河北省保定市定州市2022-2023學年高二下學期

期末數學試題

一、單項擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合A5—”}6bmA},則)

A.(0,2)B.(-2,4)

C.—D.(―2,+co)

K答案UB

K解析X因為集合3=}|>=2*/€4}=1|；<”4,，則4_5=(-2,4).

故選：B

2.命題“VxeR,e*，x+l”的否定是()

xx

A.VxeR,e<x+lB.3x0eR,e°^x0+l

xx

C.VxgR,e<x+lD.3x0eR,e°<x0+1

［答案XD

k解析》因為全稱命題的否定是特稱命題，

v

所以命題“VXGH,e*2x+l”的否定是三/eR,6>-°<x0+l

故選D

3.已知隨機變量X服從正態分布N(2,4),尸(X")=0.2,則尸(0<X<2)=()

A.0.2B.0.3C.0.5D.0.8

k答案UB

K解析工因隨機變量X服從正態分布N(2,/),P(X24)=02

所以P(X<0)=02,P(0<X<4)=l-P(X>4)-P(X<0)=0.6.

所以尸(0<X<2)=工尸(0<X<4)=0.3.

2

故選：B.

4.已知a=0.9i5,z，=iOg20.9,c=log030.2,則()

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.c>b>a

(答案UC

k解析可因為0<0.9<1,所以函數y=0.9*單調遞減，所以0<0.9"<0.9°=1，

即0V4<1;

因為2>1,所以函數>=log2X單調遞增，所以Iog20.9<log21=0,

即b<0；

因為0<0.3<1,所以函數y=logo”單調遞減，所以logo.302>k)go,30.3=l,

即C〉1.所以c>4>b,故A,B,D錯誤.

故選：C.

5.己知二項式+的展開式中J的系數是10,則實數。=()

A.-1B.1C.-2D.2

［答案』B

K解析X二項式+的展開式為(依

令5-2/?=-1,解得廠=3,

所以/.C；=10/=i0,a=i

故選：B

6.已知直線％=/與y=x及y=21nx的圖像分別交于A,8兩點，貝的最小值為

().

A.1B.21n2-2C.2In2D.2-21n2

［答案工D

/2x-2

k解析U令y(x)=x-21nx,則f'(x}=l——=-----.

當0<%<2時，f'(x)<o；當X>2時，/^x)>o.

所以/(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,+向上單調遞增，

所以/⑴的最小值為"2)=2—21n2,即|AB|最小值為2—21n2.故選：D

7.甲口袋中有3個紅球,2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，

先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以A，4和4表示由甲口袋取出的球是紅球，

白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是紅球的事

件，則下列結論中正確的是()

A.P國&)=1

B.事件A與事件8相互獨立

3

c.P(A|5)=|D.P(B)=—

10

K答案』D

33

k解析』由題意得P（司&）=—,所以A錯誤;

3+3+4+111

因為尸（回4）=（，

尸伊）=/（A）P（5|A）+P（4）尸例4）+尸（A）P（MA）

ilW+QUQ所以p⑻*伍聞，即尸⑻尸⑷"（網），

故事件事件A與事件B不相互獨立，所以B錯誤，D正確;

53

P(A3B)P(A3)P(B|4)—x—5

尸(A⑻血盧=石，所以C錯誤;

P⑻P(3)D11

10

故選：D

8.己知48為兩個隨機事件,P（A）,「（5）＞0,則“4,8相互獨立”是“「（X忸）=。（國月卜

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

k答案》C

（解析力由題意，P（A\B）=^^-,P（A\B）=^^-

若A,B相互獨立，則|B）="初）=。（加⑸=：

P（B）P（B）

P（A|B）=°零）=P（A）￡（3）=p（?,故p（.18）=P（X|B）,故充分性成立；

P（B）P（B）

什———P（AB）P（AB）,--——

若尸（A|B）=P（A|B）,n即n尢：=號扁，則nP（AB）P（B）=P（AB）P（3）

即p（M）（i—P（3））=（P（^）-P（M））P（B）,故P（M）=P（K）P（B）,即A8相互獨立,

故A,8相互獨立，故必要性成立

故“A,B相互獨立”是“P（A|B）=P（Z同”的充分必要條件

故選：C

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多

個選項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.已知〃>0,^>0,且〃+2/?=1,貝1J（）

