云南省昆明市官渡區官渡區第一中學2024屆高一下數學期末學業水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作之一，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積（弦矢矢），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為，半徑等于6米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約為（）A．12平方米 B．16平方米 C．20平方米 D．24平方米2．下列各數中最小的數是（）A． B． C． D．3．已知函數，若存在滿足，且，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．64．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以為直徑作兩個半圓，在扇形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．5．為了得到函數的圖像，只需把函數的圖像（）A．向右平移個單位長度，再把各點的橫坐標伸長到原來的3倍；B．向左平移個單位長度，再把各點的橫坐標伸長到原來的3倍；C．向右平移個單位長度，再把各點的橫坐標縮短到原來的倍；D．向左平移個單位長度，再把各點的橫坐標縮短到原來的倍6．已知，則()A． B． C． D．7．在中，若，則下列結論錯誤的是（）A．當時，是直角三角形 B．當時，是銳角三角形C．當時，是鈍角三角形 D．當時，是鈍角三角形8．如圖，在中，若，，，用表示為（）A． B．C． D．9．已知直線是平面的斜線，則內不存在與（

）A．相交的直線 B．平行的直線C．異面的直線 D．垂直的直線10．某實驗單次成功的概率為0.8,記事件A為“在實驗條件相同的情況下,重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中至少成功2次”，現采用隨機模擬的方法估計事件4的概率:先由計算機給出0～9十個整數值的隨機數，指定0,1表示單次實驗失敗,2，3，4，5,6,7，8,9表示單次實驗成功，以3個隨機數為組,代表3次實驗的結果經隨機模擬產生了20組隨機數，如下表:752029714985034437863694141469037623804601366959742761428261根據以上方法及數據，估計事件A的概率為()A．0.384 B．0.65 C．0.9 D．0.904二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在銳角中，則的值等于．12．與終邊相同的最小正角是______.13．若，則=.14．已知無窮等比數列的前項和，其中為常數，則________15．已知無窮等比數列滿足：對任意的，，則數列公比的取值集合為__________．16．函數的部分圖像如圖所示，則的值為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓經過、、三點．（1）求圓的標準方程；（2）若過點的直線被圓截得的弦的長為，求直線的傾斜角．18．已知函數.(1)求函數f(x)的最小值及f(x)取到最小值時自變量x的集合；(2)指出函數y＝f(x)的圖象可以由函數y＝sinx的圖象經過哪些變換得到；19．已知向量,.(1)求的坐標;(2)求.20．在平面直角坐標系中，的頂點、，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.（1）求點B到直線的距離；（2）求的面積.21．在中，已知，，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，求：頂點C的坐標；

直線MN的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

在中，由題意OA＝4，∠DAO＝，即可求得OD，AD的值，根據題意可求矢和弦的值，即可利用公式計算求值得解．【詳解】如圖，由題意可得：∠AOB＝，OA＝6，在中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得：矢＝6﹣3＝3，由AD＝AO＝6×＝3，可得：弦＝2AD＝2×3＝6，所以：弧田面積＝（弦×矢+矢2）＝（6×3+32）＝9+4.5≈20平方米．故選：C【點睛】本題考查扇形的面積公式，考查數學閱讀能力和數學運算能力，屬于中檔題．2、D【解析】

將選項中的數轉化為十進制的數，由此求得最小值的數.【詳解】依題意，，，，故最小的為D.所以本小題選D.【點睛】本小題主要考查不同進制的數比較大小，屬于基礎題.3、D【解析】

根據正弦函數的性質，對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得滿足條件的n最小，則盡量讓更多的取值對應的點是最值點，然后再對應圖象取值.【詳解】，因為正弦函數對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，盡可能多讓（i=1，2，3，…，n）取得最高點，因為，所以要使得滿足條件的n最小，如圖所示則需取，，，，，，即取，，，，，，即．故選：D【點睛】本題主要考查正弦函數的圖象，還考查了數形結合的思想方法，屬于中檔題.4、A【解析】試題分析：設扇形半徑為，此點取自陰影部分的概率是，故選B.考點：幾何概型.【方法點晴】本題主要考查幾何概型，綜合性較強，屬于較難題型.本題的總體思路較為簡單：所求概率值應為陰影部分的面積與扇形的面積之比．但是，本題的難點在于如何求陰影部分的面積，經分析可知陰影部分的面積可由扇形面積減去以為直徑的圓的面積，再加上多扣一次的近似“橢圓”面積．求這類圖形面積應注意切割分解，“多還少補”.5、B【解析】

根據函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．【詳解】把函數y＝2sinx，x∈R的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得函數y＝2sin（x）的圖象，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），可得函數y＝2sin（），x∈R的圖象，故選：B．【點睛】本題主要考查函數y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于中檔題．6、C【解析】

利用誘導公式和同角三角函數的商數關系，得，再利用化弦為切的方法，即可求得答案.【詳解】由已知則故選C.【點睛】本題考查利用三角函數的誘導公式、同角三角函數的基本關系化簡求值，屬于三角函數求值問題中的“給值求值”問題，解題的關鍵是正確掌握誘導公式中符號與函數名稱的變換規律和化弦為切方法.7、D【解析】

