2024年長沙中考數學終極押題密卷2一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）已知函數，使y＝a成立時x的值恰好只有3個，則a的值為（）A．﹣2 B．0 C．1 D．22．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝12，中線AD與角平分線BE相交于點F，則線段AF的長為（）A． B． C．5 D．23．（3分）設n是100到200之間的自然數，則滿足7n+2是5的倍數的n的個數是（）A．10 B．11 C．20 D．214．（3分）電影《劉三姐》中，有這樣一個場景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數要單數，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達的是一道數學題．其大意是：把300條狗分成4群，每個群里，狗的數量都是奇數，其中一個群，狗的數量少，另外三個群，狗的數量多且數量相同．問：應該如何分？劉三姐的姐妹們以對歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條給財主．”劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案．請算一算這個問題一共有多少種正確答案（）A．12 B．24 C．50 D．995．（3分）如圖所示，點A，B是反比例函數y圖象在第三象限內的點，連接AO并延長與y在第一象限的圖象交于點C，連接OB，并以OB、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC（點D在第四象限內）．作AE⊥x軸于點E，AE＝5，以AE為邊作菱形AGFE，使得點F、G分別在y軸的正、負半軸上，連接AB．若OE﹣OG＝2，S△AOB＝15，OE＞OF，另一反比例函數y的圖象經過點D，則k的值為（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣13 D．﹣156．（3分）如圖，點P在⊙O的直徑AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中點D，G在直徑所在直線上，點C，E，F，H都在⊙O上，若兩個正方形的面積之和為16，OP，則DG的長是（）A．6 B．2 C．7 D．47．（3分）已知拋物線p：y＝ax2+bx+c的頂點為C，與x軸相交于A，B兩點（點A在點B左側），點C關于x軸的對稱點為C'，我們稱以A為頂點且過點C'，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC'為拋物線p的“夢之星”直線．若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y＝x2+2x+1和y＝2x+2，則這條拋物線的解析式為（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2+2x+38．（3分）有五張卡片的正面分別寫有“喜”“迎”“二”“十”“大”，五張卡片洗勻后將其反面朝上放在桌面上，小明從中任意抽取兩張卡片，恰好是“二十”的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）拋物線y＝ax2+bx+1的頂點為D，與x軸正半軸交于A、B兩點，A在B左，與y軸正半軸交于點C，當△ABD和△OBC均為等腰直角三角形（O為坐標原點）時，b的值為（）A．2 B．﹣2或﹣4 C．﹣2 D．﹣410．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的等邊三角形AOP在第二象限，OA與x軸重合，將△AOP繞點O順時針旋轉60°，得到△A1OP1，再作△A1OP1關于原點O的中心對稱圖形，得到△A2OP2，再將△A2OP2繞點O順時針旋轉60°，得到△A3OP3，再作△A3OP3關于原點O的中心對稱圖形，得到△A4OP4，以此類推…，則點P2024的坐標是（）A． B． C．（2，0） D．（﹣2，0）二．填空題（共5小題，滿分18分）11．（3分）分解因式：（1）x2+7x﹣18＝；（2）x2+8x+12＝．12．（3分）已知a，b，c為三角形三邊，且|b﹣12|+（13﹣c）2＝0，這個三角形是三角形．13．（3分）如圖，∠ACB＝45°，半徑為1的⊙O與∠ACB的兩邊相切，點P是⊙O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F，設，則t的取值范圍是．14．（3分）已知兩圓相離，半徑分別為2cm、3cm，則兩圓圓心距d范圍為．15．（6分）定義在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）的折線距離|AB|＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．根據折線距離的定義，可以構造出許多美麗的圖形．例如點P（1，0），若平面中有一動點Q，滿足Q到P的折線距離為|PQ|＝2，則點Q的軌跡為以P（1，0）為中心，2為邊長的正方形（如圖所示），若點M（﹣2，﹣1），N（3，2）動點R滿足|MR|+|NR|＝11（動點R到點M，N的折線距離之和為11）．已知動點R的軌跡與x軸、y軸均有兩個公共點．①動點R的軌跡與y軸公共點的坐標為．②動點R的軌跡交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B，R在運動過程中，△ARB面積的最大值為．三．解答題（共9小題）16．先化簡，再求值：，其中x＝3．17．下表是2018年三月份某居民小區隨機抽取20戶居民的用水情況：月用水量/噸15202530354045戶數24m4301（1）求出m＝，補充畫出這20戶家庭三月份用水量的條形統計圖；（2）據上表中有關信息，計算或找出下表中的統計量，并將結果填入表中：統計量名稱眾數中位數平均數數據（3）為了倡導“節約用水綠色環保”的意識，江贛市自來水公司實行“梯級用水、分類計費”，價格表如下：月用水梯級標準Ⅰ級（30噸以內）Ⅱ級（超過30噸的部分）單價（元/噸）2.44如果該小區有500戶家庭，根據以上數據，請估算該小區三月份有多少戶家庭在Ⅰ級標準？（4）按上表收費，如果某用戶本月交水費120元，請問該用戶本月用水多少噸？18．圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四點在同一直線上，測得∠FEC＝∠A＝73°，AD＝1.5m，EF＝6.5m．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點G到AB的距離）．（結果保留小數點后一位）（參考數據：sin73°≈0.96，cos73°≈0.29，tan73°≈3.27）19．如圖，已知⊙O是邊長為6的等邊△ABC的外接圓，點D，E分別是BC，AC上兩點，且BD＝CE，連接AD，BE相交于點P，延長線段BE交⊙O于點F，連接CF．（1）求證：AD∥FC；（2）連接PC，當△PEC為直角三角形時，求tan∠ACF的值．20．A、B兩地相距80千米，甲與乙開車都從A地前往B地，甲開車從A地出發小時后，乙出從A地出發，已知乙開車速度是甲開車速度的1.5倍，結果乙比甲提前10分鐘到達B地，求甲開的速度．