A.ab<—B.2〃+Z?<一

82

12

C.-+->9D.logb<0

abfl

K答案】AC

］解析1八.1=〃+2/?2215石，得。人“工，當且僅當〃=2/?=,，即〃=,，=■時

8224

等號成立，故A正確；

B當a=b=—時，2。+/?=1>—,故B錯誤；

32

12f12\2「2b2a「,12b2a八

C.—+—=—+—（〃+2。）=5+—+—>5+2./---------=9,

abyab）ab\ab

當一二/，即。=人=—時，等號成立，故C正確；

ab3

D.當a=6=g時，10gflb=l>Q,故D錯誤.

故選：AC

10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同排法共有18種

C.甲乙不相鄰的排法種數為72種

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種

K答案》ACD

K解析X對于A,甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，將甲乙看成一個整體，與丙，丁，戊

全排列，有A；=24種排法，A正確；

對于B,若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有A：=24種排法，故B錯誤；

對于C,先將丙，丁，戊三人排成一排，再將甲乙安排在三人的空位中，有A〉Aj=72種

排法，C正確；

對于D,甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有A；=120種排法，

甲乙丙全排列有A；=6種排法，則甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有4=20種，故D

O

正確.

故選：ACD.

11.在某一季節，疾病A的發病率為2%,病人中40%表現出癥狀S,疾病6的發病率為

5%,其中18%表現出癥狀S,疾病ft的發病率為0.5%,癥狀S在病人中占60%.則()

A.任意一位病人有癥狀S的概率為0.02

B.病人有癥狀S時患疾病Di的概率為0.4

C.病人有癥狀S時患疾病D2的概率為0.45

D.病人有癥狀S時患疾病O3的概率為0.25

K答案XABC

K解析H尸(￡h)=0.02,尸(02)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|DI)=0.4,P(5|fh)=0.18,尸⑹。3)=0.6,

3

由全概率公式得尸(S)=ZP(D,)P(S|D,)=0.02x0.4+0.05x0.18+0.005x0.6=0.02.

i=l

P(Q)P(S|2)0.02x0.4

由貝葉斯公式得：P(Di|S)==0.4,

P⑸0.02

P(A)P(S|￡))0.05X0.18P(D3)P(SR)0.005x0,6_0

2=0.45,P(r>3|S)=

一一p(s)0.02

故選：ABC

12.已知函數〃x)=，若/(X)=。有三個不等實根須，工2，，且不<%2<尤3，

則()

A.的單調遞增區間為(―

B.a的取值范圍是(0,2)

C.占々%3的取值范圍是(一2,0]

D.函數g(x)=/(/(%))有4個零點

K答案XCD

/、\x+2,x<0

K解析工作出函數〃x)=hbg￥|x>0的圖象，如圖所示:

對于A,由圖象可得y=f(x)的單調遞增區間為(一",0],[1,+8),故A不正確;

對于B,因為/(%)=a有三個不等實根，即>=/(無)與丁=。有三個不同交點，所以ae(O,

2],故B不正確；

對于C,則題意可知：-2<%<0,-log2%2=log2x3,所以％2演=L所以玉尤2鼻=玉€(-2,

0],故C正確；

對于D,令于(X)=t,則有y=/。)，令y=。，貝！]有/=一2或f=l,

當/=—2時，即/'(%)=—2,即x+2=—2,解得％=-4；

當『=1時，即/。)=1,所以x+2=l或Hog2xl=l，解得x=—1，或x=1■或x=2,

所以y=/(t)共有4個零點，即g(x)=/(/(%))有4個零點，故D正確.

故選：CD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把(答案』填寫在題中橫線上.

l,x>0

13.已知sg〃(x)=<0,x=0貝！|方程f-x-sgn(x)-6=0的根為.

—1,%<0

k答案1％=3或x=-3

l,x>0

K解析U已知sgn(x)=<0,x=0,

-1,x<0

①當x>0時,sg心)=1,

則X?-x-6=0,解得％=3或x=-2,

又因為x>0,所以x=3.

②當尤=0時,sg"(x)=0,

貝!Jx?—6=0,解得x=屈或x=-V6,

又因為x=0,所以無解.

③當x<0時,sgn(x)=-1,

貝!J尤2+x—6=0,解得x=—3或x=2,

又因為x<0,所以尤=一3.

