2024屆廣東省珠海一中高一下數學期末學業水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，且，恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若關于的方程有且只有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若,則下列不等式成立的是()A． B．C． D．4．《九章算術》中的玉石問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176兩），問玉、石重各幾何？”其意思為：“寶玉1立方寸重7兩，石料1立方寸重6兩，現有寶石和石料混合在一起的一個正方體，棱長是3寸，質量是11斤（即176兩），問這個正方體中的寶玉和石料各多少兩？”如圖所示的程序框圖給出了對此題的一個求解算法，運行該程序框圖，則輸出的分別為（）A．90，86 B．98，78 C．94，82 D．102，745．P是直線x+y+2=0上任意一點，點Q在圓x-22+yA．2 B．4-2 C．4+26．干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對，周而復始，循環記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數學王子高斯出生的1777年是干支紀年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年7．若，滿足不等式組，則的最小值為（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-28．從3位男運動員和4位女運動員中選派3人參加記者招待會，至少有1位男運動員和1位女運動員的選法有（）種A． B． C． D．9．已知函數在上是x的減函數，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知平面向量，，，，且，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的部分圖像如圖所示，則的值為________．12．若角的終邊經過點，則______.13．利用數學歸納法證明不等式“”的過程中，由“”變到“”時，左邊增加了_____項．14．已知實數，是與的等比中項，則的最小值是______．15．已知點P是矩形ABCD邊上的一動點，，，則的取值范圍是________.16．方程，的解集是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知都是第二象限的角，求的值。18．如圖，三棱柱的側面是邊長為2的菱形，，且.（1）求證：；（2）若，當二面角為直二面角時，求三棱錐的體積.19．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，.(1)求證：是銳角三角形；(2)若，求的面積.20．如圖，在多面體中，為等邊三角形，,點為邊的中點.（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證:平面平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.21．若數列中存在三項，按一定次序排列構成等比數列，則稱為“等比源數列”。（1）在無窮數列中，，，求數列的通項公式；（2）在（1）的結論下，試判斷數列是否為“等比源數列”，并證明你的結論；（3）已知無窮數列為等差數列，且，（），求證：數列為“等比源數列”.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

將代數式與相乘，展開式利用基本不等式求出的最小值，將問題轉化為解不等式，解出即可.【詳解】由基本不等式得，當且僅當，即當時，等號成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實數的取值范圍是，故選A.【點睛】本題考查基本不等式的應用，考查不等式恒成立問題以及一元二次不等式的解法，對于不等式恒成立問題，常轉化為最值來處理，考查計算能力，屬于中等題．2、B【解析】

方程化為，可轉化為半圓與直線有兩個不同交點，作圖后易得．【詳解】由得由題意半圓與直線有兩個不同交點，直線過定點，作出半圓與直線，如圖，當直線過時，，，當直線與半圓相切（位置）時，由，解得．所以的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查方程根的個數問題，把問題轉化為直線與半圓有兩個交點后利用數形結合思想可以方便求解．3、B【解析】

利用不等式的性質，進行判斷即可.【詳解】因為，故由均值不等式可知：；因為，故；因為，故；綜上所述：.故選：B.【點睛】本題考查均值不等式及利用不等式性質比較大小.4、B【解析】（1）；（2）；（3）；（4），輸出分別為98，78。故選B。5、D【解析】

首先求出圓心到直線的距離與半徑比較大小，得到直線與圓是相離的，根據圓上的點到直線的距離的最小值等于圓心到直線的距離減半徑，求得結果.【詳解】因為圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=2+0+2所以直線x+y+2=0與圓(x-2)2所以PQ的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑，即PQmin故選D.【點睛】該題考查的是有關直線與圓的問題，涉及到的知識點有直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，圓上的點到直線的距離的最小值問題，屬于簡單題目.6、C【解析】

天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，按照這個規律進行推理，即可得到結果．【詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．【點睛】本題主要考查了等差數列的定義及等差數列的性質的應用，其中解答中認真審題，合理利用等差數列的定義，以及等差數列的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、A【解析】

畫出不等式組表示的平面區域，平移目標函數，找出最優解，求出的最小值．【詳解】畫出，滿足不等式組表示的平面區域，如圖所示平移目標函數知，當目標函數過點時，取得最小值，由得，即點坐標為∴的最小值為，故選A.【點睛】本題主要考查線性規劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.8、C【解析】

利用分類原理，選出的3人中，有1男2女，有2男1女，兩種情況相加得到選法總數.【詳解】（1）3人中有1男2女，即；（2）3人中有2男1女，即；所以選法總數為，故選C.【點睛】分類加法原理和分步乘法原理進行計算時，要注意分類的標準，不出現重復或遺漏情況，本題若是按先選1個男的，再選1個女的，最后從剩下的5人中選1人，則會出現重復現象.9、C【解析】

