§7.5空間直線、平面的垂直

【考試要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系2掌握直線與平

面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單的應用.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線/與平面a內的任意一條直線都垂直,就說直線I與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質定理

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，

一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，則它們

所成的角是0。.

(2)范圍：［0,2■

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角;

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直

于棱的兩條射線,這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：［0,兀］.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示

判定如果一個平面過另一個平面的

定理垂線,那么這兩個平面垂直

=a_LQ

、

兩個平面垂直，如果一個平面內a±13

J

性質有一直線垂直于這兩個平面的

l-La

定理交線,那么這條直線與另一個平

IUB,

面垂直

=/_La

【知識拓展】

1.三垂線定理

在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射

影垂直.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)直線/與平面a內的無數條直線都垂直，則/_La.(X)

(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(X)

(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.(X)

(4)若直線。，平面a,直線6,平面a,則直線a〃直線6.(V)

【教材改編題】

1.(多選)若平面a,平面小且則下列命題中正確的是()

A.平面a內的直線必垂直于平面p內的任意一條直線

B.平面a內的已知直線必垂直于平面/內的無數條直線

C.平面a內的任一條直線必垂直于平面/3

D.過平面a內任意一點作交線/的垂線，則此垂線必垂直于平面0

答案BD

解析A項，如圖①，aUa,bU§,且。，。與/都不垂直，貝！|a,b不一定垂直，故A錯；

B項，如圖②，aUa,作6J_/,則6J_a,則//內所有與6平行的直線都與a垂直，故B正確;

C項，如圖③，aUa,但a與/不垂直，則a與￡不垂直，故C錯;

D項，如圖④，由兩平面垂直的性質定理可知D正確.

BB

③④

2.“直線a與平面a內的無數條直線都垂直”是“直線a與平面a垂直”的條件.

答案必要不充分

3.在三棱錐P—A8C中，點P在平面A8C上的射影為點0.

⑴若PA=PB=PC,則點。是AABC的心；

⑵若PB1PC,PCLPA,則點。是△ABC的心.

答案⑴外⑵垂

解析（1）如圖1,連接。4,OB,OC,0P,

在RtAPOA,RtAPOB和RtAPOC中，

PA=PC^PB,

：.OA=OB=OC,

即O為△ABC的外心.

(2)如圖2,延長A。，BO,CO分別交BC,AC,A8于點X,D,G.

'：PC±PA,PBLPC,PAC\PB=P,PA,

P8U平面PAB,

；.PC_L平面又ABU平面研8,

：.PC1AB,

'：ABLPO,POCPC=P,PO,PCU平面PGC,

；.A8_L平面PGC,又CGU平面PGC,

：.AB±CG,即CG為/XABC邊AB上的高.

同理可證B。，AH分別為△ABC邊AC,8c上的高，即。為△ABC的垂心.

■探究核心題型

題型一直線與平面垂直的判定與性質

例1(2021?全國甲卷)已知直三棱柱ABC—ASG中，側面A41B/為正方形，AB=BC=2,

E,尸分別為AC和CG的中點,BFXAiBb

(1)求三棱錐F-EBC的體積;

(2)已知。為棱4囪上的點，證明：BFLDE.

⑴解如圖，取BC的中點為連接由已知可得現AB=BC=2,

CF—1,EM=-^AB—1,

AB//A1B1,

由BF_LAiBi得EM±BF,

XEMLCF,BFCCF=F,

所以EM_L平面BCF,

故嗅鞋F-EBC=vzst￡-FBC=|X|scXCFX￡M=|X|X2X1X1=1.

(2)證明連接4E,BxM,

由(1)知EM/ZAiBi,

所以E?在平面EMBiAi內.

在正方形CCiB由中，由于居M分別是CG,8c的中點，

所以由平面幾何知識可得

又2尸L41B1,BiMnAiBi=Bi,

所以BF_L平面EMBiAi,

又DEU平面EMBxAx,所以BFLDE.

