2024年茂名市高二數學3月份聯考試卷

試卷滿分150分.考試時間120分鐘.2024.03

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2,選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非

答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的)

1.直線氐+y-l=O的傾斜角為()

A.工B.巳C.二D.舁

6336

2.已知等比數列｛%｝中，49=4生，等差數列電｝中，％+%=%，則數列電｝的前9項和Sg等于

A.9B.18C.36D.72

3.若函數〃x)=ln(x—a)+/7在％=0處的切線方程為〉=%則滿足的x的取值范圍為()

A.-,eB.\l,e]C.D.[2,1+e]

4.已知圓C：(x-3)2+(>-4)2=9,直線/：(m+3)x-(m+2)y+優=0.則直線/被圓C截得的弦長的最小值為

()

A.V10B.2A/2C.76D.2幣

5.如圖，二面角。一/一尸等于135。，A,3是棱/上兩點，BD,AC分別在半平面。，夕內，AC±Z,

BDLI,且AB=AC=2,BD=叵，則8=()

A.2A/3B.2A/2C.V14D.4

1

22

6.雙曲線,與=1（。>0,“0）的左、右焦點分別為點M是雙曲線左支上一點，4A%=90，

直線班交雙曲線的另一支于點N,|MN|=2|A"|,則雙曲線的離心率（）

A.3B.9C.75D.2

7.已知e=2.71828是自然對數的底數，設。=6力=后一-ln2,貝|（）

ee

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

8.已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為36兀，且34”4應，則該

正四棱錐體積的最大值是（）

A.18B.—C.—D.27

43

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.正方體ABCD-A耳￡2的棱長為2,E,￡G分別為BCCG/K的中點，則（）

A.直線。。與直線"垂直

B.直線4G與平面AER平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為］

D.點4和點D到平面A跖的距離不相等

10.己知=,則（）

A.“X）的值域為R

B.awO時，恒有極值點

k

C.g（%）=/（%）——（左wO）恒有零點

x

D.對于xeRJ(x)<(l-e)or恒成立

2

11.如圖，已知直線/與拋物線;/=2「宜0>0）交于48兩點，且。交48于點。，則（）

A.若點。的坐標為（2,1）,則p=；

B.直線/恒過定點（p,0）

C.點￡>的軌跡方程為x2+y2-2px=0（xw0）

D.二AO3的面積的最小值為4。2

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知函數/（x）=,（2xT）,若方程f（x）-左=0有2個不同的實根，則實數上的取值范圍是.

x-1

13.下圖是瑞典數學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一正三角形開

始，把每條邊三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復進行這一

過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.

①②③④

若第1個圖中的三角形的周長為1,則第〃個圖形的周長為

若第1個圖中的三角形的面積為1,則第〃個圖形的面積為.

14.已知”（再,必），N（%,%）是圓C：（x-3y+（y-4）2=4上的兩個不同的點，若|MV|=2點，則

|西+乂|+值2+%|的取值范圍為.

四、解答題本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業的人舉辦了一

次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有機人，按年齡

3

分成5組，其中第一組：［20,25),第二組：［25,30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),第

五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據頻率分布直方圖，求m的值并估計這根人年齡的第80百分位數；

(2)現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢''宣傳使者.

(i)若有甲(年齡38),乙(年齡40)兩人己確定入選宣傳使者，現計劃從第四組和第五組被抽到的

使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

(ii)若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為37和g,第五組宣傳使者的年齡的平均數與方差

分別為43和1,據此估計這m人中35-45歲所有人的年齡的方差.

n

16.已知數列｛4,｝滿足：a1=2,an+1-an=2.

(1)求數列｛g｝的通項公式；

(2)若數列也,｝的首項為1,其前"項和S“滿足於用-(〃+1)$,=當4,證明：若

V〃eN*,致+也++也21.

a?

