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文檔簡介
微重點立體幾何中的動態問題
“動態”問題是高考立體幾何問題最具創新意識的題型,它滲透了一些“動態”的點、線、面等元素,給靜態的
立體幾何題賦予了活力,題型更新穎.同時,由于“動態”的存在,也使立體幾何題更趨多元化,將立體幾何問題
與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁,使得它們之間靈活轉化.
知織導圖
考點一:動點軌跡問題
考點二:折疊、展開問題
考點三:最值、范圍問題
考點分類講解
考點一:動點軌跡問題
規律方法解決與幾何體有關的動點軌跡問題的方法
⑴幾何法:根據平面的性質進行判定.
(2)定義法:轉化為平面軌跡問題,用圓錐曲線的定義判定或用代數法進行計算.
(3)特殊值法:根據空間圖形線段長度關系取特殊值或位置進行排除.
I題目口(2024?浙江溫州?一模)如圖,所有棱長都為1的正三棱柱ABC-A.B.C,,BE=2/,點F是側棱
441上的動點,且#=2而,H為線段上的動點,直線SC平面AEG=M,則點用■的軌跡為()
A.三角形(含內部)B.矩形(含內部)C.圓柱面的一部分D.球面的一部分
〔題目〔2〕侈選)(23-24商三上?貴州安M期本)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-中,點E、F、
3、8分別為棱。。1、。。1、4。1、48的中點,點河為棱人田1上動點,則()???
A.點E、F、G、H共面B.|GM+也陽1的最小值為l+,5
C.點B到平面ABC的距離為印D.DE±A.H
o
:>1區(2023?貴州?一模)如圖,已知正方體4BCD—ABQiR的棱長為2,M,N,P分別為棱44i,CG,AD
的中點,Q為該正方體表面上的點,若M,N,P,Q四點共面,則點Q的軌跡圍成圖形的面積為.
:題目④(2023?寧波艱考)正方體ABCD-的棱長為1,點P滿足而=4萬H+〃茄"九〃eR),則下
列說法正確的有()
A.若彳+〃=1,則A1P±ADl
B.若N+〃=l,則三棱錐力—PDG的體積為定值
C.若點P總滿足PA±BDi,則動點P的軌跡是一條直線
D.若點P到點A的距離為V3,則動點P的軌跡是一個面積為兀的圓
考點二:折疊、展開問題
規律方法畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形,抓住兩個關鍵點:不變的線線關系、不變的數量關系.
蜃回工(2024?河南?模板預測)為體現市民參與城市建設、共建共享公園城市的熱情,同時搭建城市共建共享
平臺,彰顯城市的發展溫度,某市在中心公園開放長椅贈送點位,接受市民贈送的休閑長椅.其中觀景草坪上
一架長椅因其造型簡單別致,頗受人們喜歡(如圖1).已知AB和CD是圓。的兩條互相垂直的直徑,將平
面ABC沿AB翻折至平面ABC,使得平面ABCX.平面ABD(如圖2)此時直線AB與平面CBD所成角的
正弦值為()
???
圖1圖2
[題目|2](22-23南三上?浙江?開學專武)如圖,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,Zg=2EB,將AADE沿直線
DE翻折成△AQH,若M為線段AQ的點,滿足加=2MA,,則在AADE翻折過程中(點4不在平面
DEBC內),下面四個選項中正確的是()
A.BM//平面AQEB.點河在某個圓上運動
C.存在某個位置,使OE,ACD.線段BA的長的取值范圍是(祈,3)
.?①(2024高三?全國?專題練習)如圖1,在等邊AABC中,點。、E分別為邊AB.AC上的動點且滿足
DE〃,記盜=4.將&ADE沿DE翻折至U△MDE的位置,使得平面MDE,平面DECB,連接MB,
JDG
如圖2,N為的中點.
(1)當EN//平面MBD時,求4的值.
(2)隨著4的值的變化,二面角B--E的大小是否改變?若是,請說明理由;若不是,請求出二面角B—
MD—E的正弦值.