【教師備選】

如圖，在四棱錐尸一ABCZ)中，四邊形ABC。是矩形，AB_L平面B4。，AD^AP,E是尸。的

中點，M,N分別在AB,PC上，KMN±AB,MN_LPC.證明：AE//MN.

證明平面BW,AEU平面BW,

：.AE±AB,

又AB〃CD,：.AE±CD.

'：AD=AP,E是PO的中點，：.AE±PD.

XCDDPD=D,CD,POU平面PC。，

平面PCD.

'：MN±AB,AB//CD,：.MN±CD.

又；W_LPC,PCDCD=C,PC,CDU平面PCD,

.\MN_L平面PCD,C.AE//MN.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃b,aLa^bLa);

③面面平行的性質(a_La,a〃￡=a_L￡);④面面垂直的性質.

(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.

跟蹤訓練1如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，R1_L底面ABCD,ACJ_CQ,ZABC

=60°,PA=AB=BC,E是尸C的中點，證明：

(1)CD±AE；

(2)P/U平面ABE.

證明(1)在四棱錐P—ABC。中，

底面ABC。，CDU平面ABCD,

：.PA±CD,

'JACLCD,E4nAe=A,PA,ACU平面陰C,

.?.CZ)_L平面E4C.而AEU平面PAC,

：.CDLAE.

(2)由B4=AB=BC,ZABC=60°,

可得AC=B4.

是PC的中點，：.AE±PC.

由(1)知AE_LC。，且尸CCCD=C,PC,CDU平面尸CZ),

平面PCD而POU平面PCD,

.?.&￡_1尸。.：必，底面&809,：.PA±AB.

又,.,A2_LA。且B4nA￡>=A,PA,AOU平面B4。，

平面必。，而尸。U平面E4D,

：.AB±PD.

XVABAAE=A,AB,AEU平面ABE,

；.PD_L平面ABE.

題型二平面與平面垂直的判定與性質

例2(2021?全國乙卷)如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，PD，底面A8CD,M為BC的

中點，且尸

⑴證明：平面出M_L平面尸8。；

(2)若P￡)=DC=1,求四棱錐P—ABC。的體積.

⑴證明：尸。_L平面ABC。，AMU平面ABCD,

：.PD±AM.

,JPBLAM,且PBnP0=P,PBU平面PB。,PDU平面PB。，平面PBD

又AMU平面PAM,：.平面PAML平面PBD.

(2)解：M■為8c的中點，BM=^AD.

由題意知AB=DC=1.

平面尸2。，BOU平面

：.AM±BD,

由/BAM+/MAO=90°,

ZMAD+ZADB=90°,

得/BAM=/AZXB,

易得△BAMsAADB,二通=詬,

AD

2i

即一］-=4力得AD=d^,

1/1/7

二?S矩形ABC。=AD.DC=小義1=也,

則四棱錐P-ABCD的體積

Vp-ABCD—^S^?ABCD-PD

=gx$X1=9.

【教師備選】

(2020?全國I)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內接正三角形,

P為。。上一點，ZAPC=90°.

(1)證明：平面以8_L平面B4C；

(2)設。。=也，圓錐的側面積為小兀，求三棱錐P—ABC的體積.

(1)證明：￡＞為圓錐頂點，O為底面圓心，

.?.OZ)_L平面ABC,

：尸在。。上，OA=OB=OC,

:.P\=PB=PC,

,：ZVIBC是圓內接正三角形，

J.AC^BC,△如C0△PBC,

ZAPC=ZBPC=90°,

即PB_LPC,PALPC,

PAC\PB=P,

；.PC_L平面B48,PCU平面RIC,

二平面B48J_平面PAC.

