據勾股定理求出x＝1，即⊙O的半徑為3．【解答】（1）證明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵OE∥BC，∴＝，∵CD＝4，CE＝6，∴＝＝，設BD＝2x，則OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，∵OC⊥DC，∴△OCD是直角三角形，在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，∴（3x）2+42＝（5x）2，解得，x1＝1，x2＝﹣1（舍去），∴OC＝3x＝3，即⊙O的半徑為3．【點評】本題考查了圓周角定理、勾股定理、平行線的性質、等腰三角形的性質、切線的判定、三角函數、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握切線的判定與平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．七、解答題（滿分12分）25．（12分）如圖，在等邊△ABC中，BD⊥AC，垂足為D，點F是射線BD上一點．（1）如圖①，點F在線段BD上，連接CF，當BF＝CF時，請直接寫出BC與BF之間的數量關系；（2）如圖②，點E為線段AB上一點，連接EF，以EF為邊向上構造等邊△GEF，GF的延長線與射線BC交于點H，連接EH．請寫出線段BE，BF，BH之間的數量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，當DF＝BD，∠BFE＝15°時，請直接寫出△GEH與△ABC面積的比值．【分析】（1）作FM⊥BC于M，根據三線合一得出∠DBC＝30°，利用30°的余弦值求出，就可求出BC與BF之間的數量關系．（2）在射線BC上取一點M，使FM＝FB，構造全等三角形，得到BE＝HM，BE+BH＝BM，再得出BM＝BF，即可得出．（3）點F的位置有兩種可能：①點F在線段BD上，②點F在BD的延長線上．【解答】解：（1）作FM⊥BC于M．等邊△ABC中，BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵BF＝CF，FM⊥BC，∴BC＝2BM．∵cos30°＝∴，∴BM＝，；（2），理由如下：如圖2，在射線BC上取一點M，使FM＝FB．∵△GEF為等邊三角形，∴∠GFE＝60°，∠EFH＝120°∴∠EFB+∠BFH＝120°，∵△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，∴．∠FBM＝∠FBE＝30°，∵FB＝FM，∴∠FMB＝∠FBM＝∠FBE＝30°，∴∠BFM＝180°﹣∠FMB﹣∠FBM＝120°，∴∠BFH+∠HFM＝120°，∴∠EFB＝∠HFM，∴△EFB≌△HFM（ASA），∴BE＝HM，EF＝FH，∴BE+BH＝BM．由（1）得BM＝BF，即．（3）點F的位置有兩種可能：①點F在線段BD上，如圖：由（2）得：EF＝FH，∵等邊三角形中，EF＝GE＝GF，∠G＝∠GFE＝∠GEF＝60°，∴EF＝FH＝GE＝GF．∴∠EFH＝120°，∴∠FEH＝∠FHE＝30°，∴∠GEH＝90°．∴EH＝GE，∴S△GEF＝＝．Rt△BFM中，∠FBM＝30°，BF＝2FM，∠BFM＝60°，∠MFH＝∠EFH﹣∠EFB﹣∠BFM＝120°15﹣60＝45°．∵∠FMC＝90°，∴FM＝MH，∴FH＝FM，設DF＝x，則BD＝3x，BF＝2x，FM＝x，FH＝x，GE＝x，∵，∴BC＝2x，S△ABC＝＝＝3x2．S△GEF＝（）2＝，∴△GEH與△ABC面積的比值為．②點F在BD的延長線上，作FN⊥BC，垂足為N．或．設DF＝x，∵DF＝BD，∴BD＝3x，BF＝4x，∴FN＝2x，FH＝2x，GE＝EF＝FH＝2x，∴S△GEF＝＝4x2，∴S△ABC＝3x2，∴△GEH與△ABC面積的比值為．所以△GEH與△ABC面積的比值為或．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質、三線合一，全等三角形的判定和性質、三角函數，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．八、解答題（滿分14分）26．（14分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上