2024屆上海市寶山區通河中學高一數學第二學期期末學業質量監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進100米到達后，又測得對于山坡的斜度為，若米，山坡對于地平面的坡角為，則（）A． B． C． D．2．已知a，b為不同的直線，為平面，則下列命題中錯誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．設，則（）A．3 B．2 C．1 D．04．下列說法錯誤的是（）A．若樣本的平均數為5，標準差為1，則樣本的平均數為11，標準差為2B．身高和體重具有相關關系C．現有高一學生30名，高二學生40名，高三學生30名，若按分層抽樣從中抽取20名學生，則抽取高三學生6名D．兩個變量間的線性相關性越強，則相關系數的值越大5．直線傾斜角的范圍是（）A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]6．直線l：的傾斜角為（）A． B． C． D．7．已知等差數列中，，，則的值為（）A．51 B．34 C．64 D．5128．用區間表示不超過的最大整數，如，設，若方程有且只有3個實數根，則正實數的取值范圍為（）A． B． C． D．9．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．10．若函數，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如果函數的圖象關于直線對稱，那么該函數在上的最小值為_______________．12．已知為直線上一點，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．13．若直線與曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，當的面積取最大值時，實數m的取值____．14．若直線與圓相切，則________.15．下圖是2016年在巴西舉行的奧運會上，七位評委為某體操運動員的單項比賽打出的分數的莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的方差為__________．16．函數的圖像可由函數的圖像至少向右平移________個單位長度得到．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知公差的等差數列的前項和為，且滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求證：是數列中的項；（3）若正整數滿足如下條件：存在正整數，使得數列，，為遞增的等比數列，求的值所構成的集合.18．如圖所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）證明：⊥平面；（2）若，求點到平面的距離．19．如圖所示，在平面四邊形中，為正三角形.（1）在中，角的對邊分別為，若，求角的大小；（2）求面積的最大值.20．某地區有小學21所，中學14所，現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取5所學校，對學生進行視力檢查．（1）求應從小學、中學中分別抽取的學校數目；（2）若從抽取的5所學校中抽取2所學校作進一步數據分析：①列出所有可能抽取的結果；②求抽取的2所學校至少有一所中學的概率．21．某地合作農場的果園進入盛果期，果農利用互聯網電商渠道銷售蘋果，蘋果單果直徑不同則單價不同，為了更好的銷售，現從該合作農場果園的蘋果樹上隨機摘下了50個蘋果測量其直徑，經統計，其單果直徑分布在區間內（單位：)，統計的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋果中隨機抽取6個，則從，的蘋果中各抽取幾個？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個蘋果中隨機抽取2個，求這兩個蘋果單果直徑均在內的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現的頻率代表概率，若該合作農場的果園有20萬個蘋果約5萬千克待出售，某電商提出兩種收購方案：方案：所有蘋果均以5.5元/千克收購；方案：按蘋果單果直徑大小分3類裝箱收購，每箱裝25個蘋果，定價收購方式為：單果直徑在內按35元/箱收購，在內按45元/箱收購，在內按55元/箱收購.包裝箱與分揀裝箱費用為5元/箱（該費用由合作農場承擔).請你通過計算為該合作農場推薦收益最好的方案.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

先在中利用正弦定理求出BC的值，再在中由正弦定理解出，再計算．【詳解】在中，，在中，，又∵，∴.故選C.【點睛】本題考查解三角形在實際中的應用，屬于基礎題．2、D【解析】

根據線面垂直與平行的性質與判定分析或舉出反例即可.【詳解】對A,根據線線平行與線面垂直的性質可知A正確.對B,根據線線平行與線面垂直的性質可知B正確.對C,根據線面垂直的性質知C正確.對D,當,時,也有可能.故D錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查了空間中平行垂直的判定與性質,屬于中檔題.3、B【解析】

先求內層函數，將所求值代入分段函數再次求解即可【詳解】，則故選：B【點睛】本題考查分段函數具體函數值的求法，屬于基礎題4、D【解析】

利用平均數和方差的定義，根據線性回歸的有關知識和分層抽樣原理，即可判斷出答案．【詳解】對于A：若樣本的平均數為5，標準差為1，則樣本的平均數2×5+1＝11，標準差為2×1＝2，故正確對于B：身高和體重具有相關關系，故正確對于C：高三學生占總人數的比例為：所以抽取20名學生中高三學生有名，故正確對于D：兩個變量間的線性相關性越強，應是相關系數的絕對值越大，故錯誤故選：D【點睛】本題考查了線性回歸的有關知識，以及平均數和方差、分層抽樣原理的應用問題，是基礎題．5、C【解析】試題分析：根據直線傾斜角的定義判斷即可．解：直線傾斜角的范圍是：[0，π），故選C．6、C【解析】

由直線的斜率，又，再求解即可.【詳解】解：由直線l：，則直線的斜率，又，所以，即直線l：的傾斜角為，故選：C.【點睛】本題考查了直線傾斜角的求法，屬基礎題.7、A【解析】

根據等差數列性質;若，則即可。【詳解】因為為等差數列，所以，，所以選擇A【點睛】本題主要考查了等差數列比較重要的一個性質；在等差數列中若，則，屬于基礎題。8、A【解析】

