第一章預(yù)備知識(shí)

1.1集合

一、集合的含義與表示

I.元素與集合：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱元素；把一些元素組成的總體叫做集合.

集合中的元素具有：確定性，互異性，無(wú)序性.

2.元素a與集合4的關(guān)系：e,g；

3.常用數(shù)集符號(hào)：

正整數(shù)集：N*或N+（不含0）

自然數(shù)集：N（含有0）

整數(shù)集：Z（正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零）

有理數(shù)集：Q（無(wú)限不循環(huán)為無(wú)理數(shù)，無(wú)限循環(huán)為有理數(shù)）

實(shí)數(shù)集：R（包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)）

無(wú)理數(shù)集：CRQ

復(fù)數(shù)集：C（包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)）

偶數(shù)集：[x\x=2n,neZ｝（0是偶數(shù)）

奇數(shù)集：｛久|x=2n-1,neZ｝

正數(shù)集：R+=｛x\x>0｝=（0,+oo）

負(fù)數(shù)集：R~=｛x|x<0]=（-oo,0）

質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：只能被1和本身整除的正整數(shù)，最小的素?cái)?shù)為2

合數(shù)：除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)整除的數(shù)，最小的合數(shù)是4

互質(zhì)：互質(zhì)是公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)（eg：1和2互質(zhì)，4和9互質(zhì)，16和97）

4.集合的三種常用表示方法：列舉法、描述法（形式可具有多樣性）、圖示法（一種解題工具或方法）.

列舉法中集合的表示：①數(shù)集，如｛a,b,c）；

②點(diǎn)集或方程組的解集，如｛（1,2）,（-3,2）｝

描述法中集合的表示：①數(shù)集｛x|f（x）｝

②點(diǎn)集或方程組的解集｛（x,y）|F（x,y）｝.

1

二、集合間的基本關(guān)系

1.集合力與集合B的（包含）關(guān)系：￡,2,=，呈，桂.（包含于，包含，等于，真包含于，真包含）

概念：①子集（若vxe力，都有則力IB）;【顯然，AU4；另規(guī)定：0UA】

②集合相等（若力UB,且BU4,則4=B）;

③真子集（若4UB,^BxEB,且久任力，則A呈B.）【空集是非空集合的真子集.]

2.若集合A中有n個(gè)元素{a＞的,則集合力的

所有子集個(gè)數(shù)為2n.（VC°+嗎+髭+…+禺=2n或（可）n=2n.）

所有非空子集的個(gè)數(shù)是2n-1,

所有真子集的個(gè)數(shù)是271-1,

所有非空真子集的個(gè)數(shù)是2n-2.

3.集合的分類：有限集，無(wú)限集，空集0.

三、集合的基本運(yùn)算

1.①并集：A\JB={x}xe71,或x€B}；

u

②交集：AC\B={x\xeA,且x€B}；

③補(bǔ)集：={x\xeU,JLxgA}.[顯然力與Cu4成對(duì)出現(xiàn)】

④全集：一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.

注意：求解集合的補(bǔ)集時(shí)，先求出該集合，然后再寫(xiě)其補(bǔ)集，直接轉(zhuǎn)化集合中的條件（分式，根式,

對(duì)數(shù)式等），容易導(dǎo)致出錯(cuò).

如U=R,則4={用：＞0}的補(bǔ)集是{x|xW0},而不是0}={x|x＜0}.

2.運(yùn)算律

①交換律4UB=BU4,4nB=BCI力；

②結(jié)合律（AUB）UC=AU（BUC）,（anB）nc=An（BDC）;

③分配律（anB）uc=（Anc）UCBnc）,（AUB）nc=（anc）u（8nc）；

④德摩根律Cu（4UB）=（C（M）n（CuB）,CUMPIB）=（QA）U（CUB）.