17.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側面皿＞，底面ABCD,側棱==PAVPD,底

面ABC。為直角梯形，其中BC//AD,ABLAD,AB=BC=1,。為AD的中點.

(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值;

(2)求8點到平面PCD的距離；

4

(3)線段尸。上是否存在一點Q,使得二面角Q-AC-。的余弦值為逅？若存在，求出筆的值；若不

3QD

存在，請說明理由.

18.已知橢圓C：r+谷=1(°>6>0)的左、右焦點分別為斗鳥，該橢圓的離心率為不，且橢圓上動點加

ab"/

與點片的最大距離為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，若直線/與x軸、橢圓C順次交于尸,。水(點尸在橢圓左頂點的左側)，且+=

求RQ耳面積的最大值.

19.已知函數=alnx-2ox+]~(a>0).

⑴討論〃x)的單調性；

(2)若〃x)有兩個極值點玉、％(工產.)，且不等式〃占)+〃%)<恒成立，求實數2的取

值范圍.

1.C

【分析】由斜率直接求解傾斜角即可.

【詳解】設傾斜角為aa?(U),貝iJtana=-5則a=手

故選：C.

2.B

【分析】由等比數列的性質可得生?%=%，求得%=4,得到&+%=4,再由等差數列的前n項和，即

可求解，得到答案.

【詳解】在等比數列等“｝中,滿足出外=4%，

由等比數列的性質可得在?4=d，即6=4%,所以％=列

5

又由4+4二%，所以“+%=4

所以數列｛4｝的前9項和Sg=9（：；>）=%詈=殍=18,

故選B.

【點睛】本題主要考查了等差數列、等比數列的性質，以及等差數列的前n項和公式的應用，著重考查

了推理與運算能力，屬于基礎題.

3.B

【分析】根據導數的幾何意義求出。力，再根據對數函數的單調性解不等式可得結果.

【詳解】因為/。）=111（尤一。）+6,所以（（無）=」一，

x-a

f（（y）=—=1（a=—1

依題意可得-a,解得｝，

/（0）=ln（-a）+6=0="

所以/（x）=ln（尤+D,f（x-l）=lnx,

所以OWlnxWl,所以IWxVe.

故選：B

4.D

【分析】

先求出直線/所過的定點P（2,3）,數形結合得到當CP_￡/時，直線/被圓C截得的弦長最小，由垂徑定理

得到最小值.

【詳解】

直線/：（"2+3卜-（"?+2）、+根=m（%-,+1）+3彳-2'=0.恒過定點尸（2,3）,

圓C的圓心為C（3,4）,半徑為r=3,且（2-3）?+（3-4）2=2<9,即尸在圓內，

當CP，/時，圓心C到直線I的距離最大為d=\CP\=42,

此時，直線/被圓C截得的弦長最小，最小值為24r方=2近.

故選：D.

5.C

【分析】

依題意，可得笳=法+斯泥，再由空間向量的模長計算公式，代入求解即可.

6

【詳解】

由二面角的平面角的定義知〈肛AC)=135。，

所以2D?AC]cosAC)=2xcos135°=-2,

由AC_U,BDLI,得AC-8A=0，BDBA=Q，

UUIUUUUULLUUU

又因為DC=+BA+AC，

所以

|￡>C|2=(DB+BA+AC)2=DB"++AC+2DB-BA+2DB-AC+IBA-AC

=(V2)2+22+22-2BD-AC=10-2x(-2)=14,

所以怛q=&z,即CD=M.

故選：c.

6.C

【分析】

根據雙曲線定義和|MN|=2|NF；|得到邊長之間的關系，結合勾股定理得到方程，求出離心率.

