工程力學第5章桿件的內力三、梁的內力與內力圖以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁

桿件受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或外力偶（其作用面與桿軸線共面）作用，將會產生彎曲變形。MM具有縱向對稱面荷載（集中力，分布力，集中力偶）都作用在此面內彎曲變形后軸線變成對稱面內的平面曲線因此，我們可以用梁軸線的變形代表梁的彎曲1.梁的基本概念平面彎曲常見的平面彎曲構件橫截面:具有豎向對稱軸梁的基本概念簡支梁外伸梁懸臂梁三、靜定梁的基本形式FABFAFAB梁的基本概念簡支梁外伸梁懸臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA(伸臂梁)FABFAFAB梁的支座反力可根據梁的整體平衡條件得到：梁的基本概念2.梁的內力及其求法沿m–m截面將梁截開，取左段梁為研究對象：FS剪力xFAyAxmx剪力單位：kN或N列平衡方程求解2.梁的內力及其求法沿m–m截面將梁截開，取左段梁為研究對象：FS剪力xFAyAxmx彎矩單位：kN·m或N·m列平衡方程求解M彎矩截面形心C

梁橫截面上存在兩類內力：剪力和彎矩FSFSFSFS+_內力正負號規定：+MM_MM剪力：彎矩：使研究對象有順時針轉動趨勢的剪力為正，反之為負。使研究對象下側受拉的彎矩為正，反之為負。2.梁的內力及其求法解：1.確定支座反力FAyFBy例題

求圖示簡支梁E截面的內力FAyFBy2.用截面法求內力例題

求圖示簡支梁E截面的內力MEFSEFAyFSEFAyFBy例題

求圖示簡支梁E截面的內力也可分析右段：FByFSEME左脫離體：右脫離體：規律：梁任一橫截面上的剪力在數值上等于該截面任一側所有外力豎向投影的代數和，其中使隔離體順時針轉動的外力在截面處產生正號的剪力。左脫離體：右脫離體：規律：梁任一橫截面上的彎矩在數值上等于該截面任一側所有外力（包括外力偶）對該截面形心取矩的代數和，其中使隔離體下側受拉的外力矩使截面產生正號的彎矩。2.梁的內力及其求法1、梁任一橫截面上的剪力在數值上等于該截面任一側所有外力豎向投影的代數和，其中每一豎向外力的正負號按剪力的正負號規定確定（使隔離體順時針轉動的剪力為正）。總結：（內力速算技巧）2、梁的任一橫截面上的彎矩在數值上等于該截面任一側所有外力（包括外力偶）對該截面形心力矩的代數和，其中每一力矩的正負號按彎矩的正負號規定確定（使隔離體下側受拉的力矩為正）。應用計算法則求內力時，無需截開截面畫脫離體圖，可直接根據截面某一邊的外力計算內力。注意：外力包括荷載和支座反力！

例題

求圖示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。解：(1)求支座反力12kN/m8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m12FRAFRB12(2)求1-1截面的剪力FS1、彎矩M1根據1-1截面左側的外力計算可得：根據1-1截面右側的外力計算可得：可見計算結果完全相同。

例題

求圖示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。12kN/m8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1215kN29kN12

(3)求2-2截面的剪力FS2、彎矩M2

根據2-2截面右側的外力計算可得：

例題

求圖示簡支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。12kN/m8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1215kN29kN121212343455求圖示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的內力。求圖示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的內力。1212343455求圖示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的內力。1212343455

在桿件的不同橫截面上，內力通常并不相同，即內力一般是橫截面位置的函數。若沿桿件軸線方向引入x

坐標表示橫截面的位置，則有——內力方程內力方程是作梁內力圖的前提和基礎3.梁的內力圖——剪力圖和彎矩圖

當梁中間受力較復雜時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統一的函數式來表達，必須分段列出其表達式。

