期中考試模擬卷（11）一．單選題1．設復數（其中為虛數單位），則的虛部是A．1 B．0 C． D．2．如圖，邊長為1的正方形是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則平面圖形以為軸旋轉周所圍成的幾何體是A．一個圓柱 B．一個圓柱和一個同底面的圓錐的組合體 C．一個圓錐和一個同底面的圓柱（內部挖去一個同底等高的圓錐）的組合體 D．兩個同底的圓錐的組合體3．已知，滿足，，則等于A． B． C． D．4．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則角A． B． C． D．5．中國南北朝時期數學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數學家劉徽的有關工作，提出“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理．一個上底面邊長為1，下底面邊長為2高為的正六棱臺與一個不規則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規則幾何體的體積為A．16 B． C． D．216．已知平面單位向量，，滿足，設向量，向量，則A． B．2 C． D．7．已知的內角，，對的邊分別為，，，，當內角最大且時，的面積等于A． B． C． D．8．在中，，，，點為的外心，若，則A． B． C． D．二．多選題9．已知復數為虛數單位）在復平面內對應的點為，復數滿足，則下列結論正確的是A．點的坐標為 B． C．的最大值為 D．的最小值為10．已知中，，，是邊的中點，為所在平面內一點，若是邊長為2的等邊三角形，則的值可能是A． B． C． D．11．在中，角、、所對的邊的長分別為、、．下列命題中正確的是A．若，則一定是銳角三角形 B．若，則一定是直角三角形 C．若，則一定是鈍角三角形 D．若，則一定是銳角三角形12．在棱長為的正方體中，球同時與以為公共頂點的三個面相切，球同時與以為公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點，若球，的半徑分別為，，則A． B． C．這兩個球的體積之和的最大值是 D．這兩個球的表面積之和的最小值是三．填空題13．已知向量，，且，則．14．如圖所示為一個水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為，腰和上底長均為1的等腰梯形，則原平面圖形面積為．15．若正三棱錐的側棱與底面所成的角為，高為，則這個三棱錐外接球的表面積為．16．在中，，，的面積為，則中最大角的正切值．四．解答題17．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答在中，，，分別是角，，的對邊，已知_____，，且的面積，求的周長．18．在平行四邊形中，為的中點，．（1）設，，用，表示和；（2）求實數的值，使得與共線．19．如圖，正方體中，，分別為，的中點．（1）求證：，，，四點共面；（2）若，，與平面交于點，求證：，，三點共線．20．有一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為5、圓心角為的扇形，在這個圓錐中內接一個高為的圓柱．（1）求圓錐的體積；（2）當為何值時，圓柱的側面積最大？21．在中，角，，的對邊分別為，，，若．（1）求角的大小；（2）若，為外一點，，，求四邊形面積的最大值．22．設函數，，．（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；（2）設，解關于的不等式．期中考試模擬卷（11）答案1．解：因為，所以的虛部為0，故選：．2．解：由直觀圖畫出原圖，如下圖所示；因為，所以，所以平面圖形以為軸旋轉一周所圍成的幾何體為一個圓錐和一個圓柱（里面挖去一個圓錐）．故選：．3．解：因為，，所以，，則．故選：．4．解：因為，由正弦定理可得，由余弦定理的推論，可得，又，所以．故選：．5．解：由祖暅原理可知，該不規則幾何體的體積與正六棱臺的體積相等，正六棱臺的上下底面邊長分別為1和2，則，，故．故選：．6．解：，是單位向量，，又，，，，解得：，，故，的夾角是，又，，，，故，故選：．7．解：因為，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值，取得最大值，所以，的面積．故選：．8．解：，，，由余弦定理得，，因為，所以，因為點為的外心，，同理，解得，，則．故選：．9．解：．復數在復平面內對應的點為，故正確；．復數，所以復數，故正確；．．設，所以，所以，表示的是復數和在復平面內對應的點的距離，故的最大值為，最小值為，故正確，錯誤．故選：．10．解：如圖，若與在的同側時，則，如圖，若與在的異側時，則，故選：．11．解：因為，又中不可能有兩個鈍角，故，，，所以，，都為銳角，正確；因為，由正弦定理得，即，所以，即，因為，所以，所以一定是直角三角形，正確；因為，所以，整理得，因為，所以，即，一定是直角三角形，錯誤；因為，所以即，所以，所以，因為，故，即為直角，則一定是直角三角形，錯誤．故選：．12．解：由題意可得，，則，從而，故這兩個球的體積之和為：，因為，所以，即，當且僅當時等號成立；這兩個球的表面積之和，當且僅當時等號成立．故選：．13．解：因為，，所以，若，則，解得，故答案為：．14．解：水平放置的圖形為一個直角梯形，由題意可知，該直角梯形的上底為1，高為，下底為2，所以直觀圖的面積為，因為，所以原平面圖形的面積為．故答案為：．15．解：設垂直面于，則，，因為，所以，設球的半徑為，則，解得，所以球的表面積，故答案為：．16．解：因為，，的面積為，所以，可得：，又．所以，或．由，可得不可能為最大角，①若為最大角，則，可得．②若為最大角，則，由余弦定理可得：，解得．可得，解得，，所以．綜上可得：最大角的正切為：或．故答案為：或．17．解：①；所以，即，因為，所以，因為為三角形內角，，②；，所以，即，因為為三角形內角，，③；由正弦定理得；因為，所以，所以，因為為三角形內角，，而，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，故的周長．18．（1）解：，，（2）解：，與共線，存在使得，即，又不共線，，（此處也可由對應系數成比例直接得到）解得．19．證明：（1）連接，在正方體中，，分別為，的中點，是△的中位線，，又因為，四邊形為梯形，即，，，四點共面．（2）在正方體中，，，是平面與平面的交線，又因為交平面于點，是平面與平面的一個公共點．因為兩平面相交的所有公共點都在這兩個平面的交線上，，，三點共線．20．解：（1）圓錐側面展開圖的半徑為5，圓錐的母線長為5．設圓錐的底面半徑為，則，解得，圓錐的高為4．圓錐的體積；（2）設圓柱的底面半徑為，則，，圓柱的側面積為，當且僅當，即時，圓柱的側面積最大．21．解：（1）由正弦定理得，，，，即，，，，即，，．（2）在中，，，