4-2-5.平移、旋轉、割補

E111^

圖形變換，是指不改變圖形的大小、形狀，只通過位置關系的改變（旋轉、平移、折疊等），構成新的圖形.

【例1】右圖是一塊長方形草地，長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平

行四邊形，它們的寬都是2,求草地部分的面積（陰影部分）有多大？

【考點】平移、旋轉、割補【難度】2星【題型】解答

【解析】如圖所示，將道路平移后的（16-2）x（10-2）=112。

【答案】112

【例2】如圖所示，一個正十二邊形的邊長是1厘米，空白部分是等邊三角形，一共有12個.請算出陰影

部分的面積.

1cm]cm

【考點】平移、旋轉、割補【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖，將陰影部分分割成一個正六邊形和12個小三角形，再把正六邊形分割成6個正三角形，由于

正十二邊形的每個內角為180。*（12-2）+12=150。，所以陰影小三角形的頂角等于

150o-60°x2=30°,每個頂角的兩邊和與其相鄰的正三角形的底邊所成的角都是30。+60。=90。，所

以通過如右上圖所示的平移可以組成6個邊長為1厘米的正方形，所以所求陰影部分面積為12X6=6

平方厘米.

【答案】6

【例3】如圖所示，梯形A8C7）中，A3平行于CD,又或）=4,AC=3,A8+8=5.試求梯形ABC。的

面積.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】3星【題型】解答

【解析】如右圖，將4?沿AC平移至CE,連接BE,在三角形3DE中，有BD=4,BE=AC=3,

DE=AB+CD=5,有Bb2+BE?=DE?,所以三角形雙出為直角三角形.

由于SAAM=Sg"=SABCE，所以梯形A88的面積與三角形BDE的面積相等，為;x3x4=6?

【答案】6

【例4】如下圖，六邊形ABCDEF中,AB=ED,AF=-CD,BC=EF,且有4?平行于￡D,AF平行于

CD,8c平行于EF,對角線㈤垂直于比），已知㈤=24厘米，BD=18厘米，請問六邊形

ABCDEF的面積是多少平方厘米？

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【解析】如圖，我們將ABCD平移使得CD與AF重合，將ADE尸平移使得即與他重合，這樣、8c都

重合到圖中的AG了.這樣就組成了一個長方形3GED,它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長

方形BGFD的面枳為24x18=432平方厘米，所以六邊形ABCQE尸的面積為432平方厘米.

【答案】432

【例5】如圖2,六邊形ABCQEF為正六邊形，P為對角線CF上一點，若PBC、月沙的面積為3與4,

則正六邊形ABCDEF的面積是.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】迎春杯、中年級、初賽、7題

【解析】這是一道幾何問題，考察同學們對常見圖形性質的認識.正六邊形的六條邊都相等，每個角都是，

每一組對邊都互相平行，正六邊形可以看作是由六個正三角形拼成的(如圖(1)).其中正六邊形的

面積是正三角形面積的6倍.每相鄰兩個正三角形拼成的是一個平行四邊形.如圖(2),連結M,

三角形4,尸的面積是平行四邊形ABFO面積的一半.六邊形ABCDEF的面積是平行四邊形ABFO

的3倍，故六邊形ABCDEF的面積是三角形ABF的面積的6倍.如圖(3),連結CE,三角

形8cp的面積與三角形尸的面積和是平行四邊形8/石C面積的一半.而六邊形A8CD斯的面積

是平行四邊形3FEC的1.5倍，故六邊形4?。。￡戶的面積是三角形8cp的面積與三角形EEP的面

積和的3倍.

所以，由△PBC、APEF的面積分別為3與4,

可知正六邊形ABCDEF的面積是(3+4)x3=21.

【答案】21

［例6］正六邊形A1A2A3A4A5A6的面積是2009平方厘米,Bl,B2,B3,B4,B5,B6分別是正六邊形各邊的中點;

那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【關鍵詞】迎春杯、六年級、初賽、14題

【解析】如圖，設線為與用4的交點為O,則圖中空白部分由6個與一樣大小的三角形組成，只要

求出了△4。%的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影部分面積.