2

1.3一元二次函數(shù)、方程、不等式

一,>一元二次不等式

1.一元二次不等式a%2+fox+c>0或a/+b%+cV0(Q>0)的解法:

對(duì)于一元二次方程a/+b%+c=0(a>0),設(shè)△=按—4ac,(當(dāng)△>()時(shí)，方程兩根為支［二一處二)

，，,2a

△=扶一4ac△>0△=0A<0

\W/\1r/\P/

\|/s>。)、1/\/

K/\/

辰_Q\

v=ex-+hx+「的圖象

1%1=%2

ax2+bx+c=0的根有兩相異實(shí)根％1，X2(%1<x2)有兩相等實(shí)根％1=%2=—/無(wú)實(shí)根

ax2+bx+c>0的解集{x\x<,或%>%2}{%!%。一/}R

2

ax+bx+c<0的解集{%!%!<X<X2］00

解一元二次不等式的步驟：

⑴整理好不等式，ax2+hx+c>0或a/+/)%+(：<0(a>0),［系數(shù)一般化為正數(shù)］

⑵通過(guò)因式分解或求根公式確定方程+取；+。=0的根.

⑶畫(huà)出函數(shù)y=Q%2+匕％+。圖象后，寫(xiě)出不等式的解集.

2.若0%2+人工+c>0(或v0)的解集若已給出，則解集中的端點(diǎn)值%久多是方程Q/+人工+c=0的根.

3.三個(gè)二次的關(guān)系：一元二次函數(shù)的零點(diǎn)=一元二次方程的根=一元二次不等式解集的端點(diǎn).

一元二次不等式恒成立常用結(jié)論：

a>0

⑴ax2++c>0的解集為R,則一定滿足<

A<0

a<0

⑵ax2+bx+c>0的解集為0,則一定滿足?

A<0

a<0

⑶ax2+6x+c<0的解集為R,則一定滿足■

A<0

a>0

(4)ax2+6x+c<0的解集為0,則一定滿足<

A<0

27(?)<o

⑸ax++c<0(。>0)在［m,n］上恒成立,則■

J(?)<o

f(m)>0

(6)ax2+fcc+c>0(。<0)在［m,n］上恒成立,則■

/(〃)〉0

5

二、函數(shù)的奇偶性

1.奇偶性定義：先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再比較f（-x）與/（X）的關(guān)系.

①偶函數(shù)：對(duì)于函數(shù)八久）的定義域內(nèi)任意一個(gè)久，都有〃-久）=/（久），那么函數(shù)/（久）就叫做偶函數(shù).

即/'（一乂）=f（x）qf（久）為偶函數(shù)Qf（x）的圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱。軸對(duì)稱.

②奇函數(shù)：對(duì)于函數(shù)/（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有/（-x）=-/0）,那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).

即/（一萬(wàn)）=—/（x）=/（約為奇函數(shù)=/（無(wú)）的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對(duì)稱o中心對(duì)稱.

2.常用結(jié)論

①奇偶函數(shù)四則運(yùn)算與復(fù)合

fO)gWf(x)+g(x)/(%)-g(x)/(x)g(x)/(gW)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

②奇函數(shù)/'（X）的定義域若包括0,則必有f（0）=0.用于求解析式中的參數(shù)的值，或用于寫(xiě)分段奇函數(shù).

③“久）為偶函數(shù)。/（久）=/（|久|）,常用于解不等式/（久1）</（久2）=/（|必|）<f（l比2。或方程.

④若f（x）=0,且/（嗎的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/'（尤）既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).

⑤奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.

⑥/■（%）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f。）+"一久）為偶函數(shù)，f（x）-/（—久）為奇函數(shù)，/（約八一久）為偶函數(shù)

——,x>0,r|y|,[f（x）,x>0,.,

⑦奇函數(shù)：y=[=—/（|%|）]偶函數(shù)：y-【=】

-/（—x）,x<0.*（/（—x）,x<0.

