微重點立體幾何中的動態問題

“動態”問題是高考立體幾何問題最具創新意識的題型，它滲透了一些“動態”的點、線、面等元素，給靜態的

立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時，由于“動態”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題

與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉化.

知織導圖

考點一：動點軌跡問題

考點二:折疊、展開問題

考點三：最值、范圍問題

考點分類講解

考點一:動點軌跡問題

規律方法解決與幾何體有關的動點軌跡問題的方法

⑴幾何法：根據平面的性質進行判定.

（2）定義法:轉化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數法進行計算.

（3）特殊值法:根據空間圖形線段長度關系取特殊值或位置進行排除.

I題目口（2024?浙江溫州?一模）如圖,所有棱長都為1的正三棱柱ABC-A.B.C,,BE=2/，點F是側棱

441上的動點，且#=2而,H為線段上的動點，直線SC平面AEG=M,則點用■的軌跡為（)

A.三角形（含內部）B.矩形（含內部）C.圓柱面的一部分D.球面的一部分

〔題目〔2〕侈選）（23-24商三上?貴州安M期本）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-中，點E、F、

3、8分別為棱。。1、。。1、4。1、48的中點,點河為棱人田1上動點,則（）???

A.點E、F、G、H共面B.|GM+也陽1的最小值為l+，5

C.點B到平面ABC的距離為印D.DE±A.H

o

：＞1區（2023?貴州?一模）如圖，已知正方體4BCD—ABQiR的棱長為2,M,N,P分別為棱44i,CG，AD

的中點，Q為該正方體表面上的點，若M,N,P,Q四點共面，則點Q的軌跡圍成圖形的面積為.

：題目④（2023?寧波艱考）正方體ABCD-的棱長為1,點P滿足而=4萬H+〃茄"九〃eR）,則下

列說法正確的有（）

A.若彳+〃=1,則A1P±ADl

B.若N+〃=l,則三棱錐力—PDG的體積為定值

C.若點P總滿足PA±BDi，則動點P的軌跡是一條直線

D.若點P到點A的距離為V3,則動點P的軌跡是一個面積為兀的圓

考點二:折疊、展開問題

規律方法畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個關鍵點:不變的線線關系、不變的數量關系.

蜃回工（2024?河南?模板預測）為體現市民參與城市建設、共建共享公園城市的熱情，同時搭建城市共建共享

平臺，彰顯城市的發展溫度,某市在中心公園開放長椅贈送點位，接受市民贈送的休閑長椅.其中觀景草坪上

一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知AB和CD是圓。的兩條互相垂直的直徑,將平

面ABC沿AB翻折至平面ABC,使得平面ABCX.平面ABD（如圖2）此時直線AB與平面CBD所成角的

正弦值為（）

???

圖1圖2

［題目|2］（22-23南三上?浙江?開學專武）如圖，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,Zg=2EB,將AADE沿直線

DE翻折成△AQH,若M為線段AQ的點，滿足加=2MA,,則在AADE翻折過程中（點4不在平面

DEBC內），下面四個選項中正確的是（）

A.BM//平面AQEB.點河在某個圓上運動

C.存在某個位置，使OE，ACD.線段BA的長的取值范圍是（祈,3）

.?①（2024高三?全國?專題練習）如圖1,在等邊AABC中，點。、E分別為邊AB.AC上的動點且滿足

DE〃,記盜=4.將&ADE沿DE翻折至U△MDE的位置,使得平面MDE，平面DECB,連接MB,

JDG

如圖2,N為的中點.

（1）當EN//平面MBD時，求4的值.

（2）隨著4的值的變化,二面角B--E的大小是否改變？若是,請說明理由;若不是，請求出二面角B—

MD—E的正弦值.

［題目④（2023陰用模擬）如圖所示,在矩形ABCD中，4B=四,4D=1,AF，平面ABCD，且AF=3,點

E為線段CD（除端點外）上的動點,沿直線AE將△D4E翻折到△0AE,則下列說法中正確的是（）

???

