安徽省合肥二中2024年高考數(shù)學(xué)二模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在等差數(shù)列｛4｝中，若S”為前〃項(xiàng)和，2%=勺+12,則心的值是()

A.156B.124C.136D.180

2.在正方體ABC。—AB1GA中，E,尸分別為CG，的中點(diǎn)，則異面直線AF，所成角的余弦值為()

A1R屬C2瓜1

A.?15.---------L?----------U?

4455

3.已知函數(shù)/(%)=「,若/(〃)>/(?,則下列不等關(guān)系正確的是()

Inx,x>1

11

—；——<-；—B.y/a>y/b

a+1b+1

C.a2<abD.In+1^>In+1^

n—i

4.若復(fù)數(shù)z=——在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

1+z

A.(-1,1)B.(-co,-l)C.(1,+<?)D.(0,+oo)

5.函數(shù)/(x)=sin(x+e)在［0,句上為增函數(shù)，則。的值可以是()

71

A.0B.—C.兀D.

2~2

6.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=三+1,則三=

2—1

9

A.-+iB.1-i

C.1+i

i

7.已知集合4={-2,T,0,l,2},B={x\x-x+2>Q},則AB=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

8.(J2%)的展開式中爐的系數(shù)為()

X

A.-84B.84C.-280D.280

9.設(shè)向量a,b滿足同=2,W=l,卜⑹=60,則卜+田的取值范圍是

A.[0,+oo）B.[百,+oo）

C.[0,6]D.[73,6]

10.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)

中國(guó)四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計(jì)劃共有（）

A.120種B.240種C.480種D.600種

'x+y>2,

11.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則3x+y的最小值等于（）

x-y>0,

A.4B.5C.6D.7

12.數(shù)列｛4｝滿足：a3=-,afl-an+l=2anan+l,則數(shù)列｛4a.｝前10項(xiàng)的和為

1020918

A.—B.—C.—D.—

21211919

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知多項(xiàng)式（x+l）3（x+2）2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a《=,as=.

2x-y+2>0

14.實(shí)數(shù)尤。滿足<x-y+lW0,則z=2x+y的最大值為.

x+y—2W0

15.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足4z+l)=—3+2。則』=.

16.在A6c中，8C為定長(zhǎng)，河+2Aq=3叩，若ABC的面積的最大值為2,則邊的長(zhǎng)為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和=。〃+2-2/eN*.

（1）若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的公比4的值;

（2）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為7“，若偽=1,且—1.

①求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

%+出+a3

②求證:

2

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=k+3|,g(x)=|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<g(x);

(2)若2/(x)+g(x)>or+4對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求。的取值范圍.

19.(12分)設(shè)上eR,函數(shù)g(無)=以尤—e),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

Y

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=----------

1-lnx

①若左=-1,試判斷函數(shù)/(X)與g(x)的圖像在區(qū)間(1,五)上是否有交點(diǎn)；

②求證：對(duì)任意的keR,直線y=g(x)都不是y=/(x)的切線；

(2)設(shè)函數(shù)〃(無)=2尤-尤lnx+xg(x)-e^,試判斷函數(shù)/z(x)是否存在極小值，若存在，求出左的取值范圍；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

20.(12分)第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、

田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)，329個(gè)小項(xiàng).共有來自100多個(gè)國(guó)家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開,

武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng)，努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí)，并倡議大家

做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對(duì)軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，

現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者，他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)5304050452010

(1)若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)〃，b分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表)，求〃，b的值(〃，〃的值四舍五入取整數(shù))，并計(jì)算P(51<X<93)；

(2)在(1)的條件下，為感謝大家參與這次活動(dòng)，市體育局還對(duì)參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分

低于〃的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于〃的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，在一次抽獎(jiǎng)中，抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A

21

的概率為；，抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品8的概率為一.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者，記y

33

為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.

(參考數(shù)據(jù)：P(〃—S<X<〃+5)土0.6827；尸(〃—23<X<〃+23)a0.9545；

P(〃-33<X<4+35)^0.9973.)

21.(12分)如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—A4Gq中，AB=25C=2AA=4,E為從已的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn),

M為線段W上一點(diǎn)，且滿足MC=RG，/為■的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面ADC；

(2)求二面角N—A。-歹的余弦值.

22.(10分)己知圓尸1：(x+l)i+yi=，(1/長(zhǎng)3),圓Fi：(x-l)】+yi=(4-r)L

(1)證明：圓Fi與圓尸i有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程；

(1)已知點(diǎn)。(m,0)(/n<0),過點(diǎn)E斜率為網(wǎng)時(shí)0)的直線與(I)中軌跡E相交于M,N兩點(diǎn)，記直線。”的斜率

為如,直線QN的斜率為心，是否存在實(shí)數(shù)機(jī)使得"的+h)為定值？若存在，求出機(jī)的值，若不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

因?yàn)?+%=2。9=%+12,可得%=12,根據(jù)等差數(shù)列前幾項(xiàng)和，即可求得答案.