[題目④(2023陰用模擬)如圖所示,在矩形ABCD中,4B=四,4D=1,AF,平面ABCD,且AF=3,點
E為線段CD(除端點外)上的動點,沿直線AE將△D4E翻折到△0AE,則下列說法中正確的是()
???
F
A.當點E固定在線段CD的某位置時,點D'的運動軌跡為球面
B.存在點E,使平面。7LE
C.點A到平面BCF的距離為空
D.異面直線EF與BC所成角的余弦值的取值范圍是
考點三:最值、范圉問題
規律方法在動態變化過程中產生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題,常用的解題思路是
(1)直觀判斷:在變化過程中判斷點、線、面在何位置時,所求的量有相應最大、最小值.
(2)函數思想:通過建系或引入變量,把這類動態問題轉化為目標函數,從而利用代數方法求目標函數的最值.
題目(多選)(2023?鞍山模擬)如圖,正方體ABCD-的棱長為1,P是線段上的動點,則下列
結論正確的是()
A.四面體P4AA的體積為定值B.AP+PC的最小值為2打
C.4P〃平面A。。D.直線4P與AC所成的角的取值范圍是[。,j]
:題目0(2023?青島模擬)三面角是立體幾何的基本概念之一,而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要依
據.三面角P-ABC是由有公共端點P且不共面的三條射線PA,PB,PC以及相鄰兩射線間的平面部分
所組成的圖形,設乙4PC=a,乙5?。=萬,=二面角A—PC-B為仇由三面角余弦定理得cos9
=cosy—cosaysB.在三棱錐p_ABC中,=6,AAPC=60°,ABPC=45°,/APB=90°,PB+PC
smdf-sinp
=6,則三棱錐P—ABC體積的最大值為()
A.甲B.與C.|D.言
4424
(題目[3](23-24高三下?北京?開學考試)正方體ABCD-A.B.C.D,的棱長為1,動點河在線段CG上,動點
P在平面上,且平面MB。.線段AP長度的取值范圍是()
???
題目回(2023?黑龍江哈爾濱?三模)已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD±底面ABCD,PD=AD,
點E是線段PB上的動點,則直線OE與平面所成角的最大值為()
BcD
A*-z-i-t
強化訓練
一、單選題
、題目工(2023?云南保山?二模)己知正方體ABC。一ABiGR,Q為上底面4耳。1。所在平面內的動點,當
直線。。與。A的所成角為45°時,點Q的軌跡為()
A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓
題目區(2023?全國?三模)在平面直角坐標系中,P為圓/+”=16上的動點,定點4—3,2).現將v軸左側
半圓所在坐標平面沿y軸翻折,與y軸右側半圓所在平面成萼的二面角,使點A翻折至A,P仍在右側半
圓和折起的左側半圓上運動,則4,P兩點間距離的取值范圍是()
A.[V13,3V5]B.[4-V13,7]C.[4-V13,3V5]D.[V13,7]
題目包(2024?全國?模擬預測)如圖,已知矩形ABCD中,E為線段CD上一動點(不含端點),記AAED=a,
現將△入£)£沿直線AE翻折到△人?£;的位置,記直線CP與直線AE所成的角為6,則()
.cosdf>sinySD.sina<cos/?