21．現代城市綠化帶在不斷擴大，綠化用水的節約是一個非常重要的問題．如圖1、圖2所示，某噴灌設備由一根高度為0.64m的水管和一個旋轉噴頭組成，水管豎直安裝在綠化帶地面上，旋轉噴頭安裝在水管頂部（水管頂部和旋轉噴頭口之間的長度、水管在噴灌區域上的占地面積均忽略不計），旋轉噴頭可以向周圍噴出多種拋物線形水柱，從而在綠化帶上噴灌出一塊圓形區域．現測得噴的最遠的水柱在距離水管的水平距離3m處達到最高，高度為1m．（1）求噴灌出的圓形區域的半徑；（2）在邊長為16m的正方形綠化帶上固定安裝三個該設備，噴灌區域可以完全覆蓋該綠化帶嗎？如果可以，請說明理由；如果不可以，假設水管可以上下調整高度，求水管高度為多少時，噴灌區域恰好可以完全覆蓋該綠化帶．（以上需要畫出示意圖，并有必要的計算、推理過程）22．已知三角形的三邊分別是10、17、21，求這個三角形外接圓的半徑．23．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣6與x軸交于點A（﹣6，0）和點B（2，0）．與y軸交于點C，連接AC，BC．（1）求該拋物線的函數解析式．（2）點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點P作BC的平行線l，交線段AC于D．①試探究：在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；②設拋物線的對稱軸與直線l交于點M，與直線AC交于點N．當S△DMN＝S△AOC時，請直接寫出DM的長．24．如圖，點P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點，連接BP并延長交⊙P于C，過點C的直線y＝2x+b交x軸于D，交y軸于點E，且⊙P的半徑為，AB＝4．（1）寫出點B，P，C的坐標；（2）求證：CD是⊙P的切線；（3）⊙P上有一動點M，求DM+ME的最小值．

2024年菁優長沙中考數學終極押題密卷2參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）已知函數，使y＝a成立時x的值恰好只有3個，則a的值為（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考點】二次函數的圖象；二次函數的性質．【專題】二次函數圖象及其性質；運算能力．【答案】D【分析】首先在坐標系中畫出已知函數的圖象，利用數形結合的方法即可找到使y＝a成立的x值恰好有3個的a值．【解答】解：函數的圖象如圖：根據圖象知道當y＝2時，對應成立的x值恰好有三個，∴a＝2．故選：D．【點評】此題主要考查了利用二次函數的圖象解決交點問題，解題的關鍵是把解方程的問題轉換為根據函數圖象找交點的問題．2．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝12，中線AD與角平分線BE相交于點F，則線段AF的長為（）A． B． C．5 D．2【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【專題】數形結合；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】過點E作EN⊥BC于點N，過點F作FH⊥AB于點H，由勾股定理求得BC；由角平分線的性質可得EA＝EN；判定Rt△ABE≌Rt△NBE（HL），則可得NB＝AB＝12，進而得出CN的值；設AE＝NE＝x，則CE＝9﹣x，在Rt△CEN中，由勾股定理得出關于x的方程，解得x值，由tan∠ABE，設FH＝m，由直角三角形的斜邊中線性質得邊等，進而得出∠FAH＝∠CBA，結合∠FHA＝∠CAB，可判定△FHA∽△CAB，從而可得比例式，解得m的值，最后在Rt△AFH中，由勾股定理可求得答案．【解答】解：過點E作EN⊥BC于點N，過點F作FH⊥AB于點H，如圖：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝12，由勾股定理得：BC15，∵BE平分∠ABC，EN⊥BC，EA⊥AB，∴EA＝EN，在Rt△ABE和Rt△NBE中，，∴Rt△ABE≌Rt△NBE（HL），∴NB＝AB＝12，∴CN＝15﹣12＝3，設AE＝NE＝x，則CE＝9﹣x，在Rt△CEN中，（9﹣x）2＝x2+32，解得x＝4．∴tan∠ABE，設FH＝m，則BH＝3m，AH＝12﹣3m，∵AD是Rt△ABC的斜邊中線，∴ADBC＝BD＝7.5，∴∠FAH＝∠CBA，又∵∠FHA＝∠CAB，∴△FHA∽△CAB，∴，即，解得m，∴FH，AH＝123，在Rt△AFH中，AF．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理、直角三角形的斜邊中線性質、角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、解直角三角形及相似三角形的判定與性質等知識點，數形結合、熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．3．（3分）設n是100到200之間的自然數，則滿足7n+2是5的倍數的n的個數是（）A．10 B．11 C．20 D．21【考點】數的整除性．【專題】規律型．【答案】C【分析】由5的倍數的特征可知，末尾一定為0或5，即7n的尾數一定為3或8，找出規律即可解答．【解答】解：當n的尾數為4或9時，7n的尾數為8或3，7n+2的尾數為0或5，100到200之間符合這個條件的數有104，109，114，119，…，194，199共20個．故選：C．【點評】本題主要考查數的整除性問題，熟練掌握5的倍數的特征是解答本題的關鍵．4．（3分）電影《劉三姐》中，有這樣一個場景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數要單數，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達的是一道數學題．其大意是：把300條狗分成4群，每個群里，狗的數量都是奇數，其中一個群，狗的數量少，另外三個群，狗的數量多且數量相同．問：應該如何分？劉三姐的姐妹們以對歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條給財主．”劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案．請算一算這個問題一共有多少種正確答案（）A．12 B．24 C．50 D．99【考點】二元一次不定方程的整數解．【專題】一次方程（組）及應用；運算能力．【答案】A【分析】設數量相同的三個群的狗數為2a+1，數量少的那個群的狗數為2b+1，根據題意列出方程和不等式，然后求解即可．【解答】解：設數量相同的三個群的狗數為2a+1，數量少的那個群的狗數為2b+1（a和b都是自然數），則3（2a+1）+2b+1＝300，且a＞b，解得，，，，，，，，，，，，∴這個問題一共有12種正確答案，故選：A．【點評】本題主要考查二元一次方程的知識，根據取值范圍解二元一次方程是解題的關鍵．5．（3分）如圖所示，點A，B是反比例函數y圖象在第三象限內的點，連接AO并延長與y在第一象限的圖象交于點C，連接OB，并以OB、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC（點D在第四象限內）．