【詳解】

%+%-2%-aw+12,

%=12,

幾=史箋也^=13%=13x12=156.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求等差數(shù)列前九項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

連接跳，BD,因?yàn)槭?BED為異面直線AF與OE所成的角（或補(bǔ)角），

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取6。的中點(diǎn)為G,連接EG,在等腰△班。中，求出cos/BEG=生=組，在利用

BE45

二倍角公式，求出cosNBED,即可得出答案.

【詳解】

連接BE,BD,因?yàn)锽EHAF,所以即為異面直線AF與所成的角（或補(bǔ)角），

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則BE=DE=逐,BD=2日

在等腰ABED中，取BD的中點(diǎn)為G,連接EG,

____n

則EG—15—2、=y/3>cos/BEG==—產(chǎn)，

BE75

所以cosABED=cos2ZBEG=2cos2NBEG-1，

31

即：cosABED=lx——1=-,

55

所以異面直線AF,OE所成角的余弦值為g.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計(jì)算能力.

3、B

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

???/(X)在R上單調(diào)遞增，且/⑷＞/3),

的符號(hào)無法判斷，故/與/，/與。匕的大小不確定，

對(duì)A,當(dāng)a=l力=-1時(shí)，-4—=^—,故A錯(cuò)誤；

a+1b+1

1

對(duì)C,當(dāng)a=l1=-1時(shí)，a=l^ab=-l9故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)a=l力=—1時(shí)，ln(a2+l)=ln僅2+1),故D錯(cuò)誤；

對(duì)B,對(duì)。＞。，貝!|姒＞折故5正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

復(fù)數(shù)z=@二=9士-色擔(dān)"在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，可得關(guān)于a的不等式組，解得。的范圍.

1+z22

【詳解】

a—ia—1a+1.

z=---=---------1,

1+i22

由其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，

。一1<0

得《則a<-1.

[?+1<0

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

依次將選項(xiàng)中的。代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)。=0時(shí)，/(無)=sin尤在［0,句上不單調(diào),故A不正確；

當(dāng)6=藪時(shí)，/("=85%在［0,句上單調(diào)遞減，故B不正確；

當(dāng)。=72?時(shí)，/("=—sinx在［0,村上不單調(diào)，故C不正確；

當(dāng)。=半時(shí)，〃x)=—cosx在［0,句上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.

6、B

【解析】

l+2i,(l+2i)(2+i),2+i+4i+2i2

因?yàn)閆=----Fl=------------------Fl=------------------+l=l+i,所以三=1一i，故選B.

2-i(2-i)(2+i)5

7、D

【解析】

先求出集合3,再與集合A求交集即可.

【詳解】

17

由已知，x+2=(x-j)2+z>0,故5=火，所以A{-2,-1,0,1,2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.

8、C

【解析】

由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式4+1=CM//,得(1-2x)7展開式的通項(xiàng)為￡+1=(-2『則

止網(wǎng)_展開式的通項(xiàng)為加1=(—21。門4,由左—1=2,得左=3,所以所求必的系數(shù)為(-2)3底=一280.故選

x

C.

點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)基的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低

檔題，也是常考知識(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式1+i=C"i7/,再根

據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出廠，將廠的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解.

9、B

【解析】

由模長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】

|tz+|=，(a+tb)，=+2a?bt+t-b~=,4+2f+廠=+1)"+32y[3,

當(dāng)/=-1時(shí)取等號(hào)，所以本題答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，考查模長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

【詳解】

盤里=10種分組方法;

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:

將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：禺=24種分配方法;

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：10x24=240種

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問題.

11、A

【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求z的最小值.

【詳解】

'x+y>2

解：作出實(shí)數(shù)x,，滿足不等式組6表示的平面區(qū)域(如圖示：陰影部分)

x-y>0

尤+y-2=0

由<得A(L1),

x—y=0

由2=3x+y得y=-3x+z,平移y=-3x,

易知過點(diǎn)A時(shí)直線在V上截距最小，

所以2.=3><1+1=4?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題.