⑧若/'（x）=ax3+bx2+ex+d是偶函數(shù)，則奇次項(xiàng)系數(shù)a,c為0.

若/（久）=a久3+b%2+ex+d是奇函數(shù)，則偶次項(xiàng)系數(shù)6,d為0.

18

三、函數(shù)的周期性

1.周期：若函數(shù)〃>)對(duì)定義域內(nèi)的任意％滿足：/(x+T)=/(%)(7*0),則T為函數(shù)/(x)的周期.

最小正周期：周期函數(shù)/(%)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

2.常用周期結(jié)論(內(nèi)同看差值)

①/'(X+a)-則/(久)的周期T=2a

②fO+a)=—/(%),則/(%)的周期r=2a

③f(x+a)=一六,則"久)的周期T=2a

J\^)

④f(%+a)=f(x—a),則/(%)的周期T=2a

⑤f(x+a)=[,則f(x)的周期T=2a

@/(x+a)+/(%—d)=b,則/(%)的周期T=4a

⑦/(%+a)=；則/(%)的周期T=3a；【先推出/(%+2a)=1-六，則/(%+3a)=/(久).】

■L—八町J\X)

?/(x+a)=1-則/(%)的周期7=3a；【先推出/(%+2a)=；1,則/(%+3a)=/(%).】

⑨/0+口)=三祟，則/(x)的周期7=4a；【先推出/O+2a)=-六，則/(尤+4a)=f(x).】

，一八町J\.x)

⑩/(%+2d)=f(x+a)—/(%),則/(%)的周期T=6a；[先推出/(%+3a)=—/(%),則/(%+6a)=/(%).】

四、函數(shù)的對(duì)稱性

1.軸對(duì)稱(內(nèi)異相等)：A(a-x,/(a-%)),A\a+x,/(a+%)).

將關(guān)于y軸對(duì)稱的偶函數(shù)圖象向左或向右平移|a|個(gè)單位后，其圖象關(guān)于直線％=a對(duì)稱.

①f(a+%)=f(a—%)Qy=/(%)圖象關(guān)于直線％=a對(duì)稱；

②f(a+%)=f(b一％)=y=f(%)圖象關(guān)于直線％=一對(duì)稱.

恒等式特征：函數(shù)值相等，左右兩邊的X的系數(shù)相反，可聯(lián)想偶函數(shù)/(-%)=/(%).

?

?

?

a-x\a+x

20

2.4函數(shù)圖像與零點(diǎn)

一、函數(shù)圖像問(wèn)題

i.兩個(gè)函數(shù)圖象間的變換及函數(shù)關(guān)系

.左右■平移a個(gè)單位左右■平移a個(gè)單位

平移變換：?y=/(%)-——-——--->y=/(x±a)；注意：y=f(a)x)——----—>y=/[to(%±a)]；

左加右減左加右減

上下平移b個(gè)單位左右平移巴個(gè)單位

②y—/(%)-----------=/(%)±b；y=f(3X)-------------->y=f(3x±a)

上加下減左加右減

、_翻折變換_翻折變換

翻折變換：③y=f(x)------>y=|f(%)I;@y=f(x)------>y=偶函數(shù))；

下往上翻作右翻左

,、伸縮變換1伸縮變換

伸縮變換：⑤y=/(%)--------->y=/(一x)；@y=/(%)---------->y="(%)?

沿橫軸伸縮3倍⑦沿縱軸伸縮z倍

、=/(%),v——51%)

對(duì)稱變換：①，關(guān)于直線I=0(即y軸)對(duì)稱④關(guān)于直線1=a對(duì)稱

y=/(一%).y=/(2a-%).

y—/(%),⑤?='(a+久)，關(guān)于直線％=一對(duì)稱

②關(guān)于直線y=0(即％軸)對(duì)稱

y=-7(%).y=f(b-%).

y—f(x),y—f(x),

③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱⑥關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱

y=_/(一%).y=2b—/(2a—%).

nr+h°h分子常數(shù)化k、.

