第一章第三節(jié)自變量變化過(guò)程的六種形式:函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)極限的定義引例.

幾何解釋:引例.

注:二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，函數(shù)值越來(lái)越接近0

，的極限為0,重要極限：

.;*一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)極限的定義引例.

幾何解釋:定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱(chēng)常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作極限存在函數(shù)局部有界這表明:幾何解釋:*例1.證明證:故對(duì)任意的當(dāng)時(shí),因此總有*例2.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要例3.

證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此例4.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有2.極限性質(zhì)定理3.1.（局部有界）若定理3.2.（唯一性）則極限唯一.則存在有界.定理3.3（

局部保號(hào)性）

若且

A>0,*證:

已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)

A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時(shí),有推論1:分析:推論2.

若在的某去心鄰域內(nèi),且則證:

用反證法.則由定理1,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(同樣可證的情形)思考:

若定理2中的條件改為是否必有不能!存在如假設(shè)A<0,條件矛盾,故3.左極限與右極限左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有定理3.4.例5.

給定函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:

利用定理3.4.因?yàn)轱@然所以不存在.定義2

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱(chēng)常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作直線(xiàn)y=A

為曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn).A

為函數(shù)*二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限*例6.

證明證:取因此注:就有故欲使只要直線(xiàn)y=A仍是曲線(xiàn)

y=f(x)

的漸近線(xiàn).兩種特殊情況:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有幾何意義:例如，都有水平漸近線(xiàn)都有水平漸近線(xiàn)又如，三、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理3.5.有定義,為確定起見(jiàn),僅證明討論的情形.有定理3.5.有定義,且設(shè)即當(dāng)有有定義,且對(duì)上述

,時(shí),有于是當(dāng)時(shí)故可用反證法證明.(略)有*證：當(dāng)“”“”定理3.5.有定義且有說(shuō)明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個(gè)數(shù)列不存在.法2

找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使例1.

證明不存在.證:

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.例1.

證明不存在.證:

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2.函數(shù)極限的性質(zhì):唯一性、