12、A

【解析】

11c1

分析：通過對(duì)an-an+i=2anan+i變形可知--------=2,進(jìn)而可知4=------,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

an2n-1

11c

詳解：a”一atl+l=2anan+1,———2,

an+\an

1

XV—=5,

a3

/.--=-_+2(n-3)=2n-l,即為二—-—,

冊(cè)為2〃—1

anan+l=〈(4―4+1)=Ijo11-、:jI，

2212〃-12n+lJ

...數(shù)列{44+J前10項(xiàng)的和為++4一(]=；[1一()=號(hào)

故選A.

點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子

的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：⑴』JHA}(2)不心-孫

(3)

]_J________]1_11

伽—1)伽+1)一42"—「2”+J(4)〃(“+1)5+2廠=2此外，需注意裂項(xiàng)

“("+1)(“+1)(“+2)

之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、164

【解析】

只需令X=0,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3,可得04=C；+2C；+C；.

【詳解】

令x=0,得。5=(0+1)3(0+2)2=4,

而(X+1)3(X+2)2=(X+1)3[(X+1)2+2(X+1)+1]=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3；

則04=C；+2C；+C；=5+8+3=16.

故答案為：16,4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了多項(xiàng)式展開中的特定項(xiàng)的求解，可以用賦值法也可以用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式求解，屬于中檔題.

5

14、

2

【解析】

畫出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.

【詳解】

解：作出可行域，如圖所示，

則當(dāng)直線z=2x+y過點(diǎn)C時(shí)直線的截距最大，％取最大值.

由x+y+-2l==0%—；2???仁13/同理5(。,2),4T。)，

卜-2

z。=5，zB=2,zA=-2

.??4=2取最大值.

故答案為：—.

2

本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以

對(duì)于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)

求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.

15、l-3z.

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出z,再根據(jù)共飄復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.

【詳解】

?.?復(fù)數(shù)Z滿足z.(z+l)=—3+2K

-3+2z

:.z+l=------=2+3i,/.z-l+3i9

i

故而可得1=1—3i，故答案為1—31.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共趣復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

16、2

【解析】

設(shè)3C=a,以B為原點(diǎn)，8C為x軸建系，則3(0,0),C(a,0),設(shè)A(x,y),ywO,

\AB+2Ac\=\(2a-3x,-3y)\=3a,利用求向量模的公式，可得卜―g1+y2=a2(y*0),根據(jù)三角形面積公式

進(jìn)一步求出。的值即為所求.

【詳解】

解：設(shè)BC=a,以3為原點(diǎn)，為x軸建系，則3(0,0),C(a,0),設(shè)A(x,y),ywO,

i2

由5板=53。3，可得馬丁區(qū)+=2.

則BC=。=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量模的計(jì)算，建系是關(guān)鍵，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)q=￥史；(2)①b,,=n；②詳見解析.

2

【解析】

(1)依題意可表示M，S],相減得出=。4-。3,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比，解得答案，并由其都是正

項(xiàng)數(shù)列舍根；

(2)①由題意可表示2Tn,2Tn+l,兩式相減得22+1=始+2-%-1,由其都是正項(xiàng)并整理可得遞推關(guān)系

d+2-%+i=1，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案；

②由已知=4+2—2,“eN*關(guān)系，表示Sn+l=an+3-2并相減即可表示遞推關(guān)系an+2=an+an+1,顯然當(dāng)〃=1,2,3

時(shí)，E4+:+。3成立,當(dāng)“4,“eN*時(shí)，表示

2

￡,=彳+墨+*+號(hào)％+號(hào)幺+.??+竺萼亙+,由分組求和與正項(xiàng)數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證。

乙乙乙乙乙乙乙

【詳解】

解：(1)依題意可得，=。3-2,邑=。4-2,兩式相減，得。2=。4一。3，所以。2-電(7，

因?yàn)?〉0,所以/—q_l=0,且q>0,解得q=3叵.

(2)①因?yàn)?，=%-〃一1,所以2&1=”+2-〃一2,

兩式相減，得2%1即氏2=(%+丁?

因?yàn)榫?gt;0,所以2+2=2+1+1，即2+2—2+1=1.

而當(dāng)〃=1時(shí)，2T\=阿一2,可得e=2,故4―4=1,

所以2用-優(yōu)=1對(duì)任意的正整數(shù)〃都成立,

所以數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為1,

所以數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為么=n.

②因?yàn)镾a=a〃+2—2,所以S.+i=。“+3-2,兩式相減，得。,+1=*-4+2，即。”+3=。”+1+4+2

所以對(duì)任意的正整數(shù)”..2,都有=4+

令匕=丁丁級(jí)+十夢(mèng)+*+…+尹+F,

而當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，同＜-%+：+%顯然成立,

所以當(dāng)/.4,〃eN*時(shí)，月=彳+梟+果+號(hào)％+%篝+...+&力-3+2+2+。〃一1

乙乙乙乙乙2”T2"

^^3^^2^^3〃4?+%一2?%一1

耳+級(jí)+尹+聲+￥++笳+

^^2^^3^^3

---1---1----1---F?〃2.一3?〃4+

2223242521F2^

_%+%+%?J_p4--Pvq+42+/1XpA--P—q+"2+41J.p

_23422〃T234〃2234

所以匕＜%+學(xué)+”3+衿即

所以券

，得證.