連接44、B6B、、線4

設AAB區的面積為"1"，則△84穌面積為“1”,△姻，面積為“2”，那么線面積為

△^A2B6的2倍，為“4”，梯形A4AA的面積為2x2+4x2=12,AA2B6A.的面積為“6”，△犍

的面積為2

根據蝴蝶定理，BQ=AQ=S△2：S"4%=1：6,故

121

所以SMO/S^AAAA^^門？」：？，即△404的面積為梯形A&AA面積的亍，故為六邊形

113

44A3A4AA面積的點，那么空白部分的面積為正六邊形面積的點X6=；,所以陰影部分面積為

2009x(1-1)=1148(平方厘米).

【答案】1148

【例7】按照圖中的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個直角三角形.已知甲三角形兩條直角

邊分別為2cm和4c〃?，乙三角形兩條直角邊分別為和6。〃，求圖中陰影部分的面積.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】3星【題型】解答

【解析】如右圖，我們將三角形甲與乙進行平移，就會發現平行四邊形面積等于平移后兩個長方形面積之

和.所以陰影部分面積為：3x4+6x2-(3x6-2+4x24-2)=ll(c/n2)

【答案】11

【例8】在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段(見右圖)，求圖中陰影

部分的面積占整個圖形面積的幾分之幾.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】3星【題型】解答

【解析】陰影總值是一個梯形.我們用三種方法解答.

⑴割補法

從頂點作底邊上的高，得到兩個相同的直角三角形.將這兩個直角三角形拼成一個長方形(見下圖).顯

然，陰影部分正好是長方形的1，所以原題陰影部分占整個圖形面積的L

33

⑵拼補法

根據商不變性質，將陰影面積和平行四邊形面積同時除以2,商不變.所以原題陰影部分占整個圖形

面積的-.

3

⑶等分法

將原圖等分成9個小三角形（見右上圖），陰影部分占3個小三角形，所以陰影部分占整個圖形面積的

3_1_

9-31

注意，后兩種方法對任意三角形都適用.也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條

件不變，結論仍然成立.

【答案】-

3

【例9】如下左圖，有兩個大小相同的完全重疊在一起的正方形，現在以點P為中心轉動一個正方形.當

AB=5厘米，3c=13厘米，C4=12厘米時（如下右圖），求右圖中的兩個正方形相重疊部分的面積

（注意，圖的尺寸不一定準確）.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】3星【題型】解答

【解析】右圖由左圖旋轉而得，則右圖中的8個空白小三角形都是完全相同的，右圖中重疊部分的面積等于

正方形面積減去4個小三角形的面積，從右圖中可以看出正方形的邊長為5+13+12=30厘米，所以

重登部分的面積為：302-4x（5x12+2）=780（平方厘米）.

【答案】780

【例10］如圖，在直角三角形中有一個正方形，已知皿=10厘米，￡心=7厘米，求陰影部分的面積.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】4星【題型】解答

【解析】繞。點逆時針旋轉ACED,使E與尸重合，則C點落在四邊上的C'點處，且C'O=CD.則陰影

部分面積轉化為直角三角形BCD的面積，所以陰影部分的面積為10x7+2=35平方厘米.

【答案】35

【例11］四邊形ABCD中45=30?AD=48,BC=14,a）=40.又已知N48D+N5DC=90。,求四邊形48C。的面積.

A

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【解析】如下圖，以8。的垂直平分線為對稱軸心，做△A8。關于心的對稱圖形△A'8/).連接A'C.

因為ZABD+ZBDC=900()而ZABD=ZA'￡>3=90°,所以有/A'DB+ZBDC=90(}.

那么A'CD為直角三角形，由勾股定理知A'C?=AB2+c￡)2=25oo,所以AC=50.

而在△ABC中，有A8=A0=48,有482+142=2500,即A'B2+BC2^AC?,即△ABC為直角三角形.

有S-pdSA.BC=30x40xg+14x48xg=936.

而IS四邊形A8co—S-B+SA.BC=936.

評注：I.本題以乙4BC+NBOC=900突破口，通過對稱變換構造出與原圖形相關的角三角形

II.對于這道題我們還可以將△BCC作乙的對稱圖形.如下：

【答案】936

【例12］如圖，在三角形ABD中，當AB和CD的長度相等時，請求出“?”所示的角是多少度，給出過程.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【解析】因為A8=C。,于是可以將三角形A8C的邊84邊與CO對齊，如下圖.在下圖中有NBCA=110°,所以

ZACD=1Q°于是/ACC'=NACO+NOCC'=NACO+NABC=70°+40°=110°；

即NACC'=110°=/CC'O；又因為C'A只是C4移動的變化，所以C'A=C4；則ABCA是一

等腰梯形.于是,NADC'=180°-110°=70°;又NCDC'=30°,所以NAOC=70°-30°=40°.