綜上所述：%2-%-sgn(x)-6=0的根為X=3或%=-3.

故[答案X為：％=3或九=—3

14.己知隨機變量J網6,p),且￡(2J—3)=5,則。(30=.

K答案H12

k解析』因為￡(24一3)=2￡偌)一3=5,所以￡信)=4.

2

因為E（4）=6p=4,所以p=§.

因為D圖=6p（l—p）=g，所以D（3^）=9D（^）=12.

故K答案》為：12

15.某學校安排四名同學參加3個不同社區的暑期實踐活動，若每個社區至少1人參加，且

甲同學不去A社區，則不同的安排方案共有種.

K答案H24

k解析》第一類甲單獨一組，則從另外三人中選出兩人為一組，有C；=3種，甲不去A社

區，有2種選擇，

另外兩組人分配到另外兩個社區，有A；=2種情況，共有3x2x2=12種方法，

第二類甲與另外一人組成一個工作小組，有C；=3種情況，由于甲不去A社區，有2種情

況；

另外2人分配到其它2個社區，有A；=2種情況，共有3x2x2=12種方法，

綜上所述，共有12+12=24種方法.

故K答案I為：24

16.若函數/（%）="之絲在區間（二,二）上單調遞增，則實數。的取值范圍是.

cosx63

K答案』［2,+8）

k解析》因為函數/■（%）="*在區間（$,三）上單調遞增

cosx63

所以f\x）20在區間（工，工）恒成立，

63

,_-cosx-sinx--sinx）?（-sinx）_asinx-l

J（%）-7-2

COSXCOSX

因為cos?x>0,所以Qsinx—lN0在區間（B，g）恒成立

63

所以

smx

因為xe（—,—）,所以!<sinx<-=><--—<2

63223sinx

所以。的取值范圍是［2,+co）

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.某農發企業計劃開展“認領一分地，邀你來當農場主”活動.該企業把農場以微田園形式對

外租賃，讓人們認領.認領的田地由企業的專業人員打理，認領者可以隨時前往體驗農耕文

化，所有收獲歸認領者所有.某咨詢公司做了關于活動意愿情況的調查，隨機抽取了100份

有效問卷，部分統計數據如下表：

參與意愿

性別

不愿意參合計

愿意參與

與

男性4860

女性18

合計100

（1）請將上述2x2列聯表補充完整，試依據小概率值。=0.01的獨立性檢驗，分析男性是

否比女性更愿意參與活動；

（2）為了更詳細的了解情況，在100份有效問卷中抽取不愿意參與活動的人員若干人組成

觀摩小組，觀摩小組恰有男性4名，女性3名.從觀摩小組中選取3人為免費體驗者，設免

費體驗者中男性人數為X,求X的分布列及數學期望.

n(ad-be)"

附：z2,n=a+b+c+d.

(o+b)(c+d)(o+c)(b+d)

下表給出了力2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

解：（1）列聯表補充完整如下

參與意愿

性別不愿意參合計

愿意參與

與

男性481260

女性221840

合計7030100

零假設為“0：參與意愿與性別無關聯,

根據列聯表的數據可得，/=1°°（48X18-22x12）

=—?7.143>6.635=x

60x40x70x307001

對照附表，依據小概率值。=0.01的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立，所以認為參與意愿

與性別有關聯，此推斷犯錯的概率不大于0.01.

（2）X的可能取值為0,1,2,3,

P(x=o)=*1，P(X=1)年12

-35-35

C3co

P(X=2)=*18，NX=3)不4

-35-35

所以X的分布列為:

X0123

112184

P

35353535

419

根據超幾何分步的數學期望有石（乂）=亍義3=亍.

18.已知函數/（x）=e國一一

X+1

（1）判斷函數/（%）的奇偶性與單調性，并說明理由；

（2）解不等式〃x）>/（2x—l）.