由方程的根與函數交點的個數問題，結合數形結合的數學思想方法，作圖觀察y＝{x}的圖象與y＝﹣kx+1的圖象有且只有3個交點時k的取值范圍，即可得解.【詳解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3個實數根等價于y＝{x}的圖象與y＝﹣kx+1的圖象有且只有3個交點，當0≤x＜1時，{x}＝x，當1≤x＜2時，{x}＝x﹣1，當2≤x＜3時，{x}＝x﹣2，當3≤x＜4時，{x}＝x﹣3，以此類推如上圖所示，實數k的取值范圍為：k，即實數k的取值范圍為：（，]，故選A．【點睛】本題考查了方程的根與函數交點的個數問題，數形結合的數學思想方法，屬中檔題．9、C【解析】

畫出長方體,將平移至,則,則即為異面直線與所成角,由余弦定理即可求解.【詳解】根據題意,畫出長方體如下圖所示:將平移至,則即為異面直線與所成角,,由余弦定理可得故選:C【點睛】本題考查了長方體中異面直線的夾角求法,余弦定理在解三角形中的應用,屬于基礎題.10、D【解析】

根據分段函數的定義域與函數解析式的關系，代值進行計算即可．【詳解】解：由已知，又，又，所以：．

故選：D．【點睛】本題考查了分段函數的函數值計算問題，抓住定義域的范圍，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據三角公式得輔助角公式，結合三角函數的對稱性求出值，再利用的取值范圍求出函數的最小值.【詳解】解：，令，則，則.因為函數的圖象關于直線對稱，所以，即，則，平方得.整理可得，則，所以函數.因為，所以，當時，即，函數有最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數最值求解，結合輔助角公式和利用三角函數的對稱性建立方程是解決本題的關鍵.12、或【解析】

利用切線長最短時，取最小值找點：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點．就切線的斜率是否存在分類討論，結合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設切線長為，則，所以當切線長取最小值時，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點為垂足點，此時，直線的方程為，聯立，得，點的坐標為.①若切線的斜率不存在，此時切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點睛】本題考查過點的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關問題，在過點引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．13、【解析】

點O到的距離，將的面積用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點，則直線的斜率，則點O到的距離，又，當且僅當，即時，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點睛】本題考查了點到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學生的計算能力.14、1【解析】

利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，即，由于，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.15、【解析】由平均數公式可得，故所求數據的方差是，應填答案。16、【解析】試題分析：因為，所以函數的的圖像可由函數的圖像至少向右平移個單位長度得到．【考點】三角函數圖像的平移變換、兩角差的正弦公式【誤區警示】在進行三角函數圖像變換時，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經常出現在題目中，所以也必須熟練掌握，無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言，即圖像變換要看“變量”變化多少，而不是“角”變化多少．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)證明見解析；(3)見解析【解析】

(1)根據等差數列性質,結合求得等再求的通項公式.

(2)先求出,再證明滿足的通項公式.

(3)由數列,,為遞增的等比數列可得,從而根據的通項公式求的值所構成的集合.【詳解】(1)因為為等差數列,故,故或,又公差,所以,故,故.

(2)由可得,故,若是數列中的項,則即,即,故是數列中的項；(3)由數列，，為遞增的等比數列,則即.由題意存在正整數使得等式成立,因為,故能被5整除,設,則,又為整數,故為整數設,即，故,解得,又,故,不妨設,則.即又當時,由得滿足條件.綜上所述,.【點睛】(1)本題考查等差數列性質：若是等差數列，且，則(2)證明數列中是否滿足某項或者存在正整數使得某三項為等比數列時,均先根據條件列出對應的表達式,再利用正整數的性質進行判斷,有一定的難度.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）通過⊥，⊥來證明；（2）根據等體積法求解.【詳解】（1）證明：∵⊥平面，平面，∴⊥.又⊥，，平面，平面，∴⊥平面.（2）由已知得，所以且由（1）可知，由勾股定理得∵平面∴=，且∴，由，得∴即點到平面的距離為【點睛】本題考查線面垂直與點到平面的距離.線面垂直的證明要轉化為線線垂直；點到平面的距離常規方法是作出垂線段求解，此題根據等體積法能簡化計算.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦和角公式,化簡三角函數表達式,結合正弦定理即可求得角的大小;（2）在中,設,由余弦定理及正弦定理用表示出.再根據三角形面積公式表示出,即可結合正弦函數的圖像與性質求得最大值.【詳解】（1）由題意可得：∴整理得∴∴∴又∴（2）在中,設,由余弦定理得：,∵為正三角形,∴,在中,由正弦定理得：,∴,∴,∵,∵,∴為銳角,,,,∵∴當時,.【點睛】本題考查了三角函數式的化簡變形,正弦定理與余弦定理在解三角形中的應用,三角形面積的表示方法,正弦函數的圖像與性質的綜合應用,屬于中檔題.20、（1）3所、2所；（2）①共10種；②【解析】

（1）根據分層抽樣的方法，得到分層抽樣的比例，即可求解樣本中小學與中學抽取的學校數目；（2）①3所小學分別記為；2所中學分別記為，利用列舉法，即可求得抽取的2所學校的所有結果；②利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率．【詳解】（1）學校總數為35所，所以分層抽樣的比例為，計算各類學校應抽取的數目為：，故從小學、中學中分別抽取的學校數目為3所、2所．（2）①3所小學分別記為；2所中學分別記為應抽取的2所學校的所有結果為：共10種．②設“抽取的2所學校至少有一所中學”作為事件．其結果共有7種，所以概率為．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用，以及古典概型及其概率的