(2)解設圓錐的母線為/,底面半徑為廣，圓錐的側面積為無〃=小兀,

L)

rl=y[3,

OZ)2=Z2-^=2,解得r=1,

1=小,AC=2rsin60°=y/3，

在等腰直角三角形APC中，

AP昔AC萼

在RtAB4O中,

PO=-\jAP2-OA2=2-

三棱錐P-ABC的體積為VP-ABC=!POSAABC=!><嘩義坐X3=說

思維升華(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質的應用

①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直

線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.

跟蹤訓練2如圖,在四棱錐PA-BCD中，底面ABCD為矩形，平面J_平面ABCD,PALPD,

PA=PD,E為的中點.

⑴求證：PELBC；

(2)求證：平面E48_L平面PCD.

證明(1)因為必=?。，E為的中點，

所以PE±AD.

因為底面ABC。為矩形，所以BC〃AD

所以PE1BC.

(2)因為底面ABCO為矩形，

所以AB±AD.

又因為平面平面ABC。，平面B4￡)n平面ABCO=A。，ABCABCD,

所以AB_L平面PAD.

又PDU平面E4￡),所以A2_LPD

又因為B4_LPD,且B4cA8=A,PA,ABU平面B48,

所以PO_L平面E4A又尸。U平面PCD,

所以平面E48_L,平面PCD.

題型三垂直關系的綜合應用

例3如圖，己知ABC。一AbBiCiP是底面為正方形的長方體，ZADiAi=60°,AD,=4,點

P是Ad上的動點.

(1)試判斷不論點P在Ad上的任何位置，是否都有平面8抬，平面AAiOQ,并證明你的結

論；

(2)當尸為的中點時，求異面直線AAi與BiP所成的角的余弦值；

(3)求PBi與平面AAiDi所成角的正切值的最大值.

解⑴：A4_L平面A41DQ,8AU平面BE4,

平面8B4_L平面A41GD,

與尸點位置無關.

(2)過點P作PEXAiDi,垂足為E,連接SE(如圖)，則PE//AAY,

或其補角是異面直線A4i與BiP所成的角.

在RtAAAiDi中，ZADiAi=60°,

ZAiADi=30°,

"."AiBi—AiDi—^ADi—2,

AiE=^A\D[=l.

又PE=^AAi=y[3.

：.在RtABiPE中,

BiP=yjBiE2+PE2=2y[2,

小XPE小乖

cosNSPE—Bip—2后—4-

.?.異面直線AAi與S尸所成的角的余弦值為小.

(3)由⑴知,20」平面

ZBiPAi是PBi與平面A4iDi所成的角，

…?B1A12

tan/SM=不7=布’

當4P最小時，tan/BiB4i最大，

這時AiP_LADi,

心AjDyAlA

由AAlpP~AD\fr-

得tanZjBiB4i=^^,

即PBi與平面A4boi所成角的正切值的最大值為手.

【教師備選】

如圖，在四棱錐S—A8CQ中，四邊形A8C。是邊長為2的菱形，ZABC=6Q°,△SA。為正

三角形.側面底面A8CDE,P分別為棱A。，SB的中點.

⑴求證：AF〃平面SEC；

(2)求證：平面ASB_L平面CSB；

(3)在棱S3上是否存在一點M,使得8。，平面腸1C?若存在，求黑的值；若不存在，請說

明理由.

⑴證明如圖，取SC的中點G,連接PG,EG,

VF,G分別是SB,SC的中點,

：.FG//BC,FG=/c,

?..四邊形A8CD是菱形，E是A。的中點,

：.AE//BC,AE=^BC,

J.FG//AE,FG=AE,，四邊形AFGE是平行四邊形，

：.AF//EG,又AR：平面SEC,EGU平面SEC,

〃平面SEC.

(2)證明...△SAD是等邊三角形，E是A。的中點，

：.SE±AD,?.?四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,

.?.△AC。是等邊三角形，又E是的中點，

J.ADLCE,又SECCE=E,SE,CEU平面SEC,

；.A￡?_L平面SEC,又EGU平面SEC,

：.AD±EG,又四邊形AFGE是平行四邊形,

四邊形AFGE是矩形，C.AFLFG,

XSA=AB,F是SB的中點，

：.AF±SB,

又FGCSB=F,FGU平面SBC,S8U平面SBC,

.?.A/U平面SBC,又AEU平面ASB,

平面ASBJ_平面CSB.