【點(diǎn)睛】

本題考查由前"項(xiàng)和關(guān)系求等比數(shù)列公比，求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項(xiàng)數(shù)列放縮

證明不等式，屬于難題.

2

18、(1)(-℃,--)(4,+oo)；(2)(-1,4].

【解析】

試題分析:

(1)將絕對(duì)值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解.(2)將問題化為分段函數(shù)問題，通過分類討論并根據(jù)恒成立問

題的解法求解即可.

試題解析:

⑴由已知，可得x+3|＜|2x-],

即|x+3『<|2x-l|2.

整理得3f—lOx—8〉0,

解得■或x)4.

故所求不等式的解集為1-oo,-|)u(4,+oo).

-4x—5,%<—3.

rc1

(2)由已知，設(shè)/z(x)=2/(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-l|=<7,—3<x<—,

2

/U1

4x+5,x>—.

①當(dāng)xV-3時(shí)，只需-4x-5>6a+4恒成立,

艮|3依<一4九一9,

x<—3v0,

~4X—9.9r-^iv

/.a>---------=-4——怛成乂

xx

Q>—1,

②當(dāng)—3〈無弓時(shí),只需7)區(qū)+4恒成立,

即心-3<0恒成立.

~3ci—3V0

只需<1,

-tz-3<0

[2

解得一1<a<6.

③當(dāng)xN工時(shí)，只需4%+5>ax+4恒成立,

2

BPax<4x+l.

TX>->0,

2

4x+l.1l44

a<-------4H—，旦^

XX

4+工>4,且無限趨近于4,

X

:,a<A.

綜上。的取值范圍是(-1,4].

19、(1)①函數(shù)Ax)與g(x)的圖象在區(qū)間(1,6)上有交點(diǎn)；②證明見解析；(2)左>0且左

2e

【解析】

(1)①令/(x)=/(x)-g(x),結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可；②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為天，求出切線方程，得到

毛=2e-e/nx。，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

(2)求出力(X)的解析式，通過討論上的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定左的范圍即可.

【詳解】

解：(1)①當(dāng)上=—1時(shí)，函數(shù)g(x)=-x+e,

4-F(x)=/(x)-g(x)=-~~-+x-e,,

1-lnx

則尸⑴=2-e<0,F(&)=38-e>。,

故尸(1)尸(五)<0,

又函數(shù)萬(x)在區(qū)間(1,五)上的圖象是不間斷曲線，

故函數(shù)F(x)在區(qū)間(1,五)上有零點(diǎn)，

故函數(shù)/(x)與g(x)的圖象在區(qū)間(1,77)上有交點(diǎn)；

②證明：假設(shè)存在上eR,使得直線y=-x-e)是曲線y=/(x)的切線，

切點(diǎn)橫坐標(biāo)為％,且%e(0,e)「(e,+co),

則切線y=f(x)在點(diǎn)x=%切線方程為>=廣(%)(x-Xo)+/(%)，

即2一-%.2_一尤0/叫)+:

22

,(lnx0-I)(lnx0—I)1-btx0，

,2-lnx02x0-x0lnx0x0_

22

(lnx0-I)，(/nx0-I)l-lnx0'

消去左，得尤0=2e-e/〃尤0,故滿足等式，

令s（Xo）=Xo-2e+e/?Xo,所以s'（無（））=1+一,

故函數(shù)s(x。)在(0,e)和(e,+8)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)s(x0)在/=e時(shí)s(e)=0,

故方程x0=2e-elnx0有唯一解七=e,

又飛€(0上)J(e,+co),

故天不存在，即證；

(2)由h(x)=2x—xlnx+xg(x)—ekx—2x—xlnx+kx2—2%ex得,

%>0,fi'(x)=1—Iwc+2k(x—e),

令祖(x)=l—/nx+2左(犬一e),

貝！|W(%)=2左一人二裝」，

xx

m(e)="(e)=0,

⑴當(dāng)鼠。時(shí)，〃(%)遞減，

故當(dāng)xe(0,e)時(shí)，//(x)>0,/z(x)遞增，

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，h\x)<0,7z(x)遞減，

故/z(x)在x=e處取得極大值，不合題意；

(拓)左>0時(shí)，貝！(尤)在(0,1)遞減，在(右，+8)遞增，

2k2k

①當(dāng)0vkv，時(shí)，—>e,

2e2k

故加(X)在(0,4)遞減,

2k

可得當(dāng)xe(O,e)時(shí)，h'(x)>0,

當(dāng)xe(e」)時(shí)，h\x)<0,

2k

m(—)=(1—2ke)+2e%-In-'

