2023-2024學年貴州省黔東南州凱里市第一中學高一數學第二學期期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設集合A={x|x≥–3}，B={x|–3<x<1}，則A∪B=()A．{x|x>–3} B．{x|x<1}C．{x|x≥–3} D．{x|–3≤x<1}2．取一根長度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷，則剪得兩段繩有一段長度不小于的概率是（）A． B． C． D．3．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．最大角為銳角的等腰三角形 D．最大角為鈍角的等腰三角形4．已知基本單位向量，，則的值為（）A．1 B．5 C．7 D．255．為研究需要，統計了兩個變量x，y的數據·情況如下表:其中數據x1、x2、x3…xn，和數據y1、y2、y3，…yn的平均數分別為和，并且計算相關系數r＝-1.8，回歸方程為，有如下幾個結論：①點(，)必在回歸直線上，即＝b+；②變量x，y的相關性強；③當x＝x1，則必有；④b＜1．其中正確的結論個數為A．1 B．2 C．3 D．46．若角的終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．不存在7．設函數是定義在上的奇函數，當時，，則（）A．－4 B． C． D．8．設向量，，則是的A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．已知向量，，若，則實數a的值為A． B．2或 C．或1 D．10．若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．______．12．已知，則__________．13．若，則________.14．魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計）15．在中，，則_____________16．如圖所示為函數的部分圖像，其中、分別是函數圖像的最高點和最低點，且，那么________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）求的最小正周期和單調遞增區間；（2）若方程在有兩個不同的實根，求的取值范圍．18．已知函數，作如下變換：.（1）分別求出函數的對稱中心和單調增區間；（2）寫出函數的解析式、值域和最小正周期.19．若函數滿足且，則稱函數為“函數”．（1）試判斷是否為“函數”，并說明理由；（2）函數為“函數”，且當時，，求的解析式，并寫出在上的單調遞增區間；（3）在(2)的條件下，當時，關于的方程為常數有解，記該方程所有解的和為，求．20．使用支付寶和微信支付已經成為廣大消費者最主要的消費支付方式，某超市通過統計發現一周內超市每天的凈利潤(萬元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(千人)具有線性相關關系，并得到最近一周的7組數據如下表，并依此作為決策依據.(1)作出散點圖，并求出回歸方程(，精確到)；(2)超市為了刺激周一消費，擬在周一開展使用支付寶和微信支付隨機抽獎活動，總獎金7萬元.根據市場調查，抽獎活動能使使用支付寶和微信支付消費人數增加7千人，試決策超市是否有必要開展抽獎活動？(3)超市管理層決定:從周一到周日，若第二天的凈利潤比前一天增長超過兩成，則對全體員工進行獎勵，在(Ⅱ)的決策下，求全體員工連續兩天獲得獎勵的概率.參考數據:，，，.參考公式：，，.21．在中，內角A，B，C的對邊分別是ɑ，b，c，已知，.(1)求角C；(2)求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據并集的運算律可計算出集合A∪B.【詳解】∵A=xx≥-3，B=x故選：C.【點睛】本題考查集合的并集運算，解題的關鍵就是并集運算律的應用，考查計算能力，屬于基礎題.2、A【解析】

設其中一段的長度為，可得出另一段長度為，根據題意得出的取值范圍，再利用幾何概型的概率公式可得出所求事件的概率.【詳解】設其中一段的長度為，可得出另一段長度為，由于剪得兩段繩有一段長度不小于，則或，可得或.由于，所以，或.由幾何概型的概率公式可知，事件“剪得兩段繩有一段長度不小于”的概率為，故選：A.【點睛】本題考查長度型幾何概型概率公式的應用，解題時要將問題轉化為區間型的幾何概型來計算概率，考查分析問題以及運算求解能力，屬于中等題.3、D【解析】

先由余弦定理，結合題中條件，求出，再由，求出，進而可得出三角形的形狀.【詳解】因為，所以，，所以.又，所以，則的形狀為最大角為鈍角的等腰三角形.故選D【點睛】本題主要考查三角形的形狀的判定，熟記余弦定理即可，屬于常考題型.4、B【解析】

計算出向量的坐標，再利用向量的求模公式計算出的值.【詳解】由題意可得，因此，，故選B.【點睛】本題考查向量模的計算，解題的關鍵就是求出向量的坐標，并利用坐標求出向量的模，考查運算求解能力，屬于基礎題.5、C【解析】

根據回歸方程的性質和相關系數的性質求解.【詳解】回歸直線經過樣本中心點，故①正確；變量的相關系數的絕對值越接近與1，則兩個變量的相關性越強，故②正確；根據回歸方程的性質，當時，不一定有，故③錯誤；由相關系數知負相關，所以，故④正確；故選C.【點睛】本題考查回歸直線和相關系數，注意根據回歸方程得出的是估計值不是準確值.6、B【解析】