(3)解存在點M滿足題意.假設在棱S3上存在點M,使得8。，平面MAC,

連接MO,BE,則B￡)_LOM,

:四邊形A3CD是邊長為2的菱形，ZABC=60°,△SA。為正三角形，

:.BE=5

SE=小,BD=2OB=2&SD=2,SE±AD,

;側面SAO_L底面ABCD,

側面SADri底面ABCD^AD,SEU平面SAD,

：.SE_L平面ABCD,：.SE_LBE,

：.SB=y]SE2+BE2^y[Td,

.s4+S_sr>2_3仍5

..COSNMJ—2SBBD_20'

?OB3^/30?2V10.BM=2

"'BM~20，3，??BS

思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.

(2)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相

關定理、性質進行推理論證.

跟蹤訓練3如圖，在四棱錐尸一ABCZ)中，底面ABC。為四邊形，是邊長為2的正

三角形，BCLCD,BC=CD,PDLAB,平面平面ABCD

(1)求證：PD_L平面ABC。；

(2)若二面角C-PB-D的平面角的余弦值為平，求PD的長.

⑴證明如圖所示，E為8。的中點，連接AE,△ABO是正三角形,

則AELBD.

平面平面ABCD,平面尸8。。平面ABCD=BD,

AEu平面ABCD,

故AE1,平面PBD,PDu平面PBD,

故AELPD.

PD±AB,AEHAB=A,

AE,ABu平面ABC。，

故尸。J_平面ABCD

(2)解過點E作EFLPB于點P,連接CP,CE,

因為8C_LC。，BC=CD,E為8。的中點，

所以EC±BD,

所以EC_L平面PBD.

又PBU平面PBD,所以EC_LPB,

又ECCEF=E,EC,EFU平面EFC,

所以P2_L平面EFC,

又因為CPU平面EFC,

所以CFLPB,

故/EPC為二面角C—PB—D的平面角.

cosEFC—

故tan/￡FC=巾，EC=1,故EF=省.

EF\51

=

sinZPB￡)=7nn^Jc，ZtanZPBD=z,

即祟=:，PD=L

DUZ

課時精練

q基礎保分練

1.（2020?新高考全國I）日皆是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的辱針投射到

號面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一點A的緯度是指OA與

地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置

一個日辱，若辱面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40。，則號針與點A處的水平

面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案B

解析如圖所示，。。為赤道平面，。。1為A點處的日惹面所在的平面,

由點A處的緯度為北緯40。可知/0401=40。，

又點A處的水平面與0A垂直，看針AC與。。1所在的面垂直，

則唇針AC與水平面所成角為40°.

2.己知相，/是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，則下列可以推出a_L夕的是（）

A.mJ_Z,mU.,l_LaB.mJ_Z,aC0=l,mUa

C.m//1,m-La,l.L/3D.l.La,m//1,m///J

答案D

解析對于A,有可能出現％夕平行這種情況，故A錯誤；對于B,會出現平面a,4相交

但不垂直的情況，故B錯誤；對于C,m//l,mLa,夕〃夕，故C錯誤；對于D,l.La,

根〃/又由加〃￡=a_L/,故D正確.

3.如圖，在斜三棱柱ABC—431G中，ZBAC=90°,BCi±AC,則Ci在底面ABC上的射影

H必在（）

A.直線48上

B.直線BC上

C.直線AC上

D.△ABC內部

答案A

解析由AC_LA3,AC±BCi,AB^BCi=B,AB,BQU平面ABC,得AC_L平面ABG.

因為ACU平面ABC,

所以平面ABCi_L平面ABC.

所以G在平面ABC上的射影X必在兩平面的交線AB上.