【詳解】設|明|=〃，貝“肱V|=2〃，\MF2\^3n,

由雙曲線定義得岬I=2。，故|岬|=3〃-2a,

由勾股定理得|"打「+|叫「=山與「，即9"+(3〃一2。)2=4H①，

連接N[,貝]岫|一|蹲|=2。，故|g|=2a+〃，

由勾股定理得|上陰『+對2=防2,即4/+(3〃_2。丫=(2a+〃y②，

由②得力=第，代入①得20。2=4°2,故￡=6

3a

V/

h1aI

II\

故選：c

7.A

7

【分析】首先設/（》）=?-2，利用導數判斷函數的單調性，比較“力的大小，設利用導數判斷/Wx+1,

e

放縮c>0-ln2,再設函數g（x）=?7nx,利用導數判斷單調性，得g（2）>0,再比較b,c的大小，即

可得到結果.

【詳解】設/（x）=?-?，，'⑺=^^二，

22

當04x<?時，/^%）>0,函數單調遞增，當無>（時，/（x）<0,函數單調遞減，

2

a=f（3）,b=f（2）,>2<3時，/（3）<f（2）,即

設片e-x-1,yr=ex-l,（--。）時，/<0,函數單調遞減，（0,+力）時，/>0,函數單調遞增，所

以當x=0時，函數取得最小值，f（O）=O,即+l恒成立，

即eg>72，

令g（x）=]-lnx,gr（x）=---,xe（O,e）時，g,（x）<0,8（同單調遞減，％€（6-^0）時，g<x）>0,g（x）

單調遞增，x=e時，函數取得最小值g（e）=O,即g（2）>0,

得：一>ln2,那么—<>/2—In2,

ee

BPe'/5-1-ln2>^-ln2>72--,即b<c,

e

綜上可知

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題考查構造函數，利用導數判斷函數的單調，比較大小，本題的關鍵是：根據

ex>x+l,放縮c>收-ln2，從而構造函數g（尤）=]Tnx,比較大小.

8.C

【分析】

設正四棱錐的底面邊長為加，高為心求出九/M的關系式，即可表示出四棱錐的體積，利用導數求得其

最大值，即得答案.

【詳解】.球的表面積為36兀，所以球的半徑R=3,

8

設正四棱錐的底面邊長為2a,高為小,貝！J尸=2/+?,32=2a2+(3-/z)2,

所以6/1=/2,24=/2—%2,

119(74?72

故正四棱錐的體積為丫=彳5/2=彳乂4。2、%=xZ2-—x-=

33313oJo

當3W/K2#時，Vr>0,當2c</44加時，V'<0,

在［3,2萌］上單調遞增，在［2",40］上單調遞減,

當/=2前時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為三.

故選：C.

9.BC

【分析】

根據線線位置關系判斷A；證明平面a*G;，平面AEF,利用面面平行的性質可判斷B；作出平面AEF

截正方體所得的截面，求出截面面積判斷C；設ADcA〃=。，則。是4。的中點。結合點到平面的距

離的含義判斷D.

【詳解】D.DGC,而尸為GC的中點，GC與AF不垂直，二。2與反不垂直，A錯誤;

取4G中點H，連接AH,GH,BC「HE,由G,瓦尸分別是陰,BC,CG中點,

AB

9

得龍，BCtEF,HGCZ平面AEF,EFu平面AE尸，故用平面AEF,

又HEBB,抽,"￡=8耳=",;.4"64是平行四邊形，

AE,aa<z平面AEF,AEU平面AEF,故A”，平面AEF，

而4“八”6=4,4",〃6<=平面4"6,故平面45G平面的，

又AGu平面AG,平面AEF,B正確；

由正方體性質，連接歹2,42，由于4B〃GR，AB=G2，

故四邊形ABC，為平行四邊形，則3c|〃AR,而3￡〃或"故E/〃A2，

則截面AEF即為四邊形AEFD、,它是等腰梯形，

正方體冷場為2,故AD、=2叵EF=RD、F=AE=后,

等腰梯形AE肛的高為/7=J(有y_(述411=迪，

22

NIJ

截面面積為S=gx(血+20卜寺=|,C正確；

設ADcA，=。，則。是AQ的中點，而平面A￡戶即為平面人￡/2，

40門平面4￡7已=。，，4，。兩點到平面4所2的距離相等，D不正確.