由復合函數單調性及函數的定義域得不等關系．【詳解】由題意，解得．故選：C．【點睛】本題考查對數型復合函數的單調性，解題時要注意對數函數的定義域．10、B【解析】

根據可得到：，由此求得；利用向量夾角的求解方法可求得結果.【詳解】由題意知：，則設向量與向量的夾角為則本題正確選項：【點睛】本題考查向量夾角的求解，關鍵是能夠通過平方運算將模長轉變為向量的數量積，從而得到向量的位置關系.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由圖可得，，求出，得出，利用，然后化簡即可求解【詳解】由題圖知，，所以，所以．由正弦函數的對稱性知，所以答案：【點睛】本題利用函數的周期特性求解，難點在于通過圖像求出函數的解析式和函數的最小正周期，屬于基礎題12、【解析】

利用三角函數的定義可計算出，然后利用誘導公式可計算出結果.【詳解】由三角函數的定義可得，由誘導公式可得.故答案為：.【點睛】本題考查利用三角函數的定義和誘導公式求值，考查計算能力，屬于基礎題.13、.【解析】

分析題意，根據數學歸納法的證明方法得到時，不等式左邊的表示式是解答該題的突破口，當時，左邊，由此將其對時的式子進行對比，得到結果.【詳解】當時，左邊，當時，左邊，觀察可知，增加的項數是，故答案是.【點睛】該題考查的是有關數學歸納法的問題，在解題的過程中，需要明確式子的形式，正確理解對應式子中的量，認真分析，明確哪些項是添的，得到結果.14、【解析】

通過是與的等比中項得到，利用均值不等式求得最小值.【詳解】實數是與的等比中項，，解得．則，當且僅當時，即時取等號．故答案為:．【點睛】本題考查了等比中項，均值不等式，1的代換是解題的關鍵.15、【解析】

如圖所示，以為軸，為軸建立直角坐標系，故，，設.，根據幾何意義得到最值，【詳解】如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標系，故，，設.則.表示的幾何意義為到點的距離的平方減去.根據圖像知：當為或的中點時，有最小值為；當與中的一點時有最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數量積的范圍，轉化為幾何意義是解題關鍵.16、【解析】

用正弦的二倍角公式展開,得到,分兩種情況討論得出結果.【詳解】解：即,即：或.①由,,得.②由,,得或.綜上可得方程,的解集是：故答案為【點睛】本題考查正弦函數的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；【解析】

根據所處象限可確定的符號，利用同角三角函數關系可求得的值；代入兩角和差正弦和余弦公式可求得結果.【詳解】都是第二象限的角，，【點睛】本題考查利用兩角和差正弦和余弦公式求值的問題；關鍵是能夠根據角所處的范圍和同角三角函數關系求得三角函數值.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結，交于點，連結，推導出，又，從而面，進而，推導出，由此能得到結論；（2）由題意，可證得是二面角的平面角，進而得，進而計算得，進而利用棱錐的體積公式計算即可.【詳解】（1）連結，交于點，連結，因為側面是菱形，所以，又因為，，所以面而平面，所以，因為，所以，而，所以，故.（2）因為，為的中點，則，由（1）可知，因為，所以面，作，連結，由（1）知，所以且所以是二面角的平面角，依題意得，，所以，設，則，，又由，，所以由，解得，所以.【點睛】本題考查兩個角相等的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．19、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)由正弦定理、余弦定理得，則角C最大，由余弦定理可得答案.

（2）由平面向量數量積的運算及三角形的面積公式結合（1）可得，利用面積公式可求解.【詳解】【詳解】

(1)由，根據正弦定理得，又，所以即，所以，因此邊最大，即角最大.設則即,所以是銳角三角形.（2）由（1）和，即可得解得.所以在中，且所以的面積為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理，數量積的定義的應用和求三角形面積.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解析】

(I)取中點,連結,利用三角形中位線定理可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結果；（Ⅱ）先證明，，可得平面，從而可得平面，由面面垂直的判定定理可得結果；（Ⅲ）取中點,連結，直線與平面所成角等于直線與平面所成角,過作,垂足為,連接，為直線與平面所成角，利用直角三角形的性質可得結果.【詳解】(I)取中點,連結，是平行四邊形，平面，平面,平面.(II)，又平面平面，又為等邊三角形，為邊的中點，平面由(I)可知，平面，平面平面平面．(III)取中點,連結，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,過作,垂足為,連接.平面平面,平面，平面.為斜線在面內的射影，為直線與平面所成角，在中，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查線面平行、面面垂直的證明以及線面角的求解方法，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面.21、（1）；（2）不是，證明見解析；（3）證明見解析.【解析】

（1）由，可得出，則數列為等比數列，然后利用等比數列的通項公式可間接求出；（2）假設數列為“等比源數列”，則此數列中存在三項成等比數列，可得出，展開后得出，然后利用數的奇偶性即可得出結論；（3）設等差數列的公差為，假設存在三項使得，展開得出，從而可得知，當，時，原命題成立.【詳解】（1），得，即，且.所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，則，因此，；（2）數列不是“等比源數列”，下面用反證法來證明.假設數列是“等比源數列”，則存在三項、、，設.由于數列為單調遞增的正項數列，則，