4.如圖，圓。所在平面，AB是圓。的直徑，C是圓周上一點，其中AC=3,B4=4,

BC=5,則尸8與平面B4C所成角的正弦值為（）

答案A

解析根據題意，是圓。的直徑，C是圓周上一點，則8CLAC,

又由抬，圓。所在平面，則抬，8C,

因為B4CAC=A,PA,ACU平面B4C,

則BC_L平面B4C,故NBPC是尸2與平面E4C所成的角，在△ACB中,AC=3,3C=5,AC_LBC,

則AB=ylAC2+BC2=^34,

在△B48中，AB=取，PA=4,PALAB,

則PB=q/+AB2=5#

在△PCB中，BC=5,PB=5?

則sin/BPCnff=*.

rDZ

5.（多選）（2022?武漢調研）如圖，AC=2R為圓。的直徑，ZPCA=45°,B4垂直于圓。所在的

平面，8為圓周上不與點A,C重合的點，ASLPC于S,ANLPB于N,則下列結論正確的

是（）

A.平面ANS_L平面尸BC

B.平面⑷VS_L平面E4B

C.平面B4B_L平面PBC

D.平面ABC_L平面E4C

答案ACD

解析：出，平面ABC,R1U平面B4C,

平面ABCJ_平面B4C,；.D正確；

BCU平面ABC,：.PALBC,

又AC為圓。的直徑，

B為圓周上不與點A,C重合的點，

：.AB±BC,

又以CAB=A,PA,48U平面

；.BC_L平面B48,又BCU平面PBC,

平面抬8_L平面PBC,

：.C正確;

又ANU平面PAB,：.BC±AN,

又ANLPB，BCCPB=B,

BC,P8U平面PBC,

；.AN_L平面PBC,

又PCU平面PBC,：.AN±PC,

又：PCJ_AS,ASHAN=A,

AS,ANU平面AAS

；.PC_L平面ANS,

又PCU平面PBC,；.平面ANS_L平面PBC,

A正確.

6.（多選）（2021?新高考全國H）如圖，在正方體中，。為底面的中心，尸為所在棱的中點，M,

N為正方體的頂點.則滿足MN，。尸的是（）

答案BC

解析設正方體的棱長為2,

對于A,如圖⑴所示，連接AC,則MN〃AC,

在Rtz\OPC中，0C=也,CP=1,

故tan/POC,

故MN_LO尸不成立，故A錯誤.

對于B,如圖⑵所示，取AN的中點8,連接P8,OB,

貝I0P=712+曲2=/,PB=巾,OB=q^+22=4

所以。尸2+產序=。4，所以0P_LP2,XPB//MN,所以。尸_LMN.

對于C,如圖(3)所示，取A。的中點C,連接。C,PC,BD,因為P,C分別是。E,4D的

中點，所以CP_LB。，又。C_L平面AOEB,BDU平面

E

A

圖⑶

所以0C_L8。，又OCCCP=C,OC,CPU平面OCP,所以8D_L平面OCP,所以BD±OP,

又BD〃MN,所以OP_LMN.

對于D,如圖(4)所示，取AN的中點2,ME的中點尸，連接尸2,BF,OF,

若。尸_LMN,又。尸_L平面MENA,所以。尸_LMN,所以MN_L平面。網尸，

所以MN_LBF,顯然，MN與8尸不可能垂直，所以OP_LMN不成立.

7.已知△ABC在平面a內，/A=9(T,D4_L平面a,則直線CA與DB的位置關系是.

答案垂直

解析：D4J_平面a,CAU平面a,：.DA±CA,

在△A8C中，VZA=90°,：.AB±CA,

且。An&4=A,DA,84U平面。AB,

，CAJ_平面D4B,又DBU平面DAB,

：.CA±DB.

8.如圖，在三棱柱ABC-AiBCi中，已知AAi，平面ABC,BC=CCi，當底面AiRG滿足

條件時，有ABiLBG.(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的

情況)

答案AiGXBiCi

解析當底面ASG滿足條件4G，81cl時,

有ABi_LBCi.