故選：BC.

10.BCD

【分析】

令上依，則g(r)=r-e'，求導數分析單調性即可求得；B選項由A選項即可判斷B選項；C選項由

g(x)=〃尤)-。(％*0),根據方程有零點轉化為兩個方程的根的問題來判斷；D選項e)ax,

轉化為e"2eax,即可判斷D選項；

【詳解】對于A：令t=ax,貝!|g?)=r—e',g'?)=l—e'jwR,

當te(一”,0),g'(。>0,g(r)單調遞增；

當fe(0,+e),g'(r)<0,g(f)單調遞減.

10

.?.g(r)<g(o)=-l,的值域不為R,故A不正確；

對于B：由A選項可知，當。力0時，x=0是/(X)的極值點，故B正確；

對于C：g(無)=〃尤)(4X0)有零點，即依有根，

當。=0時，/(x)=-l與函數y=:圖象恒有交點，

當"0時，由選項A知/(x)1mx=〃0)=—1；

且在(-8,0)上單增，在(0,+8)上單減，

當上>。時，函數y=g圖象在第三象限與/(x)有交點，

當左<。時，函數y=g圖象在第四象限與/(x)有交點，

.?"(X)與函數y圖象恒有交點，故C正確；

對于D：若-e)6a,則辦一e公<(l-e)oroe.>eor,

%

(e>ex,令〃力=1一4,/'(x)=e"—e,/'(x)>0,x>l,/,(x)<0,x<l,fM^n=f(T)=0f所以e'Nex,

故當％=1時等號成立)，

當工=’，則e6ueox,故D正確.

a

故選：BCD.

11.ACD

【分析】A選項，求出％“=：,由垂直關系得到L：y=-2x+5,與拋物線方程聯立，得到兩根之積，

求出自A?壇B=.=T；B選項，設&，:尤3型+乙聯立拋物線方程，得到兩根之積，由勺AB=T得

至1"二22，得到L：x=my+2p,得到所過定點M(2,0)；C選項，由得到。點的軌跡；D選

項，由B選項基礎上求出SAO5=2p2J加+4,得到面積的最小值.

【詳解】

對于A選項，D(2,l),.\k0D=；,

ODLAB,

「?KB=—2,g：y=—2x+5,聯立y2=2px,消去工,

11

有y2+py_5P=0,記4（%,%）,3（孫％），則為顯=-5p,

%%__4/=i

由a4_LOB,得4M

士赴K21yly2'

2p2p

故A正確;

對于B：可設/小工=沖+/，聯立丁=2/，消去犬，Wy2-2pmy-2pt=0,

則/+%=2pm,%y2=-2pt,由k0A-k0B=——二一1得4/—23=0,

X%

:.t=2p,/.lAB:x=my+2p,

過定點M（2p,0）,故B不正確；

C選項，VOD±AB,

.:D在以31為直徑的圓：（x-pf+y2=p?上運動（原點除外），故C正確；

D選項，由B選項可知如：x=，孫+2p,過定點M（2p,0）,

X+丫2=2pm,%%=Tp?,

Sf=g，2p.|%%|=。1（%+必）2-4yly2=2P7m2+4＞4p2,

當且僅當加=0時，等號成立，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；

（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數

的最值或范圍.

、3

12.0＜左＜1或左＞4”

【分析】根據給定條件，求出函數/（刈的導數，利用導數探討函數的性質，再數形結合求出左的范圍.

