南寧市小學奧數系列8-2-1抽屜原理（二）

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小朋友，帶上你一段時間的學習成果，一起來做個自我檢測吧，相信你一定是最棒的!

一、（共35題；共160分）

1.（10分）“華羅庚”杯數學競賽獲獎的87名學生分別來自12所小學。試說明至少有8名學生來自同一所

學校。

2.（5分）把1、2、3、…、10這十個數按任意順序排成一圈，求證在這一圈數中一定有相鄰的三個數之和

不小于17.

3.（5分）在20米長的水泥陽臺上放11盆花，隨便怎樣擺放，至少有幾盆花之間的距離不超過2米.

4.（5分）把7只小貓分別關進3個籠子里，不管怎么放，總有一個籠子里至少有多少只貓？

5.（5分）把12個乒乓球放入5個盒子，至少有3個乒乓球要放人同一個盒子。為什么？

6.（5分）黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩

雙筷子。問至少要取多少根才能保證達到要求？

7.（5分）圓周上有2000個點，在其上任意地標上0,LZ…，1999（每一點只標一個數，不同的點標上

不同的數）.證明必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標的三個數之和不小于2999

8.（5分）有一個布袋中有40個相同的小球，其中編上號碼1、2、3、4的各有10個，問：一次至少要取出

多少個小球，才能保證其中至少有3個小球的號碼相同？

9.（5分）有紅、黃、藍、白4色的小球各10個，混合放在一個布袋里.一次摸出小球8個，其中至少有幾

個小球的顏色是相同的？

10.（5分）袋子里有同樣大小的紅、白、黃、藍顏色的球各5個，至少取出多少個球，可以保證取到兩個顏

色相同的球？

11.（5分）某小學即將開運動會，一共有十項比賽，每位同學可以任報兩項，那么要有多少人報名參加運動

會，才能保證有兩名或兩名以上的同學報名參加的比賽項目相同？

12.（5分）在20米長的水泥陽臺上放12盆花，隨便怎樣擺放，請你說明至少有兩盆花它們之間的距離

小于2米.

13.（5分）從1,3,5,7,97,99中最多可以選出多少個數，使得選出的數中，每一個數都不是另一

個數的倍數？

14.（1分）數學興趣小組有13個學生，請你說明：在這13個同學中，至少有兩個同學屬相一樣.

15.（5分）假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，

問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色？

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16.（5分）9條直線的每一條都把一個正方形分成兩個梯形，而且它們的面積之比為2:3。證明：這9條

直線中至少有3條通過同一個點。

17.（5分）6只鴿子要飛進5個籠子，每個籠子里都必須有1只，一定有一個籠子里有2只鴿子.對嗎？

18.（5分）池塘里有6只青蛙跳到4片荷葉上，總有一片荷葉上至少有2只青蛙。為什么？

19.（5分）在一個矩形內任意放五點，其中任意三點不在一條直線上。證明：在以這五點為頂點的三角形中，

至少有一個的面積小于矩形面積的四分之一。

20.（5分）任給11個數，其中必有6個數，它們的和是6的倍數.

21.（5分）證明：任取6個自然數，必有兩個數的差是5的倍數。

22.（5分）在1m長的線段上任意點7個點，不管怎樣點，至少有兩點之間的距離小于17cm.在紙上畫一畫,

并和同桌同學說一說.

23.（5分）一個袋子中裝有紅、黃、藍、綠四種顏色的小球若干，如果每次取3個，最后剩1個；如果每次

取5個或7個，最后剩2個.這個袋中至少有多少個小球？一次至少取幾個小球可以保證有兩個是同色的？

24.（5分）試說明在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米.

25.（5分）如圖，能否在8行8列的方格表的每一個空格中分別填上1,2,3這三個數，使得各行

27.（5分）從42個鴿舍中飛出211只鴿子，總有一個鴿舍中至少飛出6只鴿子。為什么？

28.（5分）一副撲克牌除去兩張王牌共有52張，問至少要取出多少張牌，才能保證其中一定有3種或3種

以上花色？

29.（5分）一副撲克有4種花色，每種花色13張，從中任意抽牌，最少要抽多少張才能保證有4張牌是同

一花色？為什么？

30.（5分）求證：對于任意的8個自然數，一定能從中找到6個數a,b,c,d,e,f,使得歐

是105的倍數.

31.（1分）（2020四上?萬源期末）小明不小心把7個數學作業本和4個語文作業本一起碰掉到了地上，他

先撿起了5個作業本，這5個作業本中一定有作業本，可能有作業本。

32.（5分）自制的一副玩具牌共計52張（含四種牌：紅桃、紅方、黑桃、黑梅.每種牌都有1點，2點，…，

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13點牌各一張）.洗好后背面向上放好,

（1）一次至少抽取張牌，才能保證其中必定有2張牌的點數和顏色都相同.