由正弦定理化簡已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等知識逐一分析各個選項即可得解．【詳解】解：為非零實數），可得：，由正弦定理，可得：，對于A，時，可得：，可得，即為直角，可得是直角三角形，故正確；對于B，時，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是銳角三角形，故正確；對于C，時，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是鈍角三角形，故正確；對于D，時，可得：，可得，這樣的三角形不存在，故錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的應用，考查了分類討論思想，屬于基礎題．8、C【解析】

根據向量的加減法運算和數乘運算來表示即可得到結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查根據向量的線性運算，來利用已知向量表示所求向量；關鍵是能夠熟練應用向量的加減法運算和數乘運算法則.9、B【解析】

根據平面的斜線的定義，即可作出判定，得到答案．【詳解】由題意，直線是平面的斜線，由斜線的定義可知與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線，所以在平面內肯定不存在與直線平行的直線．故答案為：B【點睛】本題主要考查了直線與平面的位置關系的判定及應用，其中解答中熟記平面斜線的定義是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．10、C【解析】

由隨機模擬實驗結合圖表計算即可得解．【詳解】由隨機模擬實驗可得：“在實驗條件相同的情況下，重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中最多成功1次”共141，601兩組隨機數，則“在實驗條件相同的情況下，重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中至少成功2次”共組隨機數，即事件的概率為，故選．【點睛】本題考查了隨機模擬實驗及識圖能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】設由正弦定理得12、【解析】

根據終邊相同的角的定義以及最小正角的要求，可確定結果.【詳解】因為，所以與終邊相同的最小正角是.故答案為：.【點睛】本題主要考查終邊相同的角，屬于基礎題.13、【解析】.14、1【解析】

根據等比數列的前項和公式，求得，再結合極限的運算，即可求解.【詳解】由題意，等比數列前項和公式，可得，又由，所以，所以，可得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數列的前項和公式的應用，以及熟練的極限的計算，其中解答中根據等比數列的前項和公式，求得的值，結合極限的運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.15、【解析】

根據條件先得到：的表示，然后再根據是等比數列討論公比的情況.【詳解】因為，所以，即；取連續的有限項構成數列，不妨令，則，且，則此時必為整數；當時，，不符合；當時，，符合，此時公比；當時，，不符合；當時，，不符合；故：公比.【點睛】本題考查無窮等比數列的公比，難度較難,分析這種抽象類型的數列問題時，經常需要進行分類，可先通過列舉的方式找到思路，然后再準確分析.16、【解析】

由圖可得，，求出，得出，利用，然后化簡即可求解【詳解】由題圖知，，所以，所以．由正弦函數的對稱性知，所以答案：【點睛】本題利用函數的周期特性求解，難點在于通過圖像求出函數的解析式和函數的最小正周期，屬于基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）設出圓的一般方程，然后代入三個點的坐標，聯立方程組可解得；（2）討論直線的斜率是否存在，根據點到直線的距離和勾股定理列式可得直線的傾斜角．【詳解】（1）設圓的一般方程為，將點、、的坐標代入圓的方程得，解得，所以，圓的一般方程為，標準方程為；（2）設圓心到直線的距離為，則.①當直線的斜率不存在時，即直線到圓心的距離為，滿足題意，此時直線的傾斜角為；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時，直線的傾斜角為.綜上所述，直線的傾斜角為或.【點睛】本題考查圓的方程的求解，同時也考查了利用直線截圓的弦長求直線的傾斜角，一般轉化為求圓心到直線的距離，并結合點到直線的距離公式以及勾股定理列等式求解，考查計算能力，屬中檔題．18、（1），此時自變量的集合是（2）見解析【解析】

（1）根據三角函數的性質，即可求解；（2）根據三角函數的圖形變換規律，即可得到。【詳解】(1)，此時，，即，，即此時自變量的集合是.（2）把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，再把函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的，得到函數的圖象，最后再把函數的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象．【點睛】本題主要考查正弦函數的性質應用，以及三角函數的圖象變換規律的應用。19、(1);(2).【解析】

（1）根據向量的數乘運算及加法運算即可得到本題答案；（2）根據向量的模的計算公式即可得到本題答案.【詳解】(1)因為,,所以；所以；(2)因為,所以.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算以及模的計算，屬基礎題.20、（1）（2）【解析】

（1）由題意求得所在直線的斜率再由直線方程點斜式求的方程，然后利用點到直線的距離公式求解；（2）設的坐標，由題意列式求得的坐標，再求出，代入三角形面積公式求解．【詳解】（1）由題意，，直線的方程為，即．點到直線的距離；（2）設，則的中點坐標為，則，解得，即，．的面積．【點睛】本題考查點到直線的距離公式的應用，考查點關于直線的對稱點的求法，是基礎題．21、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）邊AC的中點M在y軸上，由中點公式得，A，C兩點的橫坐標和的平均數為1，同理，B，C兩點的縱坐標和的平均數為1．構造方程易得C點的坐標．（2）根據C點的坐標，結合中點公式，我們可求出M，N兩點的坐標，代入兩點式即可求出直線MN的方