2.反比例型函數(shù)：y=c%+d0H0，1。7)------>y—Fy()對(duì)稱中心為點(diǎn)，yo).

3.對(duì)勾函數(shù)：y==%+-(fc>0),[y=a%+b%+c=q%+￡+b,—ax+bx+cZ------>y=pt+-+r]

xxxxmx+nt

4.某些含根式的函數(shù)的圖象可以通過(guò)對(duì)解析式變形，變形為曲線方程來(lái)判斷.

如：fCx)=1+J4一(刀-3)2=>y=1+54一(久—3)2=>(x-3)2+(y-I)2=4(y>1),其圖象為半圓.

5.f(x)在區(qū)間/上的圖形是(向上)凹的。f"(x)>0(即切線的斜率遞增).

/(X)在區(qū)間/上的圖形是(向上)凸的=/"(無(wú))<0(即切線的斜率遞減).

29

第三章導(dǎo)數(shù)

3.1導(dǎo)數(shù)基本功

一、導(dǎo)數(shù)定義與幾何意義

1.①函數(shù)y=f(x)從的到冷的平均變化率為：，="?二3變式："吟3.

②函數(shù)y=f(%)在久=X。處附近的平均變化率為：受=

③平均變化率的幾何意義：割線的斜率；

平均變化率的物理意義：平均速度(將y=f(x)視為作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)位移y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)).

2.函數(shù)y=/（x）在x=&處的瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）：r（&）=y'[x=xo-Jim^=Jim°-.

幾何意義：切線的斜率；

物理意義：瞬時(shí)速度(將y=/(x)視為作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)位移y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)).

變式：①1血"Mm詞一/。)=何,(3,②1加入。+--"出+加=空^，(珀,③1血》"瑜=/口0)

△%h->0chc%T%0X—XQ

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=/(%)在％=%()處的導(dǎo)數(shù)/'(%())就是曲線y=/(%)上的點(diǎn)P(%o，/(%()))處切線的

斜率上

即/c=f(%o)=y'|%=%o，因此切線方程是：y—、0=((%0)(%-久o).

36

3.5導(dǎo)數(shù)壓軸知識(shí)點(diǎn)

一\同構(gòu)

1.基礎(chǔ)變形方式

①證工=*3'②《=③4=e1nI;④x+lnx=ln(xe，；@x-lnx=ln—.

2.積、商、和差型變形方式

①積型：aea<b\nba-ea<\nb-^hf(^x)=xex(同左)

=>e"?Ine"V6?Inb=>/(x)=xlnx(同右)

=x>a+]na<lnb+ln(\nb)=>/(x)=x+lnx(取對(duì)數(shù))

ahpai產(chǎn)

②商型：—P<—^―<—=>/(x)=—(同左)

aIn/?a]nbx

ahx

n--e----<——n/(x)=——(z同右)

IneaIn/?Inx

=>a-\na<\nb-ln(lnb)=>f(x)=x-\nx(取對(duì)數(shù))

③和差型：ea±a>b±1nbea±a>ehib±\nbf(x)=ex±x(同左)

=>±lnefl>b+Inb=>f(x)=x±1nx(同右)

3.配湊變形同構(gòu)

①ae^>Inx=>axeax>xlnx;

?ex>aln(6zx-a)-a^>—ex>In[?(x-1)]-1=>-lnfl-Intz>ln(x-1)-1

=>+x-Inq〉ln(x-l)+x-l=eta(x-1)+ln(x-1);

③優(yōu)〉log,Xne*">皿n(xIna)"”">xlnx

Ina

@x+—>-lnxfl(x>0)=>---In—>xa-]nxa=>f(x)=x-Inx

exexex

a+ixxaxxainxx

⑤xe>-aInxnxe>,_^Xe>_a\nx.e-==>/(%)=xe

45

三、泰勒公式

O2

泰勒公式：/(x)=/(x0)+fXx0)(x-XQ)+^-(X-x0)+-鐘(X-Xo)"+e((x-x0)")

2!n\

泰勒公式在/=0時(shí)的特殊形式：/(%)=/(0)+/，(0)x+/(°)]2+…+/一+o(x〃).