（2）如果要求一次抽出的牌中必定有3張牌的點數是相鄰的（不計顏色），那么至少要取張牌。

33.（1分）把8個蘋果放進7個盤子里，總有一個盤子里至少放進個蘋果？

34.（1分）如果有25個小朋友乘6只小船游玩，至少要有個小朋友坐在同一只小船里

35.（1分）光明小學學生年齡最小的6歲，最大的13歲，從學校里任選_______位同學才能保證其中有兩

位同學的年齡相同？

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參考答案

一、（共35題；共160分）

解:87+12=7......3,7+1=8（S）

1-1,答：假如母小學校都有7人獲獎,同眩余下的3人無論是酈的都能保證至少有8S學生來自同一所學校.

2-1、

陰：把這一圍從某始按順時針方向分另配為的、外、對、...、4io.相鄰的三個數為一組,有。必?3、6。于A、

。w4。5、…、a￥,\Oa\'alOa/l2共IOS-

這十組三個數之和的總和為：

（a［+a?+a3Ka:+a3+"N…乂。10+。1+國=4?！?與+…+。10）=3K55=165?165=16x10+5*

理,這十組數中至少有一組數的和不小于17.

3-1、

解：如果每兩盆之間的距離都超過2米，那么忘距商超過2x<11-1）=20（*）.月一方面，可以使開始的10盆每兩盆

之間距離略大于2米，而最后兩蔻之間小于2米.所以,至少有兩盆之間的距離不超埋2米.

陰:7+3=2（只）1（只）

2+1=3（只）；

答：總有一NET■里至少有3只貓.

4-1、故答案為：3.

解：12+5=2.…3,2+1=3（個）

5-1、答：因為每個盒子里各放入2個乒乓球，另監余下的乒乓球無論放入彝個盒子里，至少有3個乒乓球要放入同f盒子里.

6-1、

除:桶6最不利原則,至少取9根筷子就能保證有一雙顏色不同，我們把顏色不同那雙筷子取出，再補2只筷子，就能又保證

一雙顏色不同筷子，所以取出11根筷子就得到顏色不同的兩雙筷子.

7-1、

*:把這一國從某始按順時針方向分別記為在、咆、a3、…、<72000.相鄰的三個數為一姐,有、42a必

、。卜4。5...。1999^00001、fl2OOO^!02共2000組?

這2000組三個數之和的總和為：

（。］+再+為川。2+。3+。4）^”Ma2ooo+。1+。J=3（。［+g+…+。?畋）=3、（1+2+3+1999）=5997000?

5997000=2998x2000+1000.根據抽展,這兩千中有一?K的TOTd'于2999.

8-1、

解：將1、2、3、4四種號碼看作4個抽屜,要保證一個揄屜中至少有3個蘋果,最-壞"的情況是每個抽屜里有2個??蘋果”,

共有：4x2=8（個）.再取1個就能滿足要求,所以一次至少要取出9個小球,才能保證其中至少有3個小球的號碼相同.

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9-1

解:從最不利的情況考由，摸出的8個小球中有好小球的顏色各不相同，那么余下的好小球無論各是什么顏色，都必與之前的

4個小球中的某一個顏色相同.即這部小球中至少稗2個小球的顏色是相同的.

解：袋子里有4種顏色的球，只要接出的球比它們的酸色種數多1,就能保證有兩個球同色.4+1=5(個)

10-1,答：至少取出5個球,可以保證取到兩個81色相同板

11T、K:十項比賽，每位同學可以田g兩項，月私有45種不同的報名方法.由劍UB則有45+1=46(人)報名時滿足1.

12-1、

解：笫1盆花放在上,第2盆花放在距第1盆花恰為2米處(這是兩盆花之間最近的距商了,再近就說明題目已經正

確了一兩盆花之間距離小于2米).第3盆花放在距離第2盆花的距裔2米處，這樣每隔2米放1盆花，直到陽臺的另一

個盡頭，恰好放第11盆花.至此，陽臺上的11盆正中任意兩盆花之間的經離都按你的設想不小于2米放好了.現在考前最后

1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的io個空檔內了，這已說明必有兩盆花之間的距離小于2米.題目的結論是正確

的.

13-1、

解：方法一：因為均是奇數,所以如果存在倍數關系,那么也一定是3、5.7等奇數倍.3x33:99,于是從3班始，1~99的奇

數中沒有一個是35~99的奇數倍(不包括1倍)，所以選出35,37,39，…，99這些奇數即可.共可選出33個數,使得選出的

數中,每一個數都不是另一個數的倍數.

