2025屆湖南省永州一中數學高一下期末學業質量監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列敘述中，不能稱為算法的是（）A．植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟B．按順序進行下列運算：1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100C．從濟南到北京旅游，先坐火車，再坐飛機抵達D．3x＞x+12．在面積為S的平行四邊形ABCD內任取一點P，則三角形PBD的面積大于的概率為（）A． B． C． D．3．已知角是第三象限的角,則角是()A．第一或第二象限的角 B．第二或第三象限的角C．第一或第三象限的角 D．第二或第四象限的角4．某高級中學共有學生3000人,其中高二年級有學生800人,高三年級有學生1200人,為了調查學生的課外閱讀時長,現用分層抽樣的方法從所有學生中抽取75人進行問卷調查，則高一年級被抽取的人數為（）A．20 B．25 C．30 D．355．如圖，圓的半徑為1，是圓上的定點，是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示成的函數，則在上的圖象大致為（）A． B．C． D．6．為了得到的圖象，只需將的圖象()A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移7．已知直線：，：，：，若且，則的值為A． B．10 C． D．28．已知直線的傾斜角為，則（）A． B． C． D．9．在中，，，，是外接圓上一動點，若，則的最大值是（）A．1 B． C． D．210．記等差數列前項和，如果已知的值，我們可以求得（）A．的值 B．的值 C．的值 D．的值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程cosx=12．下列命題：①函數的最小正周期是；②在直角坐標系中，點，將向量繞點逆時針旋轉得到向量，則點的坐標是；③在同一直角坐標系中，函數的圖象和函數的圖象有兩個公共點；④函數在上是增函數．其中，正確的命題是________（填正確命題的序號）．13．，則f（f（2））的值為____________．14．已知曲線與直線交于A，B兩點，若直線OA，OB的傾斜角分別為、，則__________15．已知等差數列的前項和為，若，則=_______16．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點，,則異面直線與所成的角為____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數列的前項和為，若且求若數列滿足，求數列的前項和.18．已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式（2）數列的前項和為，若存在，使得成立，求范圍?19．已知向量，，.（1）求函數的最小正周期及單調遞減區間；（2）記的內角的對邊分別為.若，，求的值．20．已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程.21．兩地相距千米，汽車從地勻速行駛到地，速度不超過千米小時，已知汽車每小時的運輸成本(單位：元)由可變部分和固定部分兩部分組成：可變部分與速度的平方成正比，比例系數為，固定部分為元，(1)把全程運輸成本(元)表示為速度(千米小時)的函效:并求出當時，汽車應以多大速度行駛，才能使得全程運輸成本最小；(2)隨著汽車的折舊，運輸成本會發生一些變化，那么當，此時汽車的速度應調整為多大，才會使得運輸成本最小，

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

利用算法的定義來分析判斷各選項的正確與否，即可求解，得到答案.【詳解】由算法的定義可知，算法、程序是完成一件事情的可操作的步驟：可得A、B、C為算法，D沒有明確的規則和步驟，所以不是算法，故選D.【點睛】本題主要考查了算法的概念，其中解答的關鍵是理解算法的概念，由概念作出正確的判斷，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.2、A【解析】

轉化條件求出滿足要求的P點的范圍，求出面積比即可得解.【詳解】如圖，設P到BD距離為h，A到BD距離為H，則，，滿足條件的點在和中，所求概率.故選：A.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算，屬于基礎題.3、D【解析】

可采取特殊化的思路求解，也可將各象限分成兩等份,再從x軸正半軸起,逆時針依次將各區域標上一?二?三?四，則標有三的即為所求區域.【詳解】(方法一)取,則,此時角為第二象限的角;取,則,此時角為第四象限的角.(方法二)如圖,先將各象限分成兩等份,再從x軸正半軸起,逆時針依次將各區域標上一?二?三?四,則標有三的區域即為角的終邊所在的區域,故角為第二或第四象限的角.故選：D【點睛】本題主要考查了根據所在象限求所在象限的方法，屬于中檔題.4、B【解析】

通過計算三個年級的人數比例，于是可得答案.【詳解】抽取比例為753000=140，高一年級有【點睛】本題主要考查分層抽樣的相關計算，難度很小.5、B【解析】

計算函數的表達式，對比圖像得到答案.【詳解】根據題意知：到直線的距離為：對應圖像為B故答案選B【點睛】本題考查了三角函數的應用，意在考查學生的應用能力.6、B【解析】

先利用誘導公式將函數化成正弦函數的形式，再根據平移變換，即可得答案.【詳解】∵，∵，∴只需將的圖象向左平移可得.故選：B.【點睛】本題考查誘導公式、三角函數的平移變換，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意平移是針對自變量而言的.7、C【解析】

由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【詳解】由題意，直線：，：，：，因為且，所以，且，解得，，所以．故選C．【點睛】本題主要考查了兩直線的位置關系的應用，其中解答中熟記兩直線的位置關系，列出方程求解的值是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．8、B【解析】

根據直線斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】因為直線的傾斜角為,故直線斜率.故選：B【點睛】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率的關系,屬于基礎題.9、C【解析】