分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點為界。（控制截面）3.梁的內力圖——剪力圖和彎矩圖

內力圖反映了相應內力分量沿桿件軸線的分布狀況，是結構分析和計算的重要依據。

為了形象地看到橫截面上內力沿梁軸線分布情況，通常將剪力、彎矩沿梁長的分布情況用圖形表示出來，這種表示剪力和彎矩分布情況的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。3.梁的內力圖——剪力圖和彎矩圖根據內力方程繪制內力圖步驟：求支座反力；(2)用截面法或計算法則(分段)求內力方程；(3)根據內力方程作內力圖。FSxMx正號剪力縱標畫在基線上方正號彎矩縱標畫在基線下方3.梁的內力圖——剪力圖和彎矩圖BAlFAyqFBy簡支梁受均布荷載作用,試畫出剪力圖和彎矩圖。2、求剪力和彎矩方程yxCx例題1FSx解：1、求支座反力3、作剪力圖和彎矩圖彎矩圖總是出現在梁受拉側！BAlFAyqFBy簡支梁受均布荷載作用,試畫出剪力圖和彎矩圖。2、分布外力作用下，彎矩圖為拋物線，凸起方向與分布力作用方向相同。x例題1FSx規律：1、均勻的分布外力作用下，梁上剪力漸變，剪力圖為一條傾斜的直線。傾斜方向與分布力作用方向相同，傾斜（漸變）的數值等于分布力的合力。3、分布外力作用下，剪力為零處，彎矩取極值。例題2BAlFAyFBy圖示簡支梁C點受集中力作用。x2x1CFab試畫出剪力圖和彎矩圖。FSxAC：2、求剪力和彎矩方程解：1、求支座反力3、作剪力圖和彎矩圖CB：例題2BAlFAyFBy圖示簡支梁C點受集中力作用。x2x1CFab試畫出剪力圖和彎矩圖。FSx2、在集中外力作用的截面，彎矩并不發生突變，而是出現轉折。規律：1、在集中外力作用的截面，剪力發生突變。突變方向與集中外力作用方向相同，突變數值等于集中外力的大小。BAlFAyFBy圖示簡支梁C點受集中力偶作用。x1AC:CMab例題3試畫出剪力圖和彎矩圖。2、求剪力和彎矩方程解：1、求支座反力3、作剪力圖和彎矩圖CB:x2BAlFAyFBy圖示簡支梁C點受集中力偶作用。x1CMab例題3試畫出剪力圖和彎矩圖。x22、在集中外力偶作用的截面，彎矩發生突變。突變方向滿足‘順流而下’‘逆流而上’，突變數值等于集中外力偶的大小。規律：1、在集中外力偶作用的截面，剪力無變化。lqAB練習試畫出剪力圖和彎矩圖。xM如果梁上荷載復雜，寫內力方程較為繁瑣，如何作內力圖？繪制內力圖的簡便方法：找點連線