2!n\

由帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式（麥克勞林公式）可得如下高考常用函數(shù)的展開(kāi)式:

@ex=1+%+—H----F—+o（xn）

2!n!

—=1+%+%2+%3+??,（等比數(shù)歹4求和，首項(xiàng)為1,公比為％）

1-x

③―一=1—X+X2—X3+???（等比數(shù)歹I〕求和，首項(xiàng)為1,公比為一%）

X2X3

④ln(l+x)=+—+o(xn)

2+至+n

y,.a(a—1)

@(1+x)a-1+OCX+/+…+也且q”4+..?((i+<=c>c>+cy+..?)

2!n!??+CX+--

X3%5X7

⑥sin%=x—---FF

3!---5!7!

X2X4X6

⑦cos%=1—---1F

2!--4!6!

12177T

3577

@tanx=x+—x+—%+森J+O(X)(|X|<-)

四、常用導(dǎo)數(shù)放縮

①/2％+1(切點(diǎn)、橫坐標(biāo)是x=0,XER)

@ex>—x2+x+1

2

③InxWx-1(切點(diǎn)橫坐標(biāo)是x=1,x>0)

④x--<sinx<x(x>0)

6

x2

⑤1-彳WcosX(x>0)

@sinx<x<tanx(0<x<-)

47

4.2三角函數(shù)公式與運(yùn)算

一\基本公式

1.兩角和與差公式：

①cos(a—S)=cosacosfi+sinasin￡；③sin(q—S)=sinacos/?—cosasin，；

②cos(a+S)=cosacos/?—sinasin0；④sin(a+￡)=sincrcos/?+cosasin/?；

⑤tan(a+0)=變形公式：tana+tan￡=tan(a+￡)(1—tanatan/?)；

@tan(a—/?)=二黑；變形公式：tana—tan￡=tan(cr-0)(1+tancrtan)?).

2.二倍角公式：萬(wàn)能公式：

2sinacosa2tana

①sin2a=2sincrcoscr；sin2a=

si.n7^a+'icos2-al+tan2a

cos2a—sm?2^al-tan2a

②cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；cos2a=

sin2a+cos2a14-tan2a

2tana,asina1—cosa

③tan2a=tan-=-------=--------

1—tan2a,21+cosasina

21cs2a2+cs2

3.降第公式：?sina=°;@cosa=3^E;③sinacosa=；sin2a.

升用公式：①1-cos2a=2sin2(z,②1+cos2a=2cos2cr；

(§)1+sin2a=(sina+cosa)2,@1—sin2a=(sina—cosa)2.

4.輔助角公式：asinx+bcosx=y/a2+/?2sin（x+（p'）.

①其中輔助角R是由方程tan@=2,sincp=,,cos（p=決是

ay/a7-+b2yja2-+b2

②正弦在前，余弦在后（確保系數(shù)a,6不會(huì)弄反）

③利用系數(shù)算出所填角度的正切，正弦（余弦），決定所填角度的確切象限.

④保證/>0,￡y>0.

⑤求如果提完系數(shù)發(fā)現(xiàn)括號(hào)里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的9來(lái)代替，再在旁邊標(biāo)注9的三角

函數(shù)值備用.

eg-cosx—V3sinx=-V3sinx+cosx=2sin(x+<p)

由tan,=」方，sin^j=7,cos(p=可知角卬為第二象限角，所以

—V3223

所以cosx—V3sinx=2sin(x+與)

55

二、進(jìn)階公式與技巧

5.積化和公式

①sina,cosp=1[sin(a+￡)+sin(a—￡)]

②cosa-cosp=|[cos(?+/?)+cos(a—￡)]

③sina-sinp=|[cos(a—0)—cos(a+/?)]

