金華十校2022-2023學年第一學期調研考試高二數學試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時間120分鐘．試卷總分為150分．請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．選擇題部分(共60分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為()A B. C. D.2.已知空間向量，，若與垂直，則n為()A.0 B.1 C.2 D.3.已知拋物線的焦點為F,過C上一點P作拋物線準線的垂線,垂足為Q,若是邊長為4的正三角形,則()A.1 B.2 C.3 D.44.圓，圓，則兩圓的公切線有()A.0條 B.1條 C.2條 D.3條5.桁架橋指的是以桁架作為上部結構主要承重構件的橋梁．桁架橋一般由主橋架、上下水平縱向聯結系、橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成．下面是某桁架橋模型的一段，它是由一個正方體和一個直三棱柱構成．其中，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為()A. B. C. D.6.小芳“雙”以分期付款的方式購買一臺標價元的筆記本電腦，購買當天付了元，以后的八個月，每月日小芳需向商家支付元分期款，并加付當月所有欠款產生的一個月的利息(月利率為)，若月算分期付款的首月，則第個月小芳需要給商家支付()A.550元 B.560元 C.570元 D.580元7.有以下三條軌跡：①已知圓，圓，動圓P與圓A內切，與圓B外切，動圓圓心P的運動軌跡記為；②已知點A，B分別是x，y軸上的動點，O是坐標原點，滿足，AB，AO的中點分別為M，N，MN的中點為P，點P的運動軌跡記為；③已知，點P滿足PA，PB的斜率之積為，點P的運動軌跡記為．設曲線的離心率分別是，則()A. B. C. D.8.已知數列是各項為正數的等比數列，公比為q，在之間插入1個數，使這3個數成等差數列，記公差為，在之間插入2個數，使這4個數成等差數列，公差為，在之間插入n個數，使這個數成等差數列，公差為，則()A.當時，數列單調遞減 B.當時，數列單調遞增C.當時，數列單調遞減 D.當時，數列單調遞增二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知雙曲線，則()A.漸近線方程為 B.焦點坐標是 C.離心率為 D.實軸長為410.自然界中存在一個神奇數列，比如植物一年生長新枝的數目，某些花朵的花數，具有1，1，2，3，5，8，13，21……，這樣的規律，從第三項開始每一項都是前兩項的和，這個數列稱為斐波那爽數列．設數列為斐波那契數列，則有，以下是等差數列的為()A. B. C. D.11.已知平行六面體的所有棱長都為1，，設．()A.若，則直線平面B.若，則平面平面C.若，則直線平面D.若，則平面平面ABCD12.已知橢圓的左右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，設，，，，已知成等差數列，公差為d，則()A.成等差數列 B.若，則 C. D.非選擇題部分(共90分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線，直線，則之間的距離是___________．14數列滿足，，則___________．15.老張家的庭院形狀如圖，中間部分是矩形ABCD，(單位：m)，一邊是以CD為直徑的半圓，另外一邊是以AB為長軸的半個橢圓，且橢圓的一個頂點M到AB的距離是，要在庭院里種兩棵樹，想讓兩棵樹距離盡量遠，請你幫老張計算一下，這個庭院里相距最遠的兩點間距離是___________m．16.如圖，已知平行四邊形，，，，、分別是、的中點．現將四邊形沿著直線向上翻折，則在翻折過程中，當點到直線的距離為時，二面角的余弦值為____________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數列，正項等比數列，其中的前n項和記為，滿足，，．(1)求數列，通項公式；(2)若，求數列的前n項和．18.圓經過點與直線相切，圓心的橫、縱坐標滿足．(1)求圓的標準方程；(2)直線交圓于A，B兩點，當時，求直線l的方程．19.已知直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于兩點．(1)若的傾斜角為，求；(2)若在拋物線上有且僅有一點(異于)，使得，求直線l的方程和相應點的坐標．20.在四棱錐中，，PD與平面所成角的大小為，點Q為線段上一點．(1)若平面，求的值；(2)若四面體的體積為，求直線與平面所成角的大小．21.已知數列的前n項和為，且，，成等比數列．(1)若為等差數列，求；(2)令，是否存在正整數k，使得是與的等比中項？若存n+2在，求出所有滿足條件的和k，若不存在，請說明理由．22.已知雙曲線，斜率為1的直線過雙曲線C上一點交該曲線于另一點B，且線段中點的橫坐標為．