作AE⊥x軸于點E，AE＝5，以AE為邊作菱形AGFE，使得點F、G分別在y軸的正、負半軸上，連接AB．若OE﹣OG＝2，S△AOB＝15，OE＞OF，另一反比例函數y的圖象經過點D，則k的值為（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣13 D．﹣15【考點】反比例函數系數k的幾何意義；反比例函數圖象上點的坐標特征；平行四邊形的性質；菱形的性質；反比例函數的性質．【專題】反比例函數及其應用；推理能力．【答案】A【分析】先設OG為x，OE＝2+x，通過勾股定理及OE＞OF求出點A及點C坐標，再設點B坐標為（m，），通過水平寬與鉛錘高求S△AOB＝15，求出點B坐標后再根據點O與點C坐標求點D坐標．【解答】解∵四邊形AGFE為菱形，∴AE＝EF＝FG＝5，OE﹣OG＝2，設OG為x，則OE＝2+x，∴OF＝5﹣OG＝5﹣x，∵EF2＝OE2+OF2，∴25＝（2+x）2+（5﹣x）2，∴x＝2或x＝1．當x＝2時，OF＝3，OE＝4，當x＝1時，OF＝4，OE＝3，∵OE＞OF，∴x＝2，OF＝3，OE＝4，∴A（﹣4，﹣5），C（4，5），∴a＝4×5＝20．設B橫坐標為m，則點B坐標為（m，），作BH平行于y軸交AO于點H．設直線AO解析式為y＝kx，將A（﹣4，﹣5）代入解得k，∴yx．將x＝m代入得ym，所以點H坐標為（m，m），BHm，S△AOB（xO﹣xA）?BH4（m）＝15，解得m＝﹣2或m＝8（舍）．∴點B坐標為（﹣2，﹣10），∵點C坐標為（4，5），點O坐標為（0，0），設點D坐標為（a，b），則4+（﹣2）＝0+a，5+（﹣10）＝0+b，∴a＝2，b＝﹣5，∴k＝﹣10．故選：A．【點評】本題考查反比例函數與平行四邊形的綜合應用，解題關鍵是掌握平行四邊形在坐標系內點的關系．6．（3分）如圖，點P在⊙O的直徑AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中點D，G在直徑所在直線上，點C，E，F，H都在⊙O上，若兩個正方形的面積之和為16，OP，則DG的長是（）A．6 B．2 C．7 D．4【考點】垂徑定理；勾股定理；正方形的性質．【專題】矩形菱形正方形；與圓有關的計算；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】設正方形PFGH的邊長是x，由條件得到x2+（x+2）2＝16，從而求出正方形PFGH的邊長，得到正方形PCDE的邊長，進一步求出PD，PG的長，即可求出DG的長．【解答】解：作OK⊥PC于K，設正方形PFGH的邊長是x，∵四邊形PCDE是正方形，∴∠CPD＝45°，∵∠OKP＝90°，∴△KOP是等腰直角三角形，∴PKOP＝1，∴CK＝FK＝x+1，∴PC＝CK+PK＝x+2，∵兩個正方形的面積之和為16，∴x2+（x+2）2＝16，∴x1或x1（舍），∴PC＝x+21，PH＝x1，∴PDPC，PGPH，∴DG＝PD+PG＝2．故選：B．【點評】本題考查正方形的性質，垂徑定理，關鍵是由條件列出關于小正方形邊長的方程，求出小正方形邊長．7．（3分）已知拋物線p：y＝ax2+bx+c的頂點為C，與x軸相交于A，B兩點（點A在點B左側），點C關于x軸的對稱點為C'，我們稱以A為頂點且過點C'，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC'為拋物線p的“夢之星”直線．若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y＝x2+2x+1和y＝2x+2，則這條拋物線的解析式為（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2+2x+3【考點】拋物線與x軸的交點；平行線的判定；關于x軸、y軸對稱的點的坐標；一次函數的性質；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；待定系數法求二次函數解析式．【專題】新定義；二次函數圖象及其性質；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】根據題意和一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y＝x2+2x+1和y＝2x+2，可以計算出點A和點C的坐標，然后即可求得原拋物線的解析式，本題得以解決．【解答】解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴該函數的頂點坐標為（﹣1，0），聯立，解得或，∴點A的坐標為（﹣1，0），點C'的坐標為（1，4），∴點C的坐標為（1，﹣4），設原拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，∵點（﹣1，0）在該拋物線上，∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，故選：A．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、新定義、二次函數的性質，解答本題的關鍵是求出點A和點C的坐標．8．（3分）有五張卡片的正面分別寫有“喜”“迎”“二”“十”“大”，五張卡片洗勻后將其反面朝上放在桌面上，小明從中任意抽取兩張卡片，恰好是“二十”的概率是（）A． B． C． D．【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用；運算能力；應用意識．【答案】A【分析】根據題意列出表格表示出所有等可能的結果，再找出符合題意的結果，最后由概率公式計算即可．【解答】解：根據題意可列表格如下，喜迎二十大喜喜，迎喜，二喜，十喜，大迎迎，喜迎，二迎，十迎，大二二，喜二，迎二，十二，大十十，喜十，迎十，二十，大大大，喜大，迎大，二大，十根據表格可知共有20種等可能的結果，其中恰好抽到“二”和“十”的結果有2種，∴從中任意抽取兩張卡片，恰好是“二十”的概率是．故選：A．【點評】本題考查列表法或畫樹狀圖法求概率．正確的列出表格或畫出樹狀圖是解題關鍵．9．（3分）拋物線y＝ax2+bx+1的頂點為D，與x軸正半軸交于A、B兩點，A在B左，與y軸正半軸交于點C，當△ABD和△OBC均為等腰直角三角形（O為坐標原點）時，b的值為（）A．2 B．﹣2或﹣4 C．﹣2 D．﹣4【考點】拋物線與x軸的交點；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征．【專題】二次函數圖象及其性質．【答案】D【分析】根據題意和函數圖象，利用二次函數的性質和等腰三角形的性質，可以求得b的值，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+1，∴x＝0時，y＝1，∴點C的坐標為（0，1），∴OC＝1，∵△OBC為等腰直角三角形，∴OC＝OB，∴OB＝1，∴拋物線y＝ax2+bx+1與x軸的一個交點為（1，0），∴a+b+1＝0，得a＝﹣1﹣b，設拋物線y＝ax2+bx+1與x軸的另一個交點A為（x1，0），∴x1×1，∵△ABD為等腰直角三角形，∴點D的縱坐標的絕對值是AB的一半，∴，∴，解得，b＝﹣2或b＝﹣4，當b＝﹣2時，a＝﹣1﹣（﹣2）＝1，此時y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，與x軸只有一個交點，故不符合題意，當b＝﹣4時，a＝﹣1﹣（﹣4）＝3，此時y＝3x2﹣4x+1，與x軸兩個交點，符合題意，故選：D．