F

A.當點E固定在線段CD的某位置時,點D'的運動軌跡為球面

B.存在點E,使平面。7LE

C.點A到平面BCF的距離為空

D.異面直線EF與BC所成角的余弦值的取值范圍是

考點三:最值、范圉問題

規律方法在動態變化過程中產生的體積最大、距離最大（小）、角的范圍等問題，常用的解題思路是

（1）直觀判斷:在變化過程中判斷點、線、面在何位置時,所求的量有相應最大、最小值.

（2）函數思想:通過建系或引入變量，把這類動態問題轉化為目標函數，從而利用代數方法求目標函數的最值.

題目（多選）（2023?鞍山模擬）如圖,正方體ABCD-的棱長為1,P是線段上的動點,則下列

結論正確的是（）

A.四面體P4AA的體積為定值B.AP+PC的最小值為2打

C.4P〃平面A。。D.直線4P與AC所成的角的取值范圍是［。，j］

：題目0（2023?青島模擬）三面角是立體幾何的基本概念之一,而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要依

據.三面角P-ABC是由有公共端點P且不共面的三條射線PA,PB,PC以及相鄰兩射線間的平面部分

所組成的圖形，設乙4PC=a,乙5?。=萬，=二面角A—PC-B為仇由三面角余弦定理得cos9

=cosy—cosaysB.在三棱錐p_ABC中，=6,AAPC=60°,ABPC=45°,/APB=90°,PB+PC

smdf-sinp

=6,則三棱錐P—ABC體積的最大值為（）

A.甲B.與C.|D.言

4424

（題目［3］（23-24高三下?北京?開學考試）正方體ABCD-A.B.C.D,的棱長為1,動點河在線段CG上，動點

P在平面上，且平面MB。.線段AP長度的取值范圍是（）

???

題目回（2023?黑龍江哈爾濱?三模）已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD±底面ABCD,PD=AD,

點E是線段PB上的動點,則直線OE與平面所成角的最大值為（）

BcD

A*-z-i-t

強化訓練

一、單選題

、題目工（2023?云南保山?二模）己知正方體ABC。一ABiGR,Q為上底面4耳。1。所在平面內的動點，當

直線。。與。A的所成角為45°時，點Q的軌跡為（）

A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓

題目區（2023?全國?三模）在平面直角坐標系中，P為圓/+”=16上的動點，定點4—3,2）.現將v軸左側

半圓所在坐標平面沿y軸翻折,與y軸右側半圓所在平面成萼的二面角，使點A翻折至A,P仍在右側半

圓和折起的左側半圓上運動，則4,P兩點間距離的取值范圍是（）

A.[V13,3V5]B.[4-V13,7]C.[4-V13,3V5]D.[V13,7]

題目包（2024?全國?模擬預測）如圖，已知矩形ABCD中，E為線段CD上一動點（不含端點）,記AAED=a,

現將△入￡）￡沿直線AE翻折到△人?￡；的位置，記直線CP與直線AE所成的角為6，則（）

.cosdf>sinySD.sina<cos/?

Ml④（2023?上海寶山?二模）在空間直角坐標系。—凝/z中，已知定點4（2,1,0）,B（0,2,0）和動點

。（0工,t+2）（方＞0）.若△04。的面積為S,以O,AB,C為頂點的錐體的體積為V,則占的最大值為

（）

2L1L4L4f—

A.~—~y/5B.--VKC.~~y/5D.--y/5

155155

［題目|5）（23-24高三上?河北衡水?階段練習）正三棱柱ABC-A5G中，4B=2,AA1=6，。為BC的中

點，河為棱B1G上的動點，N為棱AM上的動點，且端=盥，則線段7W長度的取值范圍為（）

C.[4，警]D.[V3,V6]