Ml④(2023?上海寶山?二模)在空間直角坐標系。—凝/z中,已知定點4(2,1,0),B(0,2,0)和動點
。(0工,t+2)(方>0).若△04。的面積為S,以O,AB,C為頂點的錐體的體積為V,則占的最大值為
()
2L1L4L4f—
A.~—~y/5B.--VKC.~~y/5D.--y/5
155155
[題目|5)(23-24高三上?河北衡水?階段練習)正三棱柱ABC-A5G中,4B=2,AA1=6,。為BC的中
點,河為棱B1G上的動點,N為棱AM上的動點,且端=盥,則線段7W長度的取值范圍為()
C.[4,警]D.[V3,V6]
[題目|6)(23-24高三下?山西?階段練習)在棱長為4的正方體ABCD-中,E是。。的中點,P是
CG上的動點,則三棱錐A-DEF外接球半徑的最小值為()
A.3B.2V3C.V13D.V15
「題目Q(2023?陜西咸陽?模擬預測)如圖,點P是棱長為2的正方體ABCD-的表面上一個動點,則
以下不正確的是()
A.當P在平面BCG瓦上運動時,四棱錐P—AA.D.D的體積不變
B.當P在線段47上運動時,DF與4G所成角的取值范圍是管受]
C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為兀+42
D.若干是人倒的中點,當P在底面ABCD上運動,且滿足PF〃平面BCD1時,PF長度的最小值是V5
>1瓦(2023?吉林長春?模擬演測)四棱柱ABCD-中,側棱底面ABCD,AB//CD,2AB
=BC=CD,BC±CD,側面A/BBi為正方形,設點。為四棱錐兒―外接球的球心,E為。。上
的動點,則直線AE與OB所成的最小角的正弦值為()
二、多選題
南|]可(23—24高三下?江蘇蘇州?開學考?試)在正方體ABCD—45GA中,點”為棱4B上的動點,則
A.平面ABG。」平面ArDMB.平面BCD/平面ArDM
C.AM與BG所成角的取值范圍為因等]D.AM與平面人及犯所成角的取值范圍為傳,于]
題目3(2023?全國?模擬覆測)如圖①,四邊形ABCD是兩個直角三角形拼接而成,AB=LBD=2,
AABD=/C=90°,ABDC=45°.現沿著BD進行翻折,使平面ABD,平面BCD,連接AC,得到三棱錐
A—BCD(如圖②),則下列選項中正確的是()???
BD
BD
圖①圖②
A.平面ABC±平面ACDB.二面角B—40—C的大小為60°
C.異面直線A。與BC所成角的余弦值為號
D.三棱錐A-BCD外接球的表面積為兀
o
[題目巨](2023?全國?模擬預測)如圖1,矩形值BCG由正方形耳BAA與4力CG拼接而成.現將圖形沿4
A對折成直二面角,如圖2.點P(不與5,。重合)是線段場。上的一個動點,點E在線段4B上,點F在線
段4G上,且滿足人8,刊?,4。1,則()
圖2
A.PE=PFB.BQ_L平面PEF
C./EPF的最大值為需D.多面體CFAEF的體積為定值
O
三、填空題
痼目至](2023?河南?模擬覆測)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-4BQQ1中,P是棱。小(不包含端
點)上一動點,則三棱錐P—AB]。的體積的取值范圍為.
題目口1](2023?江蘇淮安?模擬預測)某同學參加課外航模興趣小組活動,學習模型制作.將一張菱形鐵片
ABCD進行翻折,菱形的邊長為1,ZABC=60°,E是邊BO上一點,將△CDE沿著DE翻折到△C'DE位
置,使平面C'DEL面4BED,則點力與。'之間距離最小值是
[題目|14)(23-24南三上?河北保定.期末)如圖,在棱長為8的正方體ABCD-4563中,E是棱人4上的
一個動點,給出下列三個結論:①若F為BA上的動點,則EF的最小值為40;②。到平面BED1的距離的
最大值為反£;③〃■為5。的中點,P為空間中一點,且PD與平面ABCD所成的角為30°,PAf與平面
ABCD所成的角為60°,則P在平面ABCD上射影的軌跡長度為3方兀,其中所有正確結論的序號是
四答題
仄(2023?河南?二?)如圖所示,正六棱柱ABCDEF—ARCBEiR的底面邊長為1,高為P為線
段。用上的動點.
(1)求證:AP〃平面4BC;
⑵設直線AP與平面CD網4所成的角為仇求sin?的取值范圍.
???
、題目記(2024高三?全國?專題練習)如圖,在正方體ABCD-45GA中,E、F分別是、CD的中點.
⑴求AE與。F所成的角;
(2)
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