以的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設M的坐標為，，求出點的坐標，得到，根據正弦函數的圖象和性質即可求出答案.【詳解】以的中點O為原點，以為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則外接圓的方程為，設M的坐標為，，過點作垂直軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，當時，有最大值，最大值為，故選C．【點睛】本題考查了向量的坐標運算和向量的數乘運算和正弦函數的圖象和性質，以及直角三角形的問題，考查了學生的分析解決問題的能力，屬于難題．10、C【解析】

設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，由a5+a21=2a1+24d的值為已知，再利用等差數列的求和公式，即可得出結論．【詳解】設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，∵已知a5+a21的值，∴2a1+24d的值為已知，∴a1+12d的值為已知，∵∴我們可以求得S25的值．故選：C．【點睛】本題考查等差數列的通項公式與求和公式的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、x|x=2kπ±【解析】

由誘導公式可得cosx=sinπ【詳解】因為方程cosx=sinπ所以x=2kπ±π故答案為x|x=2kπ±π【點睛】本題考查解三角函數的方程，余弦函數的周期性和誘導公式的應用，屬于基礎題．12、①②④【解析】

由余弦函數的周期公式可判斷①；由任意角的三角函數定義可判斷②；由余弦函數和一次函數的圖象可判斷③；由誘導公式和余弦函數的單調性可判斷④．【詳解】函數y＝cos（﹣2x）即y＝cos2x的最小正周期是π，故①正確；在直角坐標系xOy中，點P（a，b），將向量繞點O逆時針旋轉90°得到向量，設a＝rcosα，b＝rsinα，可得rcos（90°+α）＝﹣rsinα＝﹣b，rsin（90°+α）＝rcosα＝a，則點Q的坐標是（﹣b，a），故②正確；在同一直角坐標系中，函數y＝cosx的圖象和函數y＝x的圖象有一個公共點，故③錯誤；函數y＝sin（x）即y＝﹣cosx在[0，π]上是增函數，故④正確．故答案為①②④．【點睛】本題考查余弦函數的圖象和性質，主要是周期性和單調性，考查數形結合思想和化簡運算能力，屬于基礎題．13、1【解析】

先求f（1），再根據f（1）值所在區間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點睛】本題考查分段函數求值，考查對應性以及基本求解能力.14、【解析】

曲線即圓曲線的上半部分，因為圓是單位圓，所以，，，，聯立曲線與直線方程，消元后根據韋達定理與直線方程代入即可求解.【詳解】由消去得，則，由三角函數的定義得故.【點睛】本題主要考查三角函數的定義，直線與圓的應用.此題關鍵在于曲線的識別與三角函數定義的應用.15、【解析】

利用等差數列前項和，可得；利用等差數列的性質可得，然后求解三角函數值即可．【詳解】等差數列的前項和為，因為，所以；又，所以．故答案為：．【點睛】本題考查等差數列的前項和公式和等差數列的性質的應用，熟練掌握和若，則是解題的關鍵．16、【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【詳解】取的中點E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設等邊三角形邊長為，易算得∴在∴故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應用典型的見中點找中點的方法，注意求角的三個環節，一畫，二證，三求．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由時，，再驗證適合，于是得出，再利用等差數列的求和公式可求出；（2）求出數列的通項公式，判斷出數列為等比數列，再利用等比數列的求和公式求出數列的前項和．【詳解】（1）當且時，；也適合上式，所以，，則數列為等差數列，因此，；（2），且，所以，數列是等比數列，且公比為，所以．【點睛】本題考查數列的前項和與數列通項的關系，考查等差數列與等比數列的求和公式，考查計算能力，屬于中等題．18、（1）；（2）【解析】

（1）根據之間關系，可得結果（2）利用錯位相減法，可得，然后使用分離參數的方法，根據單調性，計算其范圍，可得結果.【詳解】（1）當時，兩式相減得：當時，，不符合上式所以（2）令，所以所以令①②所以①-②：則化簡可得故，若存在，使得成立即存在，成立故，由，則所以可知數列在單調遞增所以，故【點睛】本題考查了之間關系，還考查了錯位相減法求和，本題難點在于的求法，重點在于錯位相減法的應用，屬中檔題.19、（1）最小正周期為，單調遞減區間為；（2）或【解析】

（1）由向量的數量積的運算公式和三角恒等變換的公式化簡可得，再結合三角函數的性質，即可求解．（2）由（1），根據，解得，利用正弦定理，求得，再利用余弦定理列出方程，即可求解．【詳解】（1）由題意，向量，，所以，因為，所以函數的最小正周期為，令，解得，所以函數的單調遞減區間為．（2）由（1）函數的解析式為，可得，解得，又由，根據正弦定理，可得，因為，所以，所以為銳角，所以，由余弦定理可得，可得，即，解得或．【點睛】本題主要考查了向量的數量積的運算，三角恒等變換的應用，以及正弦定理和余弦定理的應用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關鍵．通常當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.20、(1)證明見解析；(2)，或，.【解析】

（1）設，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標原點在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標為，圓的半徑.由于圓過點，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.【名師點睛】直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內部.21、（1），當汽車以的速度行駛，能使得全稱運輸成本最小；（2