【答案】40°

【例13］如圖所示的四邊形的面積等于多少？

【考點】平移、旋轉、割補【難度】4星【題型】解答

【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.

我們可以利用旋轉的方法對圖形實施變換：

把三角形。繞頂點O逆時針旋轉，使長為13的兩條邊重合，此時三角形04?將旋轉到三角形

OCD的位置.這樣，通過旋轉后所得到的新圖形是一個邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就

是原來四邊形的面積.

因此，原來四邊形的面積為12x12=144.（也可以用勾股定理）

【答案】144

【例14］如圖，三角形是等腰直角三角形，P是三角形外的一點，其中NBPC=90。，AP=10cm，求

四邊形.pc的面積.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【解析】因為N84c和N8PC都是直角，和為180°,所以NA3尸和NAC尸的和也為180°,可以旋轉三角形

APC,使AC和AB重合，則四邊形的面積轉化為等腰直角三角形AP'P,面積為10x10+2=50平

方厘米.

【答案】50

【例15］如圖所示，AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=5,以AC為一邊向AABC外作正方形ACDE,

中心為O,求AOBC的面積.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【關鍵詞】武漢明心奧數

【解析】如圖，將AOA8沿著O點順時針旋轉90。，到達AOC尸的位置.

由于NABC=90°,ZAOC=90°,所以Na43+NOC8=180°.和NOCF=NOAB,

所以NOCF+NOCB=180°,那么3、C、下三點在一條直線上.

由于O8=OF,ZBOF=ZAOC=90°,所以M。尸是等腰直角三角形，且斜邊跖為5+3=8,所

以它的面積為82x」=16.根據面積比例模型，△QBC的面積為16x9=10.

48

【答案】10

【例16］如圖，直角梯形A8C。中，AD//BC,ABLBC,AD=2,BC=3,將腰CO以D為中心逆時針

旋轉90。至ED,連接AE、CE,則AADE的面積是.

EE

A

B

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【關鍵詞】武漢明心奧數

【解析】如圖所示，將AADE以。為中心順時針旋轉90。，到AFDC的位置.延長FD與BC燹于H.

由于A8CD是直角梯形，4)與")垂直，則四邊形是長方形，則8H=AT>.

由于AADE與甌;七面積相等，而AFDC的底邊.FD=AD=2,高CH=BC—BH=3-2=1,所以

△F￡>C的面積為2xl+2=l,那么AWE的面積也為1.

【答案】1

【例17］如圖，正方形和￡>￡FG有一個公共點。，試比較三角形4X；和三角形CDE的面積.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【解析】因為NADC和NGE?E是直角，所以N4DG和NC￡)E是互補角，將三角形4X；順時針旋轉90。到達

AA'DE的位置，則A'、D、C在同一條直線上，且A'D=A￡>=C￡),即。是A'C的中點，所以三

角形CDE和三角形A'QE面積相等，則三角形CDE和三角形ADG面積相等.

【答案】相等

【例18］如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內作直角三角形ABE,ZA￡B=90°,AC、BD交于O.已

知他、BE的長分別為3cm、5cm,求三角形O3E的面積.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【關鍵詞】資優杯

【解析】如圖，連接以A點為中心，將AADE順時針旋轉90。到AAB6的位置.

那么/￡4尸=/石48+/班尸=/￡48+〃4￡=90。，而NAEB也是90°,所以四邊形AME是直角梯

形，且AF=AE=3,

所以梯形AFBE的面積為：

(3+5)x3xl=12(cm2).

又因為AABE是直角三角形，根據勾股定理，AB2=AE2+BE2=32+52=34,所以

1,,

%.>=5旗-=17(皿)

+

那么S.DE=SAAB。-(&ABE)^A4BD~AFBE=17-12=5(CITr),

所以SAOBE=3SMDE=2.5(cm).