解：（1）函數/（%）為偶函數，

函數/（%）在（一q。）上單調遞減，在［0,+8）上單調遞增；

因為函數/（力定義域為R，且x）=e罔-=陰一一二=/（%），

（―X）:+1X+1

所以函數“可為偶函數；

當x?0時，f（x）=ex--^―,

XH-1

有了'（…+片/〉。，

卜+1）

所以函數“力在［0,+8）上單調遞增，

又因為/（X）為偶函數，

所以函數/（力在（-8,0）上單調遞減；

（2）因為函數〃力為偶函數，

所以不等式/⑴>〃2X_1）等價于/（|x|）>f（|2x-l|）,

又函數/（x）在[0,+8）上單調遞增，

所以國,

兩邊平方得3f_4x+l<0,解得，<x<l,

3

故所求不等式的解集為\x-<x<l>.

[3J

19.某高中學校鼓勵學生自發組織各項體育比賽活動，甲、乙兩名同學利用課余時間進行乒

乓球比賽，比賽采用七局四勝制（即有一方先勝四局即獲勝，比賽結束）.假設每局比賽甲

獲勝的概率都是工.

3

（1）求比賽結束時恰好打了5局的概率；

（2）若甲以3：1的比分領先時，記X表示到結束比賽時還需要比賽的局數，求X的分布

列及期望.

解：（1）第一種情況：比賽結束時恰好打了5局且甲獲勝，則概率為

飛程囚3。-斗上士

1（3八3）3243

第二種情況：比賽結束時恰好打了5局且乙獲勝，則概率為

入Cj—耳—二]=巴

2\3j33J243

所以比賽結束時恰好打了5局的概率為P=Pl+P,=-^-+-^-=—.

24324327

（2）依題意得X的可能取值為L2,3

尸（X=l）fP（X=2）=H[H，P（X=3）=[1』V

X的分布列為

X123

124

P

399

i941Q

E（X）=lx-+2x-+3x-=—.

'）3999

20.己知函數/'（x）=alnx+gx?—（a+l）x（ae7?且a#0）.

（1）當。<0時，求函數/（力的極值；

（2）當。>0時，求函數/（九）零點的個數.

解：（1）由題意得：

尸⑺=-（,+尸一（T）…尸i）「,

令/'（力=0,得》=1或X=a（舍去），

當0<x<l時，/'（力<0,函數單調遞減；

當%>1時，f^x）>0,函數單調遞增；

所以函數/（九）有極小值/（1）=-a-J,無極大值.

（2）由（1）得尸⑺」無一1心一”）.因為a〉0,

①若0<a<l,當0（尤<a時，函數單調遞增;

當a<x<l時，-（x）<0,函數單調遞減;

當龍〉1時，f^x）>0,函數單調遞增;

所以/(%)有極大值/(a)=alna+ga2—(a+i)ci=u[ln〃——a—1j<0,

極小值/(l)=—a—g<0，又/(2a+2)=aln(2a+2)>0,

所以函數/（%）有1個零點

②若a=l,則7?'（力=生丫..0,所以函數八%）單調遞增，

X

此時〃l）=-g<0J（2a+2）=ahi（2a+2）>。，所以函數/（九）有1個零點.

③若a>l,當0<x<l時，/^%）>0,函數單調遞增；

當l<x<a時，/'（力<0,函數單調遞減；

當x>a時，戶"）>0，函數單調遞增；

所以/（%）有極大值/⑴=—a—g<0,顯然極小值/■（a）<0,

又〃2a+2）=aln（2a+2）＞0,

所以函數〃尤）有1個零點.

綜上所述，當。＞0時，函數/（力的零點個數為1.

21.據統計，某城市居民年收入（所有居民在一年內收入的總和，單位：億元）與某類商品

銷售額（單位：億元）的10年數據如下表所示：

第〃年12345678910

居民年收入X32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0

商品銷售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

依據表格數據,得到一F面一些統計:量的值.

1010Z=1

i=l9i=l9

/玉一可10（玉—可（y—y）

/=1i=l

379.6391247.624568.9m

（I）根據表中數據，得到樣本相關系數”0.95.以此推斷，y與X的線性相關程度是否很強？

（2）根據統計量的值與樣本相關系數H0.95,建立y關于X的經驗回歸方程（系數精確到

0.01）；

（3）根據（2）的經驗回歸方程，計算第1個樣本點（32.2,25。）對應的殘差（精確到0.01）；

并判斷若剔除這個樣本點再進行回歸分析，B的值將變大還是變小？（不必說明理由，直接

判斷即可）.

___-￡（%-可（%一刃

J2.2976516,2=上―--------------，a=y-bx.

i=l

解：（1）根據樣本相關系數