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的等邊三角形AOP在第二象限，OA與x軸重合，將△AOP繞點O順時針旋轉60°，得到△A1OP1，再作△A1OP1關于原點O的中心對稱圖形，得到△A2OP2，再將△A2OP2繞點O順時針旋轉60°，得到△A3OP3，再作△A3OP3關于原點O的中心對稱圖形，得到△A4OP4，以此類推…，則點P2024的坐標是（）A． B． C．（2，0） D．（﹣2，0）【考點】規律型：點的坐標；旋轉對稱圖形．【專題】規律型；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】過點P作PB⊥OA于點B，結合等邊三角形的性質求出，再由旋轉的性質可得點，點，點P3（﹣2，0），同理，……，由此發現，從點P開始每變換6次一個循環，即可求解．【解答】解：如圖，過點P作PB⊥OA于點B，∵△AOP為等邊三角形，且邊長為2，∴OP＝OA＝2，，∠AOP＝60°，∴，∴點，∵將△AOP繞點O順時針旋轉60°，得到△A1OP1，∴點P與點P1關于y軸對稱，∴點，∵作△A1OP1關于原點O的中心對稱圖形，得到△A2OP2，∴點P1于點P2關于原點對稱，∴點，∵將△A2OP2繞點O順時針旋轉60°，得到△A3OP3，∴點P3（﹣2，0），同理，……，由此發現，從點P開始每變換6次一個循環，∵，∴點P2024與點P2重合，∴點P2024的坐標是．故選：B．【點評】本題主要考查了圖形的旋轉，等邊三角形的性質，軸對稱變換，明確題意，準確得到規律是解題的關鍵．二．填空題（共5小題，滿分18分）11．（3分）分解因式：（1）x2+7x﹣18＝（x﹣2）（x+9）；（2）x2+8x+12＝（x+2）（x+6）．【考點】因式分解﹣十字相乘法等．【專題】因式分解；運算能力．【答案】（1）（x﹣2）（x+9）；（2）（x+2）（x+6）．【分析】根據十字相乘法：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）分別求解（1）（2）即可．【解答】解：（1）x2+7x﹣18＝（x﹣2）（x+9），故答案為：（x﹣2）（x+9）；（2）x2+8x+12＝（x+2）（x+6），故答案為：（x+2）（x+6）．【點評】本題考查了十字相乘法進行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．12．（3分）已知a，b，c為三角形三邊，且|b﹣12|+（13﹣c）2＝0，這個三角形是直角三角形．【考點】非負數的性質：算術平方根；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：偶次方．【專題】實數；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】直角．【分析】根據非負數的性質求出a、b、c的值，根據勾股定理的逆定理可得答案．【解答】解：∵|b﹣12|+（13﹣c）2＝0，∴2a﹣10＝0，b﹣12＝0，13﹣c＝0，即a＝5，b＝12，c＝13，∵a2+b2＝52+122＝169＝132＝c2，∴這個三角形是直角三角形，故答案為：直角．【點評】本題考查非負數，勾股定理的逆定理，掌握絕對值、算術平方根、偶次冪的非負性以及勾股定理的逆定理是正確解答的前提．13．（3分）如圖，∠ACB＝45°，半徑為1的⊙O與∠ACB的兩邊相切，點P是⊙O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F，設，則t的取值范圍是．【考點】切線的性質；估算無理數的大小．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】．【分析】利用切線的性質以及等腰直角三角形的性質求得，再求得t＝PE+PQ＝EQ，分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質即可求解．【解答】解：設⊙O與∠ACB兩邊的切點分別為D、G，連接OG、OD，延長DO交CB于點H，由切線的性質可得∠OGC＝∠ODC＝∠OGH＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠OHC＝45°，∴，∴，如圖，延長EP交CB于點Q，同理，∵，∴t＝PE+PQ＝EQ，當EQ與⊙O相切時，EQ有最大或最小值，連接OP，∵D、P都是切點，∴∠ODE＝∠DEP＝∠OPE＝90°，∴四邊形ODEP是矩形，∵OD＝OP，∴四邊形ODEP是正方形，∴t的最大值為；如圖，同理，t的最小值為；綜上，t的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查了切線的性質，等腰直角三角形的性質與判定，勾股定理，正方形的性質與判定等等，證明t＝PE+PQ＝EQ，并且當EQ與⊙O相切時，EQ有最大或最小值是解題的關鍵．14．（3分）已知兩圓相離，半徑分別為2cm、3cm，則兩圓圓心距d范圍為d＞5或0≤d＜1．【考點】圓與圓的位置關系．【專題】與圓有關的位置關系；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】根據兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系即可求得它們的圓心距．【解答】解：∵兩圓半徑分別為2cm和3cm，兩圓相離，∴它們的圓心距d滿足：d＞5或0≤d＜1，故答案為：d＞5或0≤d＜1．【點評】此題考查了圓與圓的位置關系．解此題的關鍵是注意掌握兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系．15．（6分）定義在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）的折線距離|AB|＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．根據折線距離的定義，可以構造出許多美麗的圖形．例如點P（1，0），若平面中有一動點Q，滿足Q到P的折線距離為|PQ|＝2，則點Q的軌跡為以P（1，0）為中心，2為邊長的正方形（如圖所示），若點M（﹣2，﹣1），N（3，2）動點R滿足|MR|+|NR|＝11（動點R到點M，N的折線距離之和為11）．已知動點R的軌跡與x軸、y軸均有兩個公共點．①動點R的軌跡與y軸公共點的坐標為（0，3.5），（0，﹣2.5）．②動點R的軌跡交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B，R在運動過程中，△ARB面積的最大值為17．【考點】二次函數綜合題．【專題】新定義；一次函數及其應用；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】①（0，3.5）或（0，﹣2.5）；②17．【分析】①設R的軌跡與y軸的交點坐標為：（0，a），可得出2+3+|y+1|+|y﹣2|＝11，進一步得出結果；②分類討論，求出每一段的函數關系式，畫出點R的運動軌跡，進而求得結果．