方法二:利用3的若干次嘉與質數的乘積對這5的奇數分組.(1,3,9,27,81),(5,15,45),(7,21,63),

(11,33),(13.39),(17.51),(19,57),(23,69),(25,75),(29,87),(31,93),(35).

(37),(41),(43)(97)共33組.前11組，每蛆內任意兩個數都存在倍數關系，所以每組內最多只豁躥一個

數.即最多可以選出33個數,使得選出的數中，每一個數都不是另的倍數.

14-1、

解：一共有12個生肖,線設這13個學生中12個人的生肖都不同，那么還剩一人，無論這個人是個生肖，都至少有2人屬相相

同.

15-1、

解：從這6個點中隨意選取一，點/,從a點引出的5條淺段,樹g抽層,必有3條的顏色相同，不妨設有3條線段為紅色,

它們另夕I一力分別為5.c、D'那么這三點中只要有兩點比如說B.C之間的線段是紅色，月幽x、B?C3總

姐成紅色三角形：如果b、C.D三點之間的線段都不是紅色,另隱都是藍色，這樣8、C、D3點組成藍色三角形，也

符合條件.所以結論成立.

16-1

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解：設正方形為.{BCD，E、F分別是.18>CD的中點?設直線MN把正方形.15。分成兩個長方形一切3/》和

CDNM，并且與EF相交于P（如困），

長方形.1BMN的面積長方形CDNM的面積=2:3,如果把直線AfN繞P點旋轉一定角度后，原來的兩個長方形就變

成兩個梯形，根據割補法兩個梯形的面積比也為2:3,所以只要直線MN繞P點旋轉，得到的兩個梯形的面積比為2:3，

所以將長方形分成2:3的兩個梯形必定經過P點，同樣根據對稱經過Q點的直線也是篇足條件的直線,同理我們還可以找到

陽長方形分成上下兩個梯形的兩個點這樣，在正方形內就有好固定的點，凡是把正方形面積分成兩個面積為2:3的梯形的直

線，一定通過這4,點中的某一個.我們把這4個點看作4個抽屜，9條直線看作9個蘋果，由他扈原理可知，9=4x2+1，所

以，必有fWS內至少放有3個萃果,也就是,必有三條直線要通過一個點.

17-1、

6只鴿子要飛進5個籠子，如果每個籠子裝1只，這樣還剩下1只鴿子.這只鴿子可以任意飛進其中的一個籠子，這樣至少有

一MS子里有2只鴿子.所以這句話是正確的.

解:6+4=1......2,1+1=2（R）

18-1,答：因為如果每片荷葉上跳上1只青蛙,另幽余下是2只無論跳到事片荷葉上總有一片荷葉上至少有2只青蛙.

解：如圖，將長方形按中線分為兩部分，則由抽屜然有3個點;1一個區域，那么由這3個點所構成的三角形的面積必

然小于該區域的一半,即長方形面的四分之一.

解：設這11個數為的，仍，%.....?11,由5個數的結論可知.在內.為，內，4，。5中必有3個數,其和為3的倍

數，不妨設的+的+a3=3瓦；在。4，。5，°6，07，為中心有3個數，其和為3的（8數，不妨設圖+的+。6=此；在

。7,小，。9，。10.中必有3個數，算和為3的倍數，不妨修。7+為+砌=泉3.又在瓦，后，心中心有兩個數的奇

偶性相同，不妨設kx.卜的奇偶性相同,那么我i+文是6的倍?，即的，g,用，由，由，。6的和是6的倍數.

解：任何血燧以5,其余敕只可能SO,1,2,3,4五種情形.那么沁目然數除以5,至少有兩個數的余數相同.如果兩

個數除以5的余數相同,那么它們的要一定是5的倍數.

22-1、解：把這7個點平均點的源上,則每兩個點間的距離約是16.7cm,都小于17cm.

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23-1

婚：5和7的最小公倍數是35,35+2=37（個）,符合每次取3個最后剩1個的條件,所以這個袋中至少有37個小球至少取4+1=5

個球

答：至少有37個小球,一次至少取訃球可以俁證有兩個是同色的.

24-1、

解：把這條，J'S分成每段1米長，共100段每段看作是一個抽屜，共100個抽屜，把101蛔看作是101個蘋果，于是101個蘋果

放入100個抽辰中,至少有一個抽屜中稗兩個蘋果,即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹.

25-1、

解：從問題入手：因為問的是和，所以就從和的種類入手.由1,2，3追成的和中最小為8x1=81最大的為8x3=24

,8-24中共有17種結果，而8行8列加上對角線共育18個