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點為雙曲線C上一點且位于第一象限，過M作兩條直線，且直線均與圓相切．設與雙曲線C另一個交點為P，與雙曲線C的另一個交點為Q，則當時，求點M的坐標． 金華十校2022-2023學年第一學期調研考試高二數學試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時間120分鐘．試卷總分為150分．請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．選擇題部分(共60分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角．【詳解】∵直線x+y﹣20的斜率k，設傾斜角為，則tan=∴直線x+y﹣2=0傾斜角為．故選C．【點睛】本題考查直線的傾斜角的求法，熟記斜率與傾斜角的關系是關鍵，是基礎題2.已知空間向量，，若與垂直，則n為()A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據向量垂直得出數量積零，即可列式解出答案.【詳解】與垂直，，解得，故選：A.3.已知拋物線的焦點為F,過C上一點P作拋物線準線的垂線,垂足為Q,若是邊長為4的正三角形,則()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據是邊長為4的正三角形及拋物線定義求出點橫坐標,進而求得點坐標,即可求得點坐標,根據,用兩點間的距離公式代入計算即可.【詳解】由題知,因為是邊長為4的正三角形,所以,根據拋物線定義可知,即,所以,故,所以,所以,解得:.故選:B4.圓，圓，則兩圓的公切線有()A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】B【解析】【分析】由圓心距與半徑的關系判斷兩圓位置關系，后可得答案.【詳解】圓，圓心為，半徑.圓，圓心為，半徑.注意到圓心距，則兩圓相內切，故公切線條數為1.故選：B5.桁架橋指的是以桁架作為上部結構主要承重構件的橋梁．桁架橋一般由主橋架、上下水平縱向聯結系、橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成．下面是某桁架橋模型的一段，它是由一個正方體和一個直三棱柱構成．其中，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【詳解】以E為坐標原點，EB，ED，EI所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，設直線AH與直線IG所成角為，則，故直線AH與直線IG所成角的余弦值為.故選：D6.小芳“雙”以分期付款的方式購買一臺標價元的筆記本電腦，購買當天付了元，以后的八個月，每月日小芳需向商家支付元分期款，并加付當月所有欠款產生的一個月的利息(月利率為)，若月算分期付款的首月，則第個月小芳需要給商家支付()A.550元 B.560元 C.570元 D.580元【答案】B【解析】【分析】準確理解題意，代入數據計算即可.【詳解】第3個月小芳需要給商家支付元.故選：B.7.有以下三條軌跡：①已知圓，圓，動圓P與圓A內切，與圓B外切，動圓圓心P的運動軌跡記為；②已知點A，B分別是x，y軸上的動點，O是坐標原點，滿足，AB，AO的中點分別為M，N，MN的中點為P，點P的運動軌跡記為；③已知，點P滿足PA，PB的斜率之積為，點P的運動軌跡記為．設曲線的離心率分別是，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，分別求出三個曲線方程，并求出對應的離心率即可求解.【詳解】①，設動圓圓心，半徑為，由題意可知：圓的圓心坐標，半徑；圓的圓心坐標，半徑；由條件可知：，，所以，所以點的軌跡方程為：，則；②設，，則，由中點坐標公式可得：，，所以的中點，因為，所以點的坐標滿足，也即：，所以；③設點，由題意可知：，整理化簡可得：，所以，則，所以，故選：.8.已知數列是各項為正數的等比數列，公比為q，在之間插入1個數，使這3個數成等差數列，記公差為，在之間插入2個數，使這4個數成等差數列，公差為，在之間插入n個數，使這個數成等差數列，公差為，則()A.當時，數列單調遞減 B.當時，數列單調遞增C.當時，數列單調遞減 D.當時，數列單調遞增【答案】D【解析】【分析】根據數列的定義，求出通項，由通項討論數列的單調性.【詳解】數列是各項為正數的等比數列，則公比為，由題意，得，時，，有，，數列單調遞增，A選項錯誤；時，，，若數列單調遞增，則，即，由，需要，故B選項錯誤；時，，解得，時，，由，若數列單調遞減，則，即，而不能滿足恒成立，C選項錯誤；時，，解得或，由AB選項的解析可知，數列單調遞增，D選項正確.故選：D【點睛】思路點睛：此題的入手點在于求數列的通項，根據的定義求得通項，再討論單調性.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知雙曲線，則()A.漸近線方程為 B.焦點坐標是 C.離心率為 D.實軸長為4【答案】ABD【解析】【分析】由雙曲線方程求雙曲線，焦點坐標，離心率，實軸長.