【解答】解：①設R的軌跡與y軸的交點坐標為：（0，a），由題意得，2+3+|y+1|+|y﹣2|＝11，解之得，y＝3.5或y＝﹣2.5，∴點R的軌跡與y軸的交點坐標為：（0，3.5）或（0，﹣2.5），故答案為：（0，3.5）或（0，﹣2.5）；②設點R（x，y），∵|x+2|+|x﹣3|，|y+1|+|y﹣2|，∴當x≤﹣2時，（1）當y≤﹣1時，﹣2x+1﹣2y﹣1＝11，∴y＝﹣x，（2）當﹣1＜y＜2時，x＝﹣3.5，（3）當y≥2時，y＝x+5.5，當﹣2＜x＜3時，（4）當y≤﹣1時，y＝﹣2.5，（5）當﹣1＜y＜2時，8（舍去），（6）當y≥3時，y＝3.5，當x≥3時，（7）當y≤﹣1時，y＝x﹣5.5，（8）當﹣1＜y＜2時，x＝45，（9）當y≥3時，y＝﹣x+6.5，∴|x+2|+|x﹣3|+|y+1|+|y﹣2|＝11的圖象如圖：設AB的解析式為：y＝kx+3.5，∴4.5k+3.5＝0，∴k，∴yx+3.5，當x＝﹣2時，y3.5，∴DR6，由得，，∴CR，∴S△ABR最大CR17，故答案為：17．【點評】本題考查了在新定義的基礎上如何分類討論，去絕對值，得出分段函數的解析式等知識，解決問題的關鍵是較強的計算能力．三．解答題（共9小題）16．先化簡，再求值：，其中x＝3．【考點】分式的化簡求值．【專題】計算題；分式；二次根式；運算能力．【答案】，．【分析】先將小括號內的式子進行通分計算，然后再算括號外面的，最后代入求值．【解答】解：原式＝[]，當x＝3時，原式．【點評】本題考查分式的化簡求值，二次根式的分母有理化，理解二次根式的性質，掌握分式混合運算的運算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號先算小括號里面的）和計算法則是解題關鍵．17．下表是2018年三月份某居民小區隨機抽取20戶居民的用水情況：月用水量/噸15202530354045戶數24m4301（1）求出m＝6，補充畫出這20戶家庭三月份用水量的條形統計圖；（2）據上表中有關信息，計算或找出下表中的統計量，并將結果填入表中：統計量名稱眾數中位數平均數數據252526.5（3）為了倡導“節約用水綠色環保”的意識，江贛市自來水公司實行“梯級用水、分類計費”，價格表如下：月用水梯級標準Ⅰ級（30噸以內）Ⅱ級（超過30噸的部分）單價（元/噸）2.44如果該小區有500戶家庭，根據以上數據，請估算該小區三月份有多少戶家庭在Ⅰ級標準？（4）按上表收費，如果某用戶本月交水費120元，請問該用戶本月用水多少噸？【考點】折線統計圖；中位數；眾數；一元一次方程的應用；用樣本估計總體；條形統計圖．【專題】統計的應用．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據各用戶數之和等于數據總和即可求出m的值，根據表格數據補全統計圖；（2）根據眾數、中位數、平均數的定義計算即可；（3）用達標的用戶數除以總用戶數，乘以500即可；（4）設該用戶本月用水x噸，列方程2.4×30+4（x﹣30）＝120，解答即可．【解答】解：（1）m＝20﹣2﹣4﹣4﹣3﹣0﹣1＝6，這20戶家庭三月份用電量的條形統計圖：故答案為6；（2）根據題意可知，25出現的次數最多，則眾數為25，由表可知，共有20個數據，則中位數為第10、11個的平均數，即為25；平均數為（15×2+20×4+25×6+30×4+45×1）÷20＝26.5，故答案為25，25，26.5；（3）小區三月份達到Ⅰ級標準的用戶數：（戶），答：該小區三月份有400戶家庭在Ⅰ級標準；（4）∵2.4×30＝72＜120，∴該用戶本月用水超過了30噸，設該用戶本月用水x噸，2.4×30+4（x﹣30）＝120，解得x＝42，答：該用戶本月用水42噸．【點評】本題考查了條形統計圖，熟練掌握條形統計圖的相關知識是解題的關鍵．18．圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四點在同一直線上，測得∠FEC＝∠A＝73°，AD＝1.5m，EF＝6.5m．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點G到AB的距離）．（結果保留小數點后一位）（參考數據：sin73°≈0.96，cos73°≈0.29，tan73°≈3.27）【考點】解直角三角形的應用；平行四邊形的判定與性質．【專題】多邊形與平行四邊形；解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）證明過程見解答；（2）雕塑的高約為7.7m．【分析】（1）根據平行線的性質可得∠A＝∠GDC＝73°，從而可得∠FEC＝∠GDC＝73°，進而可得FE∥GD，然后利用平行四邊形的判定可得四邊形DEFG為平行四邊形，即可解答；（2）過點G作GM⊥AB，垂足為M，根據平行四邊形的性質可得EF＝DG＝6.5m，從而可求出AG的長，然后在Rt△AGM中，利用銳角三角函數的定義求出GM的長，即可解答．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠GDC＝73°，∵∠FEC＝∠A＝73°，∴∠FEC＝∠GDC＝73°，∴FE∥GD，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）解：過點G作GM⊥AB，垂足為M，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴EF＝DG＝6.5m，∵AD＝1.5m，∴AG＝AD+DG＝8（m）在Rt△AGM中，∠A＝73°，∴GM＝AG?sin73°≈8×0.96≈7.7（m），∴雕塑的高約為7.7m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，平行四邊形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．19．如圖，已知⊙O是邊長為6的等邊△ABC的外接圓，點D，E分別是BC，AC上兩點，且BD＝CE，連接AD，BE相交于點P，延長線段BE交⊙O于點F，連接CF．（1）求證：AD∥FC；（2）連接PC，當△PEC為直角三角形時，求tan∠ACF的值．【考點】三角形的外接圓與外心；解直角三角形；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；圓周角定理．【專題】證明題；與圓有關的計算；運算能力；推理能力．【答案】（1）見解答；（2）或．