22.1.2二次函數y=ax2的圖象和性質(1)年級：九年級學科：數學（人教版）主講人：車二次函數y=ax2的圖象和性質學校：北京師范大學

實驗二龍路中學

二次函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a≠0）

最簡單的二次函數y＝ax2y＝x2二次函數y＝x2的性質解析式圖象x范圍：全體實數y范圍：非負數……平面直角坐標系

描點法畫y=x2的圖象描點法畫圖步驟：1.列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；2.描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；3.連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑的曲線順次連接起來）.………0﹣1﹣2﹣3…9944110123xy1.列表y＝x2xyO-4-3-2-112341086421y＝x2用平滑曲線,自左向右順次連接，向兩端無限延伸.2.描點3.連線3579111.列表xyO-4-3-2-112341086421y＝x2用平滑曲線,自左向右順次連接,向兩端無限延伸.2.描點3.連線3579111.列表觀察函數y＝x2的圖象，總結性質

（1）是一條曲線，類似拋物在空中經過的路線，叫做拋物線；

（2）x取值關于原點對稱時，y值相同——拋物線y＝x2關于y軸對稱；拋物線y＝x2與對稱軸x=0的交點（0,0）叫拋物線y＝x2的頂點，它是拋物線y＝x2的最低點；

（3）在對稱軸的左側，拋物線y＝x2從左到右下降；x<0時，y隨x增大而減?。粁1<x2<0時,y1>y2;在對稱軸右側，拋物線y＝x2從左到右上升;x>0時，y隨x增大而增大；0<x1<x2時,y1<y2.觀察函數y＝x2的圖象，總結性質y＝x2文字語言圖形/符號語言x取值范圍y取值范圍圖象開口對稱軸頂點最值y＝x2的圖象和性質y＝x2文字語言圖形/符號語言x取值范圍全體實數y取值范圍非負數y≥0圖象拋物線開口向上對稱軸y軸x=0頂點原點（0，0）最值最小值（最低點）x=0時，ymin=0y＝x2的圖象和性質y＝x2文字語言圖形/符號語言增減性y＝x2的圖象和性質y＝x2文字語言圖形/符號語言增減性在對稱軸左側，拋物線從左到右下降；x<0時，y隨x增大而減小當x1<x2<0時,y1>y2在對稱軸右側，拋物線從左到右上升；x>0時，y隨x增大而增大當0<x1<x2時,y1<y2y＝x2的圖象和性質例題與練習

函數y=x2的圖象上有三點(－3,a)(－1,b)(2,c)，比較a，b，c的大小關系解法1代數法：將－3，－1，2分別代入函數解析式，求出a=9，b=1，c=4進而比出大小解法2根據函數的對稱性和增減性：函數的圖象過(2,c)也即過(－2,c)，因－3<－2<－1<0,故a>c>b解法3圖象法xyO-4-3-2-112341086421357911解法3圖象法：畫出函數y=x2的圖象，找到橫坐標分別為－3，－1，2的三個點，比較其縱坐標大?。ㄎ恢酶叩停﹜＝x2abc鞏固落實

函數y=x2的圖象上有三點(－3,a)(－1,b)(2,c)，比較a，b，c的大小關系解法1代數法：將－3，－1，2分別代入函數解析式，求出a=9，b=1，c=4進而比出大小解法2根據函數的對稱性和增減性：函數的圖象過(2,c)也即過(－2,c)，因－3<－2<－1<0,故a>c>b解法3圖象法：畫出函數y=x2的圖象，找到橫坐標分別為－3，－1，2的三個點，比較其縱坐標大?。ㄎ恢酶叩停?.拋物線y＝x2不具有的性質是（）.A.開口向上

B.與x軸不相交C.對稱軸是y軸

D.最低點是坐標原點2.已知拋物線y＝x2，當﹣2<x<1時，求y的取值范圍.練習二、的圖象和性質

請在同一直角坐標系中畫出二次函數，的圖象，并回答下列問題：1.函數

，的圖象與函數的圖象相比，有什么共同點和不同點？2.當時，二次函數的圖象有什么特點？第一步：列表.x…………在同一直角坐標系中畫二次函數，的圖象.x…………22864Oyx4第二步：描點.x…01234……82028…22864Oyx4x…012……82028…22864Oyx4第三步：連線.22864Oyx4共同點：開口方向向上.

對稱軸為y軸.

頂點為原點(0,0)，它是拋物線的最低點.

1.函數

，的圖象與函數的圖象相比，有什么共同點和不同點？1.函數

，的圖象與函數的圖象相比，有什么共同點和不同點？從二次函數，和的圖象可以看出：當時，y有最小值0.

當時，y隨x的增大而減?。划敃r，y隨x的增大而增大.22864Oyx41.函數

，的圖象與函數的圖象相比，有什么共同點和不同點？不同點：二次函數的二次項系數不一樣，開口大小不一樣.當時，拋物線的開口大小會隨著a的變大如何變化？22864Oyx4Oyx點

在拋物線上，a越大，點縱坐標越大，在x軸上方到x軸的距離越大，拋物線開口就越小.當時，拋物線的開口變大會隨著a的大小如何變化？2.當時，二次函數的圖象有什么特點？開口方向向上對稱軸y軸（直線）頂點坐標(0,0)是最低點開口大小a越大，開口越小22864Oyx4最值當時，y有最小值0增減性當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大22864Oyx4三、課堂例題例

1拋物線

的開口向_____，對稱軸是______，

頂點坐標是________，當______時，y隨x的增大而減小.

上y軸三、課堂例題例

2二次函數；；：將它們的圖象開口按從小到大的順序排列為：_______.①②③①③②拋物線開口從小到大分別為.