【詳解】函數/（J=e'（2x-D的定義域為（9,1）51"）,求導得尸（無）="，（2:3）,

x-1（X-1）

33

當xvO或x＞—時，＞0,當Ov犬vl或1＜兀＜—時，/r（x）＜0,

22

33

因此函數“九）在（-8,0）,（不+8）上單調遞增，在（0,1）,（1,7）上單調遞減，

22

12

當x=0時，/（x）取得極大值”。）=1,當x=|時，/⑺取得極小值/（|）=41，

函數/（元）在（F,0）上恒有/（X）>0,而/（1）=0,

3e3

當l<x<7時，/（x）>2e+—e而函數y=2e+—；在（1,彳）上遞減，值域為（4e,+o））,

2x-1x-12

333

因此函數/（九）在（1,1）上無最大值，當工〉,時，/（x）>2ex,顯然/（九）在（于+8）上無最大值,

函數/（幻=-（2”-1）的大致圖象如圖,

3

觀察圖象知，當。<人<1或%>4”時，直線，=左與函數y=/（x）的圖象有兩個公共點,

因此方程/（X）-左=o有兩個不同的實數解時，0<A<1或/>4”，

、3

所以實數%的取值范圍是0<%<1或左>4趣

3

故答案為：0v左vl或左>4/

13.I-K0

【分析】結合等比數列的相關知識，觀察圖形可得出三角形的邊長為氏，邊數為4滿足g=；4T，

2=4%,求出通項公式，利用（=。也計算即可；易得到與=%+%*￥M，利用累加法及等比數

列相關公式求解即可.

【詳解】記第〃個圖形為三角形的邊長為與,邊數為a，周長為4,面積為s“,

則《有4條邊，邊長為4蜴有打=的條邊，邊長為%=；4；6有a=爐4條邊，邊長為4=II%;

*，即為=[g]%也=4%，即2=偽,4"一.

當第1個圖中的三角形的周長為1時,

13

nn—\

4

X3X4〃T

即4=1,瓦=3,/.L>n-a,b.

由圖形可知Pn是在匕T每條邊上生成一個小三角形,

即S,=S“_]+bn_tX與a：,

即S"-S"-1=￡片-S“_2=￡a；-i0-2，，S2~Si=~ai'b\,

利用累加法可得S"-S[=（a：?b,i+by+，

因為數列｛%｝是以;為公比的等比數列，數列｛2｝是以4為公比的等比數列,

故數列｛W?2—｝是以2為公比的等比數列，

當第1個圖中的三角形面積為1時，y=1,即走d=1,

此時02=半,煩=挈/有々=3條邊，

則“飛+/?》?I⑻人工⑺J

UnUn-\十Un-\Un-2十%%14-、，

1----

9

???S"/=|x『01.s,=_|一|x（』,故答案為:

14.[10,18]

【分析】

上+%|+但+%]為川（冷乂）和N（w，%）到直線彳+丫=。距離之和的0倍，是MN的中點P到直線

元+y=。距離的20倍，利用尸點軌跡，求取值范圍.

【詳解】

由題知，圓C的圓心坐標C（3,4）,半徑為2,因為|"N|=2收，所以C0LQV.

設P為MN的中點，所以|CP|=0,所以點P的軌跡方程為（x-3y+（y-4）2=2.

點尸的軌跡是以C（3,4）為圓心半徑為近的圓.

設點M,N,尸到直線光+y=。的距離分別為4,d2,d,

14

所以4=邛，4=匕對，d—

A/2A/22

所以g+yj+|%2+%|=逝（4+〃2）=2e".

因為點C到直線x+y=O的距離為厘=述，所以還一叵4d4正+貶,

V2222

即孚VdW尊，所以1042及1V18.

所以歸+對+國+%|的取值范圍為［10，18］.

故答案為：［10,18］

【點睛】

思路點睛：

利用人+乂|+|々+%|的幾何意義，問題轉化為為知(人,%)和N(%,為)到直線》+y=o距離之和，再轉化

為“v的中點尸到直線無+>=。距離，由p點軌跡是圓，可求取值范圍.