由三角函數的定義可得：，得解.【詳解】解：在單位圓中，，故選B.【點睛】本題考查了三角函數的定義，屬基礎題.7、A【解析】

由奇函數的性質可得:即可求出【詳解】因為是定義在上的奇函數，所以又因為當時，，所以，所以，選A.【點睛】本題主要考查了函數的性質中的奇偶性。其中奇函數主要有以下幾點性質：1、圖形關于原點對稱。2、在定義域上滿足。3、若定義域包含0，一定有。8、C【解析】

利用向量共線的性質求得，由充分條件與必要條件的定義可得結論.【詳解】因為向量，，所以，即可以得到，不能推出，是“”的必要不充分條件，故選C.【點睛】本題主要考查向量共線的性質、充分條件與必要條件的定義，屬于中檔題.利用向量的位置關系求參數是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.9、C【解析】

根據題意，由向量平行的坐標表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【詳解】根據題意，向量，，若，則有，解可得或1；故選C．【點睛】本題考查向量平行的坐標表示方法，熟記平行的坐標表示公式得到關于a的方程是關鍵，是基礎題10、A【解析】

由已知可得||，根據數量積公式求解即可．【詳解】||．故選A．【點睛】本題考查平面向量數量積的性質及運算，考查了利用數量積進行向量模的運算求解方法，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

,,故答案為.考點：三角函數誘導公式、切割化弦思想.12、【解析】13、【解析】

直接利用倍角公式展開，即可得答案.【詳解】由，得，即，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數的化簡求值，考查倍角公式的應用，屬于基礎題．14、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個正四棱柱的外接球，求其半徑，進而求體積．15、【解析】

先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值．【詳解】由，結合正弦定理可得，故設，，()，由余弦定理可得，故.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運用，屬于基礎題．16、【解析】

由圖可知：，因為，由周期公式得到，結合以及誘導公式即可求解.【詳解】由圖可知：，因為所以，即由題意可知：，即故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦型函數的圖像的性質以及求值，關鍵是從圖像得出周期，最值等，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最小正周期，；（2）.【解析】

（1）利用兩角差的余弦公式、倍角公式、輔助角公式得，求得周期；（2）利用換元法令，將問題轉化成方程在有兩個不同的實根，再利用圖象得的取值范圍.【詳解】（1），所以的最小正周期，由得：，所以的單調遞增區間是.（2）令，因為，所以，即方程在有兩個不同的實根，由函數的圖象可知，當時滿足題意，所以的取值范圍為.【點睛】第（1）問考查三角恒等變換的綜合運用；第二問考查換元法求參數的取值范圍，注意在換元的過程中參數不能出錯，否則轉化后的問題與原問題就不等價.18、（1），；（2），，.【解析】

（1）由，直接利用對稱中心和增區間公式得到答案.（2）根據變換得到函數的解析式為，再求值域和最小正周期.【詳解】由題意知：（1）由得對稱中心，由，得：單調增區間為，（2）所求解析式為：0值域：最小正周期：.【點睛】本題考查了三角函數的對稱中心，單調區間，函數變換，周期，值域，綜合性強，意在考查學生對于三角函數公式和性質的靈活運用.19、（1）不是“M函數”；（2），；（3）.【解析】

由不滿足，得不是“M函數”，可得函數的周期，，當時，當時，在上的單調遞增區間：，由可得函數在上的圖象，根據圖象可得：當或1時，為常數有2個解，其和為當時，為常數有3個解，其和為．當時，為常數有4個解，其和為即可得當時，記關于x的方程為常數所有解的和為，【詳解】不是“M函數”．，，不是“M函數”．函數滿足，函數的周期，，當時，當時，，在上的單調遞增區間：，；由可得函數在上的圖象為：當或1時，為常數有2個解，其和為.當時，為常數有3個解，其和為．當時，為常數有4個解，其和為當時，記關于x的方程為常數所有解的和為，則．【點睛】本題考查了三角函數的圖象、性質，考查了三角恒等變形，及三角函數型方程問題，屬于難題．20、（1）；（2）見解析；（3）【解析】

(1)通過表格描點即可，先計算和，然后通過公式計算出線性回歸方程；（2）先計算活動開展后使用支付寶和微信支付的人數為(千人)，代入（1）問得到結果；（3）先判斷周一到周日全體員工只有周二、周三、周四、周日獲得獎勵，從而確定基本事件，再找出連續兩天獲得獎勵的基本事件，故可計算出全體員工連續兩天獲得獎勵的概率.【詳解】(1)散點圖如圖所示，關于的回歸方程為(2)活動開展后使用支付寶和微信支付的人數為(千人)由(1)得，當時，此時超市的凈利潤約為，故超市有必要開展抽獎活動(3)由于，，，，，，故從周一到周日全體員工只有周二、周三、周四、周日獲得獎勵從周一到周日中連續兩天，基本事件為(周一、周二)，(周二、周三)，(周三、周四)，(周四、周五)，(周五、周六)，(周六、周日)，共6個基本事件連續兩天獲得獎勵的基本事件為(周二、周三)，(周三、周四)，共2個基本事件故全體員工連續兩天獲得獎勵的概率為【點睛】本題主要考查線性回歸方程，古典概率的計算，意在考查學生的閱