【分析】（1）根據已知條件及△ABD與△BCE，可得∠BDA＝∠CEB，可證∠BDA＝∠BCF即可求解，（2）根據已知條件即可求出∠ACF＝30°即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∴∠ABD＝∠∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BDA＝∠CEB，∵∠CEB＝∠F+∠FCE，∵∠F＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠CEB＝∠BCA+∠FCE＝∠BCF，∴∠BDA＝∠BCF，∴AD∥CF；（2）如圖，連接PC，當△PEC為直角三角形時，可分3種情況討論：①∠PCE＝90°或∠CEP＝90°或∠CPE＝90°，①當∠PCE＝90°時，∵∠PCE＜∠ACB＝60°，∴∠PCE＝90°這種情況不存在；②當∠PEC＝90°時，∵∠PEC＝∠F+∠ACF，∵∠F＝60°，∴∠ACF＝30°，∴tan∠ACF；③當∠CPE＝90°時，過點A作AH⊥BC于點H，如圖，設AE＝x，則CD＝AE＝x，CE＝6﹣x，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∠HAC＝∠HAB＝30°，∴HD＝3﹣x，∵∠BFC＝60°，∠CPE＝90°，∴∠PCF＝∠HAC＝30°，∴AD∥FC，∴∠FCA＝∠DAC，∴∠PCF﹣∠FCA＝∠HAC﹣∠DAC，∴∠HAD＝∠PCE，∵∠AHD＝∠CPE＝90°，∴△AHD∽△CPE，∴，∴PE?AD＝HD?CE①，∵∠BPD＝∠APE＝∠ACB＝60°，∠PAE＝∠CAD，∴△PAE∽△CAD，∴PE?AD＝AE?CD②，觀察①②式可知：HD?CE＝AE?CD，∴（3﹣x）（6﹣x）＝x2，解得x＝2，∴AE＝2，過點E作EG⊥AB于點G，在Rt△AEG中，∠EAG＝60°，∴AG＝AE?cos60°＝21，EG＝AE?sin60°＝2，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣1＝5，在Rt△BGE中，tan∠ABE，∴tan∠ACF＝tan∠ABE，綜上所述，當△PEC為直角三角形時，tan∠ACF的值為或．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心全等三角形的判斷與性質等邊三角形的性質圓周角定理及解直角三角形，解題關鍵是求出∠ACF為30°．20．A、B兩地相距80千米，甲與乙開車都從A地前往B地，甲開車從A地出發小時后，乙出從A地出發，已知乙開車速度是甲開車速度的1.5倍，結果乙比甲提前10分鐘到達B地，求甲開的速度．【考點】分式方程的應用．【專題】分式方程及應用；應用意識．【答案】見試題解答內容【分析】可以用方程思想來求，設甲的速度是x千米/小時，則乙的速度是1.5x千米/小時，再由結果乙比甲提前10分鐘到達B地列方程可求得未知數．【解答】解：設甲的速度為x千米/小時，則乙的速度為1.5x千米/小時，由題意得：整理得：方程兩邊同乘以3x，得：240＝160+x．解得：x＝80．經檢驗：x＝80是原方程的解，且符合題意．答：甲的速度為80千米/小時．【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．21．現代城市綠化帶在不斷擴大，綠化用水的節約是一個非常重要的問題．如圖1、圖2所示，某噴灌設備由一根高度為0.64m的水管和一個旋轉噴頭組成，水管豎直安裝在綠化帶地面上，旋轉噴頭安裝在水管頂部（水管頂部和旋轉噴頭口之間的長度、水管在噴灌區域上的占地面積均忽略不計），旋轉噴頭可以向周圍噴出多種拋物線形水柱，從而在綠化帶上噴灌出一塊圓形區域．現測得噴的最遠的水柱在距離水管的水平距離3m處達到最高，高度為1m．（1）求噴灌出的圓形區域的半徑；（2）在邊長為16m的正方形綠化帶上固定安裝三個該設備，噴灌區域可以完全覆蓋該綠化帶嗎？如果可以，請說明理由；如果不可以，假設水管可以上下調整高度，求水管高度為多少時，噴灌區域恰好可以完全覆蓋該綠化帶．（以上需要畫出示意圖，并有必要的計算、推理過程）【考點】二次函數的應用．【專題】幾何圖形問題；數形結合；待定系數法；二次函數圖象及其性質；二次函數的應用；運算能力；推理能力；模型思想；應用意識．【答案】見試題解答內容【分析】（1）建立平面直角坐標系，用待定系數法求得拋物線的函數表達式，再令y＝0，求得方程的解，根據問題的實際意義作出取舍即可；（2）畫出圖形，根據圖形分別得出在（1）中的函數關系式情形下噴灌出的圓形區域的半徑的最小值，再得調整后的函數解析式，將a值加上0.64即可．【解答】解：（1）根據題意，以水管在地面安裝處為坐標原點，以該處和噴的最遠的水柱落地處所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則噴的最遠的水柱所在的拋物線頂點為（3，1），過（0，0.64）．可設該拋物線對應的函數表達式是y＝a（x﹣3）2+1，代入（0，0.64），解得，a．所以y（x﹣3）2+1．令y＝0，解得x1＝﹣2（舍），x2＝8所以，噴灌出的圓形區域的半徑為8m．（2）在邊長為16m的正方形綠化帶上按如圖的位置固定安裝三個該設備，如圖1，噴灌出的圓形區域的半徑的最小值是，8，這樣安裝不能完全覆蓋；如圖2，設CD＝x，則BC＝16﹣x，DE＝8，AB＝16，由勾股定理得：82+x2＝（16﹣x）2+162解得：x＝14∴2r∴噴灌出的圓形區域的半徑的最小值是，8，這樣安裝也不能完全覆蓋；，如果噴灌區域可以完全覆蓋該綠化帶．則一個設備噴灌出的圓形區域的半徑的最小值應為m．設水管向上調整am，則調整后噴的最遠的水柱所在的拋物線函數表達式是y（x﹣3）2+1+a．代入（，0），解得，a．0.64答：水管高度為時，噴灌區域恰好可以完全覆蓋該綠化帶．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式及二次函數在實際問題中的應用，理清題中的數量關系并結合實際分析，是解題的關鍵．22．已知三角形的三邊分別是10、17、21，求這個三角形外接圓的半徑．【考點】三角形的外接圓與外心．【專題】圓的有關概念及性質；幾何直觀；推理能力．【答案】．【分析】先畫出△ABC，使得AB＝17，AC＝10，BC＝21，作AD⊥BC于點D，然后延長AO交圓O于點G，并連結BG，構造△ADC∽△ABG，再根據相似三角形對應邊成比例，即可求出外接圓的直徑．【解答】解：如圖，設AB＝17，AC＝10，BC＝21，作AD⊥BC于點D，設DC＝x，則BD＝21﹣x，∵BD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，∴172﹣（21﹣x）2＝102﹣x2，得x＝6，∴AD＝8，設△ABC的外接圓為圓O，延長AO交圓O于點G，連結BG，則∠AGB＝∠C，∠ABG＝90°，∴△ADC∽△ABG，∴，∴，∴，∴半徑為．【點評】本題考查了三角形的外接圓，關鍵是利用圓周角定理構造相似三角形．23．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣6與x軸交于點A（﹣6，0）和點B（2，0）．與y軸交于點C，連接AC，BC．（1）求該拋物線的函數解析式．（2）點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點P作BC的平行線l，交線段AC于D．①試探究：在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；②設拋物線的對稱軸與直線l交于點M，與直線AC交于點N．當S△DMN＝S△AOC時，請直接寫出DM的長．【考點】二次函數綜合題．