求支座反力；

確定控制截面上的剪力和彎矩數值。

根據荷載情況，確定各段內力圖的形狀，連線得到內力圖。例題試畫出圖示梁的剪力圖和彎矩圖。解：1．確定支座反力求得A、B

二處的約束力

FB＝30kN,FD＝20kN

BDA

C例題

簡支梁受力的大小和方向如圖示。2．確定控制截面上的內力值找控制截面（荷載突變的地方）：A、B、C、D截面

BDA

C先作剪力圖：例題

簡支梁受力的大小和方向如圖示。找點連線BDA

C

例題

簡支梁受力的大小和方向如圖示。BDA

C求控制截面處彎矩：例題

簡支梁受力的大小和方向如圖示。找點連線BDA

C

qBACa4aFAyFBy例題

試畫出梁剪力圖和彎矩圖。解：1．確定支座反力根據梁的整體平衡，由qa2．確定控制截面，求解其彎矩值控制截面：A、B、C

（+）（-）qBAa4aFAyFByqaCOFSx3．作內力圖Mqa2（+）（-）qBAa4aFAyFByqaCOFSxMqa29a/4在均布荷載范圍內，如果有剪力為零的截面，則該截面的彎矩產生極值，必須求出該截面的位置及其彎矩極值，并標注在彎矩圖上。4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系一、剪力、彎矩與分布荷載間的關系q(x)M(x)+dM(x)M(x)dxlq(x)剪力圖上某點處的斜率等于該點處荷載集度的大小4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系一、剪力、彎矩與分布荷載間的關系q(x)M(x)+dM(x)M(x)dxlq(x)彎矩圖上某點處的斜率等于該點處剪力的大小O4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系一、剪力、彎矩與分布荷載間的關系q(x)M(x)+dM(x)M(x)dxlq(x)彎矩圖上某點處的曲率等于該點處荷載集度的大小O4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系1、q＝0彎矩圖為斜直線。lFFS圖M圖lFFS圖M圖FS=常數，剪力圖為水平直線；二、剪力圖、彎矩圖的特征4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系1、q＝0彎矩圖為斜直線。lMFS圖M圖FS=常數，剪力圖為水平直線；二、剪力圖、彎矩圖的特征特殊情形：FS=0，彎矩圖為水平直線。4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系2、q＝常數qlFS圖M圖qlFS圖M圖剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。彎矩圖中拋物線沿荷載方向凸出3、集中力作用處4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系剪力圖突變，突變值等于集中力的數值，彎矩圖上有尖角，方向與集中力方向相同。自左向右的突變方向與集中力的方向相同；4、集中力偶作用處4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系剪力圖無變化；彎矩圖突變，突變值等于集中力偶的數值，對于順時針方向的集中力偶，彎矩圖自左向右的突變方向為自上往下突變。‘順流而下，逆流而上’5、剪力FS=0處4.剪力、彎矩與荷載集度間的關系MmaxqlFS圖M圖彎矩產生極值一段梁上的外力情況剪力圖與彎矩圖的特征q無荷載FCmC在FS=0的截面C處有突變C處有尖角C處無變化C水平直線M圖FS圖MmaxFC處有突變m斜直線圖示外伸梁,試作剪力圖和彎矩圖.AB35kN25kN2.5Fs圖(kN)M圖(kN.m)4.51.55.5作內力圖：Fs圖(kN)M圖(kN.m)ABCDCD、DB桿段在D點的剪力值相同彎矩圖上CD段直線與DB段曲線在D點的切線相同qa3qa2qaFSM2qa22qa25qaqa2qa2作內力圖：M圖(kN.m)在鉸支座連接的桿件端部，如果沒有集中力偶作用，截面的彎矩一定為零；如果有集中力偶作用，則截面的彎矩等于該力偶的力偶矩。M2qa22qa25qaqa2qa2在桿件的自由端截面，如果沒有集中力偶作用，截面的彎矩一定為零；如果有集中力偶作用，則截面的彎矩等于該力偶的力偶矩。ABCDFSqaqaqaMqa作內力圖：Fs圖(kN)M圖(kN.m)作內力圖：作內力圖：Fs圖(kN)M圖(kN.m)4530127.537.5作內力圖：Fs圖(kN)M圖(kN.m)30103015作內力圖：Fs圖(kN)M圖(kN.m)1020201010作內力圖：Fs圖M圖5.用疊加法作梁的內力圖（了解）疊加原理:結構在多個荷載共同作用下所產生的內力,等于每個荷載單獨作用時所產生的內力之和。適用范圍:小變形、線彈性（服從虎克定律）繪制步驟:

將梁上荷載拆成單個荷載單獨作用；分別作出各個荷載單獨作用下梁的內力圖；將相應縱坐標代數相加得到多個荷載共同作用下的內力圖。F=ql/4(a)

解：原梁的內力圖就是圖b和圖c所示分別受集中荷載F和滿布均布荷載q作用時兩個剪力圖和兩個彎矩圖的疊加：F=ql/4(b)(c)例題F(a)﹢○○-ql/4F=ql/4(b)(c)﹢○﹢○ql/4○