kk

ii

-j-1

易證絲令m(k)=26—In巴，易33)，

k2kk2e

令”!>2e,

k

故〃⑺二2々一歷/—貝!|H(，)=2e------1>0,

t

故〃⑺在(23住)遞增，

貝!]〃⑺>〃(2e)>〃⑴>0,

即Ov左<」-時(shí)，m>09

2e

故在h7，絲)內(nèi)存在毛，使得m(%o)=。，

故"(九)在(二天)上遞減，在(%,+8)遞增，

2k

故例>)在x=x0處取得極小值.

②由(1)^i\k=——――=e

2e92k9

故〃(幻在(0,e)遞減，在?+8)遞增，

故1￡(0,+8)時(shí)，〃(%)..0,傲幻遞增,不合題意;

③當(dāng)左>—時(shí)，0<—<e9

2e2k

當(dāng)xe(二,e)時(shí),〃(x)<0,f(x)遞減,

2k

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，h'(x)>0,f(x)遞增，

故/x)在x=e處取極小值，符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)左的范圍是左>0且左，

2e

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

20、(1)〃=65,cr?14,P=0.8186；(2)詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布表計(jì)算出平均數(shù)，進(jìn)而計(jì)算方差，從而X?N(65,142),計(jì)算尸(51<X<93)即可;

(2)列出V所有可能的取值，分布求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望，進(jìn)而可得需要的總金額.

【詳解】

解：(1)由已知頻數(shù)表得:

…、CU530”40「50ru45遁20-10「

E(X)—35x------F45x------F55x------1-65x------1-75x------85x--------1-95x------65,

200200200200200200200

D(X)=(35-65)2x0.025+(45-65)2x0.15+(55-65)2x0.2+(65-65)2x0.25+(75-65)2x0.225

+(85-65)2x0.1+(95-65)2x0.05=210,

由196<er?<225，則14<b<15,

而14.52=210.5>210,所以era14,

則X服從正態(tài)分布N(65,14),

所以

-2a<X</J+2cr)+-a<X<ju+a)

P(51<X<93)=P(〃—er<X<〃+2。)

2

0.9545+0.6827

=0.8186；

2

(2)顯然，P(X<〃)=P(X2〃)=0.5,

所以所有y的取值為15,30,45,60,

121

P(y=15)—X——，

233

111227

-_-_--AXZ_|____V—x—二--，

3318

1211122

__\zxz____L

----ZXA------r—X—X—=—

32339

1111

_--_--\zz\丫A_—__-—

318,

所以y的分布列為：

Y15304560

1721

P

318918

1721

所以E(y)=15x—+30x—+45x—+60x—=30,

318918

需要的總金額為：200x30=6000.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用頻率分布表計(jì)算平均數(shù)，方差，考查了正態(tài)分布，考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,

主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

21、(1)證明見解析(2)—獨(dú)0

35

【解析】

⑴解法一：作DXD的中點(diǎn)H,連接EH,FH.利用三角形的中位線證得EH//A.D,利用梯形中位線證得FH//CD,

由此證得平面4。。〃平面EHF,進(jìn)而證得Ef7/平面A。。.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，通過證明直線所的方

向向量和平面4。。的法向量垂直，證得所〃平面A。。.

(2)利用平面ACN和平面4歹。法向量，計(jì)算出二面角N-AC-E的余弦值.

【詳解】

(1)法一：作的中點(diǎn)連接EH,尸〃.又￡為4。的中點(diǎn)，二￡//為例。2的中位線，二￡“〃4。，又

斤為的中點(diǎn)，...EH為梯形2DCM的中位線，...在平面4。。中，\DCD=D,在平面EHF

中，EHFH=H,：.平面ADC〃平面EHF,又EFu平面???斯〃平面A。。.

另解：(法二)二?在長(zhǎng)方體A3CD-44GR中，DA,DC,兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z如

圖所示,

則。(0,0,0),42,0,0),5(2,4,0),

C(0,4,0),2(0,0,2),A(2,0,2),

4(2,4,2),￡(0,4,2),￡(1,0,2),

MI,4,0),加(0,3,2),rkpij

(1)設(shè)平面A。。的一個(gè)法向量為機(jī)=(x,y,