15.(l)/W=200,第80百分位數為37.5

3

⑵(i)j；(ii)10

【分析】(1)根據第一組的人數及所占比例求出帆=200,利用百分位數的計算公式求出第80百分位

數為37.5；

(2)(i)利用列舉法求解甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

(ii)結合第四組和第五組的平均數和方差，利用公式求出這機人中35~45歲所有人的平均數和方差.

【詳解】(1)由題意，—=5x0.01,所以〃?=200.

m

設第80百分位數為a,

因為0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7<0.8,0.01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

故第80百分位數位于第四組：［35,40)內，

由0.05+0.35+0.3+(a—35)x0.04=0.8,解得：a=37.5,

15

所以第80百分位數為37.5；

（2）（i）由題意得，第四組應抽取4人，記為A,B,C,甲，第五組抽取2人，記為。，乙，

對應的樣本空間為：Q=｛（AB）,（AC）,（A,甲）,（A,乙（氏C）,?,甲）,（3,乙），（B,D）,

（C,甲），（C,乙）,（C,。），（甲，乙），（甲，D）,（乙，D）｝，共15個樣本點.

設事件M="甲、乙兩人至少一人被選上”，

則/=｛（4,甲）,（4,乙）,（8,甲）,（8,乙），（C,甲）,（C,乙），（甲，乙）,（甲，。）,（乙，D）｝,

共有9個樣本點.所以尸（〃）=一太=￡.

（ii）設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數分別為羽，弓，方差分別為

則x4=37,無5=43,s：=g,s；=1,

設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為N,方差為S2.

則轉生產=39,

s2=g｛4x[sj+（無一可1+2x[s；+（耳一可][=10,

因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10,

據此，可估計這，"人中年齡在3545歲的所有人的年齡方差約為10.

16.（1）%=2"（2）證明見解析

【分析】（1）利用累加法求解即可；

（2）根據題中條件可得為等差數列，繼而可求得s“=當4,bn=n,利用錯誤相減法求得

7；=4-7言1+2，考場其單調性即可證明.

【詳解】⑴。“+|-。"=2"，4=2,

2時，

=q+（%-q）+3-%）++（%一2-%）+（〃〃一q—1）

=2+2!+22++2"2+2"T

2（1-2〃T）

=2+-^--------^=2〃.

1-2

又4=2符合上式，所以%=2〃.

16

⑵由"-S'=-^」，

用---7-41

n+1n291

??.數列是以公差為首項為1的等差數列,

<1n

貝I蕾=5(z")=丁n+1，即anS"=n(n-4+t^).

、“-rt

當時，n(n+\\n(n-\\L

bn=Sn-Sn—ii=?^?=n,

仇=1也符合該式，

2h2nn

則A

2〃T'

123n

記北=吩+喳+展++k'

123n

=------1-------1--------1-H-------r

2°21222'T

由,

123n

=~r-^——?+H------

212223T

作差得％=1+?研1n

+L+工-

2"T2〃

1

1-

2nn+2〃+2

2--------，則雹=4—

1-;2”2〃2〃T

〃+2〃+3n+1_

=------>0,

TT

，數列｛1｝在〃eN*上單調遞增，（%/=Z=1，

-Tn>l.

即空+與+Z1.

a

%〃2n

17.（1）逅（2）1（3）存在，且照=；

33QD2

【分析】（1）根據面面垂直的性質可推得尸0/平面A5CD.根據已知得出OC_LAD.以。為坐標原點，

建立空間直角坐標系，得出點以及向量的坐標.根據線面垂直的判定定理得出Q4,平面尸OC,求出

PB,04的坐標，即可根據向量法求出答案；

（2）求出平面尸8的法向量，根據向量法即可得出距離；

（3）假設存在，^PQ=APD（0<A<l）,得出。（04』-4）.求出平面G4Q的法向量，根據二面角結合向

17

量，列出方程，求解即可得出2的值，進而得出答案.