6.和化積公式

①sina+sinp=2sincos

②sina—sinp=2cosg^sin%^

(3)cosa+cosp=2coscos

④cosa—cosp=—2sinsin

7.化簡(jiǎn)小技巧:

①1的代換：1=tan：=sin2a+cos2a；

cosx+sinx_1+tanxtantanx

②4=tan6+x).

cosx—sin%1—tan%1—tan-tanx

4

8.兩角互組，兩角互補(bǔ)，兩角互余

①兩角互組：a+/}=2兀

sina=-sinp

<cosa=cos[3

tana=-tan(3

②兩角互補(bǔ)：a+/3=7i

sincr=sin/?

<cosa=-cos/3

tana=-tan0

■JT

③兩角互余：

sina=cos/3

cosa=sin0

<

1

tana=-----

tan-

56

4.3三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

一、基礎(chǔ)圖象性質(zhì)

y—sinx,y—cosx,y—tan%的圖像與性質(zhì)【定義域，周期性，奇偶性(對(duì)稱性),單調(diào)性，最值(值域)1

函數(shù)y=sinxy—cosxy=tanx

i

---------W-----?——I————3??r——-3

--------1黃7

(|、\兀工27rr\f)

-TC2(—7Ti/JJJ

r_心

圖象__J__XLZ.

-1y—sinx-1y=cosx

11y=1/

五點(diǎn)作圖法五點(diǎn)作圖法

三點(diǎn)i對(duì)線作圖法

定義域RR[x\xkn+-,kEZ}

值域[-U][-U]R

x=2/OT+5(/C6Z),ymax=1x=2/CTT(/CGZ),ymax=1

最值x=2kn+7i(kGZ),y=-1無(wú)

x=2kn-^k￡Z),ymin1min

[2kn-p2kn+^](fc6Z)上遞增[2kn—7i,2kn](k€Z)上遞增

單調(diào)性(ZCTT-p/C7T+^)(A：6Z)上遞增

[2fc7T+p2fc7r+y](fc￡Z)上遞減[Zkn,2kn4-n\(kEZ)上遞減;

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

關(guān)于直線X=kn+^keZ)對(duì)稱關(guān)于直線％=k7t(keZ)對(duì)稱

對(duì)稱性關(guān)于點(diǎn)(弓,0)(keZ)對(duì)稱

關(guān)于點(diǎn)(/m,0)(keZ)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)(左兀+],0)(k6Z)對(duì)稱

T=2TTT=2nT=71

27r

周期性y=4sin(o)%+@)的周期T=—y=4cos(3%+0)的周期T=—y=AtanQx+g)的周期T=-

o)>0Ci)"'0)

注意對(duì)稱中心、對(duì)稱軸的距離與周期的關(guān)系對(duì)稱中心間距離與周期的關(guān)系

注意y=4sin(a)%+0)+8與y=Zcos(3%+0)+8的圖象與性質(zhì)，及43的符號(hào)對(duì)函數(shù)的影響.

二、周期判斷問(wèn)題

2TT

4sin(3K+(p)+B^T=-(sin|%|一無(wú)T|sinx|T=n

'sin%tT=2元

①cosxtT=/sin(3%+s)+B->T=W③1cos|x|tT=2n(4)|cosx|tT=TC

、tan%tT=冗i4sin(tox+?)+8~7=巴Itan|x|無(wú)T|tanx|T—n

{(JI)

三、奇偶性問(wèn)題

①若y=/sin(3%+0)+8為奇函數(shù)，則夕=kjr,B=0

②若y=Xsin(o)x+0+B為偶函數(shù),則0=/C7T+]

③若y=Acos(a)x+0)+B為奇函數(shù),則0=/CTT+],B=0

④若y=24cos(3%+0)+8為偶函數(shù),則cp=kn

57

4.4解三角形

一、正余弦定理與面積公式

bca+b+c

I.正弦定理（R為三角形ABC的外接圓半徑）：三.=2R用于求邊或求角

sin/sinBsinCsinA+sinB+sinC

=a=2RsinZ,b=2RsinB,c=2RsinC“化邊為角”

osin4弋,sin"、,sinC嗚“化角為邊”

=sin4：sinB：sinC=a：b：c.

