第四章指數函數、對數函數與冪函數4.1.1

實數指數冪及其運算一、有理數指數冪

二、實數指數冪

三、用信息技術求實數指數冪

四、課堂小結

五、課后作業情境與問題

國家統計局有關數據顯示，我國科研和開發機構基礎研究經費支出近些年呈爆炸式增長：2013年為221.59億元，2014年、2015年、2016年的年增長率分別為16.84%，14.06%，14.26%。你能根據這三個年增長率的數據，算出年平均增長幸，并以2013年的經費支出為基礎，預測2017年及以后各年的經費支出嗎？一

、

有理指數冪

初中我們已經學習了整數指數冪的知識，例如25=2×2×2×2×2=32，

30=1

一般地，an中的a稱為底數，n稱為指數整數指數冪運算的運算法則有

aman=，(am)n=，(ab)m=.am+n

amnambm嘗試與發現

1.閱讀課本1-2頁，類比二次方根和三次方根，給出四次方根和五次方根的定義。2.思考：n次方根的定義

一般地，給定大于1的正整數n和實數a，如果存在實數x，使得xn=a，則x稱為a的

。n次方根

例如，因為方程x4=81的實數解為3與-3，因此3與-3都是81的4次方根：因為25=32，而且x5=32只有一個實數解，所以32的5次方根為2

根據方程xn=a解的情況不難看出：(1)0的任意正整數次方根均為0，記為.(2)正數a的偶次方根有兩個，它們互為相反數，其中正的方根稱為a的n次算術根，記為，負的方根記為-；負數的偶數次方根在實數范圍內不存在，即當a＜0且n為偶數時，在實數范圍內沒有意義。(3)任意實數的奇數次方根都有且只有一個，記為。而且正數的奇數數次方根是一個正數，負數的奇數數次方根是一個負數.當有意義的時候，稱為根式，n稱為根指數，a稱為被開方數.

一般地，根式具有以下性質：(1)

(2)當n為奇數時，當n為偶數時，

例如，嘗試與發現

你能想出一個新的二次根式符號的表示方法，使成為(am)n=amn的特例，成為ambm=(ab)m的特例嗎？請同學們閱讀課本第5頁，小組之間討論交流一下。一般地，如果n是正整數，那么：當有意義時，規定

當沒有意義時，稱沒有意義.

對于一般的正分數，也可作類似規定，即

但值得注意的是，這個式子在不是既約分數（即m，n有大于1的公約數）時可能會有歧義.例如，是有意義的，而是沒有意義的。因此，以后如果沒有特別說明，一般總認為分數指數冪中的指數都是既約分數。負分數指數冪的定義與負整數指數冪類似，即若s是正分數，as有意義且a≠0時，規定a-s=

現在我們已經將整數指數冪推廣到了分數指數冪(即有理數指數冪).一般情況下，當s與t都是有理數時，有運算法則：asat=as+t(as)t=ast(ab)s=asbs

求證：如果a>b>0，n是大于1的自然數，那么證明假設，即

或根據不等式的性質與根式的性質，得

a<b或a=b.這都與a>b矛盾，因此假設不成立，從而利用例1的結論，可以證明（留作練習）：（1）如果a>s>0，s是正有理數，那么as>bs；（2）如果a>1，s是正有理數，那么as>1，a-s<1；（3）如果a>1，s>t>0，且s與t均為有理數，那么as>at二、實數指數冪嘗試與發現

有理數指數冪還可以推廣到無理數指數冪，我們應該怎樣理解2π這個數呢？請同學們閱讀課本6-7頁，思考這個問題。一般地，當a>0且t是無理數時，at都是一個確定的實數，我們可以用與上述類似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，當a>0，t為任意實數時，可以認為實數指數冪at都有意義.可以證明，對任意實數s和t，類似前述有理指數釋的運算法則仍然成立。典型例題例1用根式的形式表示下列各式(x>0)．

；(2).解：(1)＝.(2)

＝

.

典型例題例2計算下列各式的值：(1)(2)解：(1)(2)典型例題例3化簡下列各式：(1)

(2)解:(1)原式=

(2)原式=三、用信息技術求實數指數冪

實數指數冪的值可以通過計算器或計算機軟件方便地求得。在GeoGebra中，在“運算區”利用符號“?”，就可以得到實數指數冪的精確值或近似值.如圖4-1-1所示，前面三個是在符號計算模式下的輸入和所得到的結果，后面兩個是在數值計算模式下得到的結果。下面我們來求本節情境與問題中的年平均增長率。假設年平均增長率為x，則應該有(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)3

從而x=由此可預測2017年的科研和開發機構基礎研究經費支出為

221.59×(1+15.05%)4≈388.24（億元）