【詳解】（1）在二中，PA=PD,。為AO的中點，

所以「

又因為面上4￡>_L底面A3GD,平面RWc平面A?CD=AD,POu平面上4￡）,

所以，尸。1平面45co.

在..PAD中，PALPD,PA=PD=y/2,

所以，A￡>==2,OP=^AD=1.

在直角梯形A3CD中，。為AO的中點，

所以。4'AD=1=BC.

2

又OA//BC,

所以四邊形。4BC為平行四邊形，OC//AB.

因為，AB±AD,所以OC_LAD.

以。為坐標原點，0C所在直線為x軸，0D所在直線為y軸，0P所在直線為z軸建立空間直角坐標系,

如圖所示，

則。（0,0,0）,P（0,0,l）,4（0,TO）,3（1,—1,0）,C（l,0,0）,D（0,l,0）,

所以廂=(1,T-1).

因為。4J_OP,OA±OC,OPr>OC=O,OPu平面POC,OCu平面尸OC,

所以04,平面POC,

所以。4=（0,-1,0）為平面尸OC的法向量.

PBOA_73

因為cos(PB,OA)=

網忸一3

所以f3與平面POC所成角的正弦值為且，余弦值為A/6

3V

B

18

(2)由(1)可得沖PC=(1,O,-1),PD=(O,l,-l),

設平面PCD的法向量為〃=(x,y,z),

u?PC=x-z=0

則

u-PD=y-z=0

取z=l,得”=(1,1,1).

\PB-u\h-i-il73

所以，5點到平面PCD的距離d===：

(3)假設存在，且設尸。=/LPZ)(OV2Vl).

因為PD=(O,l,-l),

所以OQ—OP=PQ=(0,4T),C>e=(O,A,l-A),e(O,A,l-A).

設平面G4Q的法向量為m=(大,wzj,AC=(1,1,0),Ag=(0,2+l,l-A),

則m-AC=：x+y.、=0,、,

TH?AQ—(X+1)M+(1—幾)Z]=0

取Z1=1+X,得加=(1一九4—1,4+1).

因為OP_L平面ABC。，所以平面CW的一個法向量為〃=(0,0,1}

因為二面角。-AC-。的余弦值為逅,

3

|丸+1|_A/6

.J(l-Z)2+(A-1)2+(2+1)2xl3

整理化簡，得342-104+3=0,解得或4=3(舍去)，

所以，線段尸。上存在滿足題意的點。，且照=；.

18.⑴土+反=]⑵更

434

【分析】

(1)根據題意，列出關于d瓦c的方程，代入計算，即可得到結果;

(2)根據題意，設直線尸。的方程為工=叫+〃(加學0),聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理，再由

三角形的面積公式，代入計算，結合基本不等式，即可得到結果.

19

【詳解】⑴橢圓的離心率為92；,即a=2c.

a

橢圓上動點M與點耳的最大距離為3,，a+c=3,

22

a=2,c=1,/.b=A/3,.\橢圓。的方程為工+匕=1.

43

（2）設。（玉,%）,尺（%2，%）,由⑴知，4（-1,。），

ZPFxQ+ZPFxR=7r,:.kQF+kRFt=0,

必?必

=°,化簡整理，得M=。.

x1+1x2+1

設直線產。的方程為》=沖+〃（租學o）,

x-my+n

聯立—J,2

I43

.'.A=36療/-4(3/n2+4)(3/-12)>0,.\?2<3病+4.

6mn3H2-12

%+%=-3/=3療+4，%=721+"，%+"，

玉%+%+NX+X=2〃/%+(〃+1)(%+%)=0，

3n2-126mn

2m-+5+1)-=0,,加w0,〃二—4,

3m2+43m2+4

直線PQ的方程為了=叼-4（根wO）.

/、-1+43

點4(-1,0)到直線PQ的距離d=I1

VI+m1+m2

2二1

.*.5