【專題】代數幾何綜合題；二次函數圖象及其性質；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】（1）把A、B的坐標代入拋物線y＝ax2+bx﹣6，可求得a，b的值，即可得函數表達式；（2）①設點D的坐標為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分兩種情況畫出圖形，根據菱形的性質即可求解；②設點D的坐標為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直線l∥BC可設直線BC的解析式為y＝3k+b，由點D的坐標可得b＝﹣4m﹣6，則M（﹣2，﹣4m﹣12），根據AC的函數表達式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根據S△DMN＝S△AOC可求得m，求出點D，點M的坐標，即可得DM的長．【解答】解：（1）把點A（﹣6，0）和點B（2，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣6得，解得，∴拋物線的函數解析式yx2+2x﹣6；（2）①存在：∵拋物線的函數解析式yx2+2x﹣6交y軸于C，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣6，設點D的坐標為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴當DE＝BC時，以點D，C，B，E為頂點的四邊形為平行四邊形，分兩種情況：如圖，當BD＝BC時，四邊形BDEC為菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴點D的坐標為（﹣4，﹣2），∵點D向左移動2各單位長度，向下移動6個單位長度得到點E，∴點E的坐標為（﹣6，﹣8）；如圖，當CD＝CB時，四邊形CBED為菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴點D的坐標為（﹣2，26），∵點D向右移動2個單位長度，向上移動6個單位長度得到點E，∴點E的坐標為（2﹣2，2）；綜上，存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標為（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②設點D的坐標為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，∵直線BC的函數表達式為y＝3x﹣6，直線l∥BC，∴設直線l的解析式為y＝3x+b，∵點D的坐標（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵拋物線的對稱軸與直線AC交于點N，∴N（﹣2，﹣4），∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，∵S△DMN＝S△AOC，∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），∴點D的坐標為（﹣5，﹣1），∴點M的坐標為（﹣2，8），∴DM3，答：DM的長為3．【點評】本題考查二次函數的綜合應用，掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和菱形的性質，三角形的面積是解題的關鍵．24．如圖，點P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點，連接BP并延長交⊙P于C，過點C的直線y＝2x+b交x軸于D，交y軸于點E，且⊙P的半徑為，AB＝4．（1）寫出點B，P，C的坐標；（2）求證：CD是⊙P的切線；（3）⊙P上有一動點M，求DM+ME的最小值．【考點】圓的綜合題．【專題】構造法；一次函數及其應用；與圓有關的位置關系；圖形的相似；運算能力；推理能力；模型思想．【答案】（1）B（2，0），P（0，1），C（﹣2，2）；（2）證明詳見解答；（3）．【分析】（1）根據垂徑定理求出B點坐標，根據勾股定理清楚P點，根據全等或相似求出C點；（2）只需證明PC⊥DE，即∠PCE＝90°，故證明△CHE∽△PHC，進而求得；（3）在PE上截取PI＝1，進而證明△IPM∽△MPE，得出IMEM，進而根據三角形三邊關系找出M點使其最小．【解答】解：（1）如圖1，∵PO⊥AB，∴OB2，∴B（2，0），∵OP1，∴P（0，1），作CH⊥OE于H，∴∠CHP＝∠BOP＝90°，∴CH∥OB，∴△CHP∽△BOP，∴1，∴CH＝OB＝2，HP＝OP＝1，∴C（﹣2，2），（2）∵y＝2x+b過C（﹣2，2），∴b＝6，∴OE＝6，∴EH＝OE﹣OH＝4，∵2，∠CHE＝∠PHC，∴△CHE∽△PHC，∴∠ECH＝∠CPH，在Rt△PHC中，∠ECH+∠PCH＝90°，∴∠ECP＝90°，∴PC⊥DE，∴CD是⊙P的切線；（3）如圖2，由2x+6＝0得，x＝﹣3，∴OD＝3在PE上截取PI＝1，在Rt△DOI中，OD＝3，OI＝2，∴DI，∵，，∴，又∠IPM＝∠EPM，∴△IPM∽△MPE，∴，∴IMME，∵IM+DM≥DI，∴當D、M．I共線時，IM+DM最小＝DI，即DMME最小＝DI，∵DM+ME（DM），∴DM+ME的最小值．【點評】本題考查了圓的有關性質及與圓有關的位置關系，相似三角形的判定和性質，三角形三邊關系等知識，解決問題的關鍵是構造相似三角形．

考點卡片1．非負數的性質：絕對值在實數范圍內，任意一個數的絕對值都是非負數，當幾個數或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．2．非負數的性質：偶次方偶次方具有非負性．任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．3．非負數的性質：算術平方根（1）非負數的性質：算術平方根具有非負性．（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據被開方數是非負數，開方的結果也是非負數列出不等式求解．非負數之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題．4．估算無理數的大小估算無理數大小要用逼近法．思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．5．因式分解-十字相乘法等借助畫十字交叉線分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解這種方法的關鍵是把二次項系數a分解成兩個因數a1，a2的積a1?a2，把常數項c分解成兩個因數c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．6．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．【規律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數不能為0．7．一元一次方程的應用（一）一元一次方程解應用題的類型有：（1）探索規律型問題；（2）數字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×時間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順水速度＝靜水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．2．設：設未知數（x），根據實際情況，可設直接未知數（問什么設什么），也可設間接未知數．3．列：根據等量關系列出方程．