=bsinA—asinB

正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化，如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可用.

2.余弦定理：（余弦“分式”，邊“平方）

①原=b2+c2-2bccosA；②房=a2+c2—2accosB；③c?=a2+b2-2abeosC.(求邊長(zhǎng)或建立方程)

⑤cosB=^*?cosC=力)（求角、或“化角為邊”）

④…號(hào)2ac

3.三角形面積公式:

①S=1a/ia=；bhb-~chc—1r(a+b+0)(%表示a邊上的高，廠為A4BC的內(nèi)切圓半徑).

②S=-absinC=-besinA=-acsinB=—(R為A43C的外接圓半徑).

2224R

③S/ZBC=，P(P—Q)(P—b)(p一c),其中p=(海倫公式).

a2+b2-

證明：SAABC=^ab

lab

=；+6+c)(b+c-a)(c+q-b)(q+6-c)=\不2P?2(夕一〃>20-6}20—c)

=^^2ab+a2+/?2-c2>j(2ab-a2-62+c2)=+b^2-c2][c2-(a-b^^

=ylp(p-a)(p-b)(p-c)

@S=l\AB\\AC\mA=^

AABCS(<\AB\'\AC\Y-(AB-AC)2=g|xj2-久2yJ

4.三角形內(nèi)角和定理:

在A4BC中,有/+B+C=7T<=>C=71—(4+B)=—=——^―

(Dsin(/+8)=sinC,cos(A+B)=—cosC,tan(A+B)=—tanC

射影定理：①a=c,cosB+b-cosC②b=a■cosC+c,cosA③c=b■cosA+a,cosB

“、.A+BCA+B.C八A+BC,.C/、

(z)sin----=cos-,cos-----=sin-,tan------=cos-/sin-(z=cot-)

222222，2、2J

⑶斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=tan/+tang=tan/+tanB+tanC=tan/?tan5tanC

1-tanWtaiB

60

五、三角形四心

1.奔馳定理：在△45。所在的平面內(nèi)，若存在一點(diǎn)。，使得xa+＞礪+z方=0成立，則有

S/\OBC：S/\OAC：^/\OAB：S4ABC=3：3：3：卜++?|,亦即必緲。*°”+^OAC*V°8+/\OAB*℃=。-

證法一：（構(gòu)造重心）

或口圖，iiOD=xOA,OE=yOB,OF=zOC,貝I歷+礪+礪=x方+＞礪+z^=0,故O建叢DEF

的重心；

SAOAB=-OA.OB-smZAOB

2

由于,故也典=上,同理得：S^OBC=J_,SAO。=_j_；

SODESAOEFyzS^OFDZX

SAODE=-(?￡>?<?￡1?sinZAOB^孫

111

又因?yàn)镾4ODE=SAOEF=S^OFD，故S2OBC,S^OAC,/XOAB=—:—:—=x:y:z■

yzzxxy

D

E乙----

證法二：(共線向量定理)如圖，假設(shè)。在△45。的內(nèi)部，延長(zhǎng)4。交5C于點(diǎn)。，設(shè)厲=，歷。<0),則

yOB+zOC=-xOA=-xtOD,

由5、D、C三點(diǎn)共線得：y+z=-xt,即，=一匕上，故

X

S/\BOC_OD_]X

S^ABCOD+OA1—tx+y+z

A

&c

D