［題目|6）（23-24高三下?山西?階段練習）在棱長為4的正方體ABCD-中，E是。。的中點，P是

CG上的動點，則三棱錐A-DEF外接球半徑的最小值為（）

A.3B.2V3C.V13D.V15

「題目Q（2023?陜西咸陽?模擬預測）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD-的表面上一個動點，則

以下不正確的是（）

A.當P在平面BCG瓦上運動時，四棱錐P—AA.D.D的體積不變

B.當P在線段47上運動時，DF與4G所成角的取值范圍是管受］

C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為兀+42

D.若干是人倒的中點，當P在底面ABCD上運動,且滿足PF〃平面BCD1時，PF長度的最小值是V5

>1瓦（2023?吉林長春?模擬演測）四棱柱ABCD-中，側棱底面ABCD,AB//CD,2AB

=BC=CD,BC±CD,側面A/BBi為正方形，設點。為四棱錐兒―外接球的球心，E為。。上

的動點，則直線AE與OB所成的最小角的正弦值為（）

二、多選題

南|］可（23—24高三下?江蘇蘇州?開學考?試）在正方體ABCD—45GA中，點”為棱4B上的動點，則

A.平面ABG。」平面ArDMB.平面BCD/平面ArDM

C.AM與BG所成角的取值范圍為因等］D.AM與平面人及犯所成角的取值范圍為傳,于］

題目3（2023?全國?模擬覆測）如圖①，四邊形ABCD是兩個直角三角形拼接而成，AB=LBD=2，

AABD=/C=90°,ABDC=45°.現沿著BD進行翻折,使平面ABD，平面BCD,連接AC,得到三棱錐

A—BCD（如圖②），則下列選項中正確的是（）???

BD

BD

圖①圖②

A.平面ABC±平面ACDB.二面角B—40—C的大小為60°

C.異面直線A。與BC所成角的余弦值為號

D.三棱錐A-BCD外接球的表面積為兀

o

［題目巨］（2023?全國?模擬預測）如圖1,矩形值BCG由正方形耳BAA與4力CG拼接而成.現將圖形沿4

A對折成直二面角，如圖2.點P（不與5,。重合）是線段場。上的一個動點，點E在線段4B上，點F在線

段4G上，且滿足人8，刊?，4。1，則（）

圖2

A.PE=PFB.BQ_L平面PEF

C./EPF的最大值為需D.多面體CFAEF的體積為定值

O

三、填空題

痼目至］（2023?河南?模擬覆測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-4BQQ1中，P是棱。小（不包含端

點）上一動點，則三棱錐P—AB］。的體積的取值范圍為.

題目口1］（2023?江蘇淮安?模擬預測）某同學參加課外航模興趣小組活動，學習模型制作.將一張菱形鐵片

ABCD進行翻折,菱形的邊長為1,ZABC=60°,E是邊BO上一點，將△CDE沿著DE翻折到△C'DE位

置,使平面C'DEL面4BED,則點力與。'之間距離最小值是

［題目|14）（23-24南三上?河北保定.期末）如圖,在棱長為8的正方體ABCD-4563中，E是棱人4上的

一個動點，給出下列三個結論:①若F為BA上的動點，則EF的最小值為40；②。到平面BED1的距離的

最大值為反￡;③〃■為5。的中點，P為空間中一點，且PD與平面ABCD所成的角為30°,PAf與平面

ABCD所成的角為60°，則P在平面ABCD上射影的軌跡長度為3方兀，其中所有正確結論的序號是

四答題

仄(2023?河南?二?)如圖所示，正六棱柱ABCDEF—ARCBEiR的底面邊長為1,高為P為線

段。用上的動點.

(1)求證：AP〃平面4BC；

⑵設直線AP與平面CD網4所成的角為仇求sin?的取值范圍.

???

、題目記（2024高三?全國?專題練習）如圖,在正方體ABCD-45GA中，E、F分別是、CD的中點.

⑴求AE與。F所成的角；

（2）