理由如下：

：AAi_L平面ABC,BC=CCi,

???四邊形5CGS是正方形，ABCilBiC,

VCCi//AAl9AAiCilCCi，

又AiG_L_BiG,CC[(~lBiCi—Ci,

CC1,B1GU平面3CC1S,

，AiCi_L平面BCCiBi,

VACZ/AiQ,；.AC_L平面BCCM

BCC1B1,：.BCi±AC,

VACnBiC=C,AC,BiCU平面AC。，

.?.8G_L平面AC6,

.?.又ABU平面ACBi,

：.ABr±BCi.

9.如圖所示，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD=AB,ZBCD=45°,/BAO=90。.將△AB。

沿對角線BD折起，記折起后A的位置為點尸，且使平面平面BCD

求證：(1)CZ)_L平面P8。；

⑵平面PBC_L平面PDC.

證明(1)在四邊形ABCD中，AD=AB,ZBAD=90°,

則/ABD=ZADB^45°,

^AD//BC,即有/Z)BC=45。，

而/。C2=45。，于是得NB￡)C=90。，

在折后的幾何體尸一BCD中，BDA.DC,

因為平面尸8。_L平面BCD,平面PBOC平面8CO=8。，COu平面BCD,

所以CZ)_L平面PBD.

⑵由(1)知CD_L平面PBD,PBu平面PBD,

于是得CD±BP,

又BP1PD,PDCCD=D,PDc平面PDC,CDc平面PDC,

則BP_L平面PDC,又BPu平面PBC,

所以平面PBC_L平面PDC.

10.如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面48CD是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,側面

為等邊三角形.

p

⑴求證：ADLPB；

(2)若平面平面ABC。，點E為PB的中點，求三棱錐尸一ADE的體積.

⑴證明如圖，取的中點。，連接。8,OP,BD,

因為△%￡>為等邊三角形，。是的中點，所以。尸，A。，

因為底面42cD是菱形，/54。=60。，

所以△A3。是等邊三角形，

因為。尸。。8=。，OP,。8<=平面POB,

所以AO_L平面POB,

因為PBu平面POB,所以AO_LP8.

(2)解因為底面48C。是邊長為2的菱形，△出。為等邊三角形，

所以E4=PD=AD=2,PO=y[3,

底面ABC。的面積為2小,

因為平面以。，平面ABCD,平面B4OA平面ABCZ)=A。，PO±AD,

所以PO_L平面ABCD,

因為E為依的中點，

所以Vp-ADE=VB-ADE=3vp-ABD=:Vp-ABCD=；><gx^X2^3=1.

維技能提升練

11.(多選)(2022?廣州調研)如圖，在長方體ABC。一AJ31GO1中，AAi=AB=4,BC=2,M,

N分別為棱CiA，CCi的中點，貝U()

A.A,M,N,B四點共面

B.平面A￡)M_L平面CDdCi

C.直線BN與所成的角為60。

D.BN〃平面ADM

答案BC

解析如圖所示，對于A,直線AW,8N是異面直線，故A,M,N,8四點不共面，故A

錯誤；

對于B,在長方體ABC。一4B1GQ1中，可得AO_L平面CDAG,AOU平面

所以平面AZ)M_L平面CCOiG,故B正確；

對于C,取CD的中點O,連接8。，ON,則8m〃80,

所以直線與81M所成的角為/NBO或其補角.

易知△BON為等邊三角形，

所以NNBO=60。，故C正確；

對于D,因為〃平面A4QQ,顯然8N與平面ADM不平行，故D錯誤.