4．解：解方程，求得未知數的值．5．答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．8．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．9．規律型：點的坐標1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐標系和點坐標的意義（2）探索各個象限的點和坐標軸上的點其坐標符號規律（3）探索關于平面直角坐標系中有關對稱，平移等變化的點的坐標變化規律．2．重點：探索各個象限的點和坐標軸上的點其坐標符號規律3．難點：探索關于平面直角坐標系中有關對稱，平移等變化的點的坐標變化規律．10．一次函數的性質一次函數的性質：k＞0，y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸．11．反比例函數的性質反比例函數的性質（1）反比例函數y（k≠0）的圖象是雙曲線；（2）當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小；（3）當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．注意：反比例函數的圖象與坐標軸沒有交點．12．反比例函數系數k的幾何意義比例系數k的幾何意義在反比例函數y圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是|k|，且保持不變．13．反比例函數圖象上點的坐標特征反比例函數y＝k/x（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．14．二次函數的圖象（1）二次函數y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數值，列表．②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側，再利用對稱性畫另一側．（2）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．15．二次函數的性質二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（，），對稱軸直線x，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x時，y隨x的增大而減小；x時，y隨x的增大而增大；x時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x時，y隨x的增大而增大；x時，y隨x的增大而減小；x時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．16．二次函數圖象上點的坐標特征二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（，）．①拋物線是關于對稱軸x成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數函數關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x．17．待定系數法求二次函數解析式（1）二次函數的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0）；（2）用待定系數法求二次函數的解析式．在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．18．拋物線與x軸的交點求二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．19．二次函數的應用（1）利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數模型解決實際問題利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．20．二次函數綜合題（1）二次函數圖象與其他函數圖象相結合問題解決此類問題時，先根據給定的函數或函數圖象判斷出系數的符號，然后判斷新的函數關系式中系數的符號，再根據系數與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數與方程、幾何知識的綜合應用將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數模型．關鍵在于觀察、分析、創建，建立直角坐標系下的二次函數圖象，然后數形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數的取值范圍要使實際問題有意義．21．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．22．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．23．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．24．直角三角形斜邊上的中線（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．25．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．26．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R1，所以r：R＝1：1．27．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．28．平行四邊形的判定與性質平行四邊形的判定與性質的作用平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．29．菱形的性質（1）菱形的性質①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積ab．（a、b是兩條對角線的長度）30．正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．31．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．32．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．33．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．34．切線的性質（1）切線的性質①圓的切線垂直于經過切點的半徑．②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．（2）切線的性質可總結如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質的運用運用切線的性質進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或相似三角形解決問題．35．圓與圓的位置關系（1）圓與圓的五種位置關系：①外離；②外切；③相交；④內切；⑤內含．如