解析：由二次函數解析式可知，點在拋物線上，點在拋物線上，點在拋物線上.

①③②例

3已知拋物線過，和，則、和的大小關系是__________.

解

點A，B，C在拋物線上，，，三、課堂例題DCyxO例

3已知拋物線過，和，則、和的大小關系是__________.

三、課堂例題當時，y隨x的增大而減小，解

C關于y軸的對稱點為，例

3已知拋物線過，和，則、和的大小關系是__________.

圖象上的點到對稱軸（y軸）的距離越遠，縱坐標越大.三、課堂例題yxOACB四、課堂小結二次函數

的圖象和性質：

的圖象的示意圖：開口方向向上對稱軸y軸（直線）頂點坐標(0,0)（也是最低點）最值當時，y有最小值0yxO四、小結增減性當時，y隨x的增大而減?。划敃r，y隨x的增大而增大開口大小a越大，開口越小yxO二次函數

的圖象和性質：

的圖象的示意圖：五、思考已知二次函數圖象經過點和.（1）求a與m的值；（2）寫出二次函數圖象的頂點坐標及對稱軸；（3）當時，求函數y的最大值和最小值.2.當時，二次函數的圖象有什么特點？2.當時，二次函數的圖象有什么特點？開口方向向下對稱軸y軸（直線）頂點坐標(0,0)是最高點開口大小a越小，開口越小2.當時，二次函數的圖象有什么特點？最值當時，y有最大值0增減性當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小三、二次函數的圖象和性質函數（拋物線）示意圖開口方向向上向下yxOOxy函數（拋物線）對稱軸頂點坐標最值y軸（直線）

最低點

最高點當

時，

y有最小值0當

時，

y有最大值0三、二次函數的圖象和性質函數（拋物線）增減性開口大小當時，y隨x的增大而減??；當時，y隨x的增大而增大當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小

越大，開口越小三、二次函數的圖象和性質四、課堂例題例1

拋物線

的開口向_____，對稱軸是______，

頂點坐標是________，當______時，y隨x的增大而減小.下y軸例2

二次函數的圖象不經過第一、二象限，則a=_____.四、課堂例題，均不為0，

兩個二次函數分別為和.解是二次函數，由一元二次方程，解得，.

對于二次函數和，已知它們的圖象的示意圖分別為：yxOOxy例2

二次函數的圖象不經過第一、二象限，則a=_____.四、課堂例題拋物線經過第三、四象限，不經過第一、二象限.Oxy例2

二次函數的圖象不經過第一、二象限，則a=_____.四、課堂例題拋物線經過第一、二象限，不經過第三、四象限.yxO例2

二次函數的圖象不經過第一、二象限，則a=_____.四、課堂例題例2

二次函數的圖象不經過第一、二象限，則a=_____.

四、課堂例題二次函數不經過第一、二象限，五、課后思考

1.拋物線有最小值，則k=__________.

2.當時，求二次函數的最大值和最小值.

復習回顧二次函數的圖象和性質a>0a<0圖象開口方向對稱軸頂點增減性開口大小xyxy向上向下y

軸y

軸(0,0)(0,0)最低點最高點越大，開口越小y

隨x

的增大而減小y

隨x

的增大而增大y

隨x

的增大而減小y

隨x

的增大而增大x列表探究二次函數的圖象和性質1.

在同一個直角坐標系中畫出，，的圖象.描點連線xyxy探究二次函數的圖象和性質1.

在同一個直角坐標系中畫出，，的圖象.拋物線拋物線向上平移1個單位長度拋物線向下平移1個單位長度2.拋物線與如何由拋物線得到？xy拋物線探究二次函數的圖象和性質3.拋物線，，有什么關系？開口方向和大小相同對稱軸相同頂點縱坐標不同xy探究二次函數的圖象和性質開口方向對稱軸頂點圖象從左至右的變化趨勢向上y軸(0,0)(0,1)xy4.拋物線

，

，的圖象特征.在對稱軸左側，下降趨勢在對稱軸右側，上升趨勢探究二次函數的圖象和性質在同一直角坐標系中畫出，和的圖象，并說明，如何由的圖象得到.例題分析xx在同一坐標系中畫出，和的圖象，并說明，如何由的圖象得到.例題分析xyxy在同一坐標系中畫出，和的圖象，并說明，如何由的圖象得到.的圖象向下平移3個單位長度得到的圖象.的圖象向上平移3個單位長度得到的圖象；例題分析5.拋物線的圖象特征.a>0a<0圖象開口方向對稱軸頂點圖象從左至右的變化趨勢xyxy向上向下y

軸y

軸(0,k)(0,k)最低點最高點下降趨勢上升趨勢下降趨勢上升趨勢探究二次函數的圖象和性質在對稱軸左側在對稱軸右側6.二次函數的性質a>0a<0圖象特征函數性質(0,k)最低點探究二次函數的圖象和性質(0,k)最高點y的最小值是ky的最大值是k最值頂點6.二次函數的性質探究二次函數的圖象和性質a>0a<0y隨x的增大而減小增減性y隨x的增大而增大y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小a>0a<0圖象從左至右的變化趨勢下降上升下降上升在對稱軸左側在對稱軸右側當k

>0時向上平移k

個單位長度7.拋物線可以如何由拋物線得到？頂點頂點當k

<0時向下平移

個單位長度探究二次函數的圖象和性質拋物線的開口

，對稱軸是

，圖象存在最

點，坐標是

，當x

時，y隨x的增大而增大，當x

時，y隨x的增大而減小.向下y軸高鞏固練習xy把拋物線