12.(多選X2022?玉溪模擬)如圖，四棱錐尸一ABC。的底面為矩形，PO_L底面ABC。，AD=1,

PO=A8=2,點E是尸8的中點，過A,D,E三點的平面a與平面P8C的交線為/,貝1()

A./〃平面加。

B.AE〃平面PCD

c.直線以與/所成角的余弦值為坐

3

D.平面a截四棱錐尸一ABC。所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為5

答案ACD

解析如圖，取PC的中點凡連接所，DF,

則4O〃EF,即A,D,E,尸四點共面，即/為EF,

對于A,EF//AD,

所以EF〃平面B4。，即/〃平面以￡),故A正確；

對于B,由￡F〃A。，若AE〃平面PCD,則必有AE〃。憶

即四邊形ADFE為平行四邊形，

則AO=EF,矛盾，故B錯誤；

對于C,B4與/所成的角，即出與EF所成的角，即出與所成的角,

由底面ABCD,所以PD±AD,

AF)A(5

cosZE4￡)=j^=s,故C正確；

對于D,連接5。，

114

=

VP-ABCD3矩形A3CD=]X2><2=],

VABCDEF=VA-BDE~\~VD-BCFE

_lx^5yA,1X3^2XJ__5

-3X2X小十3入4X/—6，

4_5

VP-ADFE363u——“

w=~-=不故D正確.

VABCDEF￡3

6

13.(2022?威海模擬)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形,SA_L平面ABCDf

P,。分別是線段3S,A0的中點，點H在線段SO上.若AS=4,AD=2,AR±PQf則AR

答案竽

解析如圖，取SA的中點E,連接PE,QE.

：S4_L平面ABC。，ABU平面ABC。，

：.SA±AB,

而A8_LA。，ADHSA=A,AD,SAU平面SAO,

平面SAD,故尸EJ_平面SAD,

又ARU平面SAD,

J.PELAR.

^：AR±PQ,PECPQ=P,PE,尸0U平面PEQ,

；.4R_L平面PEQ,

：EQU平面PE。，：.AR±EQ,

,：E,。分別為SA,AD的中點，

J.EQ//SD,則AR_LS。，

在Rt^ASD中，AS=4,AD=2,

可求得SO=2小，由等面積法可得4R=羋.

14.（2022.紹興模擬）如圖，在△ABC中，ADLBC,垂足為￡>,DE±AB,垂足為E現將△ABC

沿AD折起，使得若三棱錐A-BCO外接球的球心為。，半徑為1,則△。。￡面

積的最大值為.

姣安—

口木4

解析如圖所示，取AC的中點尸，0c的中點G,連接EF,DF,FG.

：.FG//AD,

；BCLBD,AGSOB,C,D的距離相等,

同理尸到A,C,D的距離相等，

'：AD±DC,AD1BD,BDUDC^D,BD,￡)CU平面BCD,

.?.AO_L平面BCD,

；.FG_L平面BC。，且FD=FB=FC=FA,

即為三棱錐A—BCD外接球的球心。，

平面BC。，：.AD±BC,

又8CJ_8O,AD^BD=D,

AD,BOU平面AB。，

；.BC_L平面AB。，C.BCLDE,

；DELAB,ABCBC=B,

AB,BCU平面ABC,

.,.Z)E_L平面ABC,

：.DE±EF,:.D*+EF2=DF2,

又DF=1,：.DE2+EF2^1,

DE2+EF21

?.DE'EFWQ=5，

當且僅當Z)E=EF時等號成立，

?*.SADEF=；DE-EFWX!=±,

'△DEF,即△">￡面積的最大值為由

展沖刺練

15.(多選)(2021?新高考全國I)在正三棱柱ABC—A向G中，AB=AAi=l,點尸滿足加=花2

+〃嬴其中7d[0,i],則()

A.當力=1時，△AB/的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐尸一4BC的體積為定值

C.當力=/時，有且僅有一個點尸，使得4PJ_BP

D.當〃時，有且僅有一個點尸，使得AS平面WP

答案BD

解析麗=4病+〃函(0W2W1,OW〃W1).

對于選項A,當%=1時，點P在棱CG上運動，如圖1所示，此時△A