【答案】2.5

【例19］如圖，已知AB=AE=4cm,BC=DC,ZBAE=ZBCD=90P,AC=10cm,貝U+S.8+SAO>E=

________cm2.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【關鍵詞】迎春杯、高年級、復賽、10題

【解析】將三角形A8C繞A點和C點分別順時針和逆時針旋轉90,構成三角形AEC'和/VDC,再連接

A'C',顯然AC_LAC',AC±A'C,AC=A'C=AC',所以AC4'C'是正方形.三角形AEC'和三

角形A'E>C關于正方形的中心。中心對稱，在中心對稱圖形AC4,C中有如下等量關系：

^HAEC=S'roc'；=SAVDC；S&CED=^\C'DE'

所以S^BC+SAACE+SRCDE=SAAEC,+^&ACE+SACOE=5SAC4C'=5x10x10=50cm.

【答案】50

【例20］如圖所示的四邊形ABC￡)中，ZA=ZC=45°,ZABC=105°,AB=CD=15厘米，連接對角線BD,

ZABD=30°.求四邊形ABC。的面積.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】第八屆、華杯總決賽

【解析】由NA=45°,ZABD=30°,可得NA￡>8=180°-45°—30。=105°,ZDBC=105°-30°=75°.

將AZMC剪下來，翻轉，再貼在8￡>邊上，即將5點粘在￡>點上，。點粘在B點上，如右上圖所示.則

C點在E點的位置.由于NA03+N￡Z)B=1O5°+75°=18O°,所以A、D、E三點在同一條直線上.由

于NA=NE=NC=45°,所以NABE^SK)。，即A4BE是等腰直角三角形，它的面積就等于四邊形

ABCD的面積，所以四邊形ABCD的面積為小”=112.5平方厘米.

2

【答案】112.5

【例21］如圖，在A/U3D中，AB=CD,求“？”的度數.

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【解析】如圖，由于XB=CE>,可以將AABC移動到ADCE,由于NAC8=180°—(30°+40°)=110°,

ZACD=180o-110o=70°,所以NACE=70P+40P=110,又NC￡?=110°,而AC=DE,所以四

邊形AGED是等腰梯形，有Z4￡)E=180。—/6￡0=180。-110。=70°,ZAZX7=70°-30°=40°.

點評：通過構造全等三角形來轉化.

【答案】40°

【例22】下圖三角形ABC是等腰三角形，AB=AC,N54C=120。.三角形4)E是正三角形，點D在BC

邊上，BD:DC=2:3.當三角形ABC的面積是50cm2時，三角形ADE的面積是多少？

皇C

BDCB1

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【解析】以點A為中心，由三個三角形ABC可拼成右圖：連結QE、RF.GD,則。EQFRG是一個正六邊

形.連結RD、DQ、RQ,顯然RE>Q是一個等邊三角形，并且它的面積是正六邊形面積的一半，

所以是三角形ADE的面積的3倍.

由于=53^x3=1500/，根據“鳥頭定理"，與瞇=S36cm:

短肥3+22+3

所以S^RDQ=SEBC-S.cx3=42cm~,貝"=^^RDQ+3='42+3=14cm?.

【答案】14

【例23］如圖，正方形PQRS有三個頂點分別在AABC的三條邊上BQ=QC.求正方形PQRS的面積.

BQHC

【考點】平移、旋轉、割補【難度】5星【題型】解答

【解析】如下圖，我們設A4BC的面積為1,有e=l-c-d—(b-\--)=1—x-----x------x—=---,

22132111311143

所以a=2e=幽，b+c+d=l-a=~,所以一--=—.

143143b+c+d75

如下圖左，將三角形c和三角形d分別以尸、/?為中心按箭頭方向旋轉90。，形成由兩個直角三角形

連在^一"起的一^個四邊形，如下圖右，b>c>d被虛線分成兩個直角三角形，它們的面積之和為:

2

Z?+c+d=7x6+2+9x2+2=30cm2所以〃=30x貨=27.2(cm).

75

QB11Q11C

【答案】27.2

【例24］如下圖4ABe是邊長為1的等邊三角形ABCD是等腰三角形BD=CD,頂角

N8DC=120。,NM￡W=60。,求△AMN的周長.

jV

【考點】平移、旋轉、割補【難度】4星【題型】解答

［解析】如下圖，延長AC至P,使CP=M8,連接DP.

?]]80°—120°

則有ZMBD=6^+六邊形DEQSRT=gS---=NPCD;CP=BM;BD=CD,

所以有△MBDmAPCD.于是NMDC=NPDC;

又因為NMDB+ZNDC=60°,所以NPDC+NNDC=ZNDP=60°:

MD=PD,在4MDN