【詳解】由雙曲線方程為：，焦點在軸，所以，所以漸近線方程為，故A正確，焦點坐標為，故B正確，離心率為：，故C錯誤，實軸長為：，故D正確，故選：ABD.10.自然界中存在一個神奇的數列，比如植物一年生長新枝的數目，某些花朵的花數，具有1，1，2，3，5，8，13，21……，這樣的規律，從第三項開始每一項都是前兩項的和，這個數列稱為斐波那爽數列．設數列為斐波那契數列，則有，以下是等差數列的為()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用定義構造等差中項來驗證所給選項成等差數列.詳解】由題意：，①所以，②②①得：，所以數列或數列成等差數列，令，則成等差數列，故B正確，A錯誤，由，所以，所以成等差數列，令，則成等差數列，故D正確，C錯誤.故選：BD.11.已知平行六面體的所有棱長都為1，，設．()A.若，則直線平面B.若，則平面平面C.若，則直線平面D.若，則平面平面ABCD【答案】BC【解析】【分析】根據空間向量數量積的運算和空間中線面垂直，面面垂直的判定逐項檢驗即可求解.【詳解】對于，若，，所以與不垂直，又因為平面，所以直線與平面不垂直，故選項錯誤；對于，若，則，又因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，故選項正確；對于，若，因為，所以，又因為，所以，因為，平面，所以直線平面，故選項正確；對于，如圖：連接，取的中點，連接.若，由題意可知：，根據題意可知：，則即為平面與平面所成的二面角的平面角或其補角，由題意可知：，在中，由余弦定理可得：，所以平面與平面所成的二面角的平面角不是直角，所以平面與平面不垂直，故選項錯誤.故選：.12.已知橢圓的左右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，設，，，，已知成等差數列，公差為d，則()A.成等差數列 B.若，則 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】A選項，由橢圓定義及成等差數列，得到，，，，故，A正確；B選項，在A選項基礎上得到，，，設出直線的方程，與橢圓方程聯立，得到兩根之和，兩根之積，由得到，由弦長公式得到，聯立得到；C選項，由焦半徑公式推導出，C正確；D選項，在的基礎上，得到，D錯誤.【詳解】A選項，由橢圓定義可知：，又成等差數列，故，則，則，則，，又，故，故A正確；B選項，若，此時，，故，且，設，因為直線斜率一定不為0，設直線為，與聯立得：，即則，因為，所以，聯立解得，故由弦長公式可得：，所以，平方得：，其中，故，解得：，即，由可得：，整理得：，即，故，解得：或，因為，所以舍去，故，B正確；C選項，設橢圓上一點，其中橢圓左右焦點分別為，下面證明，，過點M作MA⊥橢圓的左準線于點A，作MB⊥橢圓右準線于點B，則有橢圓的第二定義可知：，其中，則，，故，故，，故，所以，C正確；D選項，設直線為，由得：，故，D錯誤.故選：ABC【點睛】橢圓焦半徑公式：(1)橢圓上一點，其中橢圓左右焦點分別為，則，，(2)橢圓上一點，其中橢圓下上焦點分別為，則，，記憶口訣：左加右減，下加上減.非選擇題部分(共90分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線，直線，則之間距離是___________．【答案】##【解析】【分析】根據兩平行線間的距離公式即可求解.【詳解】由平行線間的距離公式可得：之間的距離是，故答案為：.14.數列滿足，，則___________．【答案】【解析】【分析】累加法以及等差數列求和公式求數列的通項公式.【詳解】因為，所以，，，，，累加得：故答案為：.15.老張家的庭院形狀如圖，中間部分是矩形ABCD，(單位：m)，一邊是以CD為直徑的半圓，另外一邊是以AB為長軸的半個橢圓，且橢圓的一個頂點M到AB的距離是，要在庭院里種兩棵樹，想讓兩棵樹距離盡量遠，請你幫老張計算一下，這個庭院里相距最遠的兩點間距離是___________m．【答案】##【解析】【分析】根據題意建立平面直角坐標系，求出橢圓上的點到圓心距離的最大值，再加上半徑即可求得結果.【詳解】根據題意可得，以的中點為坐標原點，所在直線和的垂直平分線分別為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則半圓圓心為，半徑；由橢圓長軸可得，易知，所以橢圓方程為；根據題意可得當點到圓心的距離最大時，的連線交半圓于，此時距離最大；設，則,易知，當時，取最大值28，所以，則.故答案為：16.如圖，已知平行四邊形，，，，、分別是、的中點．現將四邊形沿著直線向上翻折，則在翻折過程中，當點到直線的距離為時，二面角的余弦值為____________．【答案】【解析】【分析】連接、，取的中點，連接、，推導出平面，可知，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且與平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法結合點到直線的距離公式可求得的值，即為所求.【詳解】連接、，取的中點，連接、，易知，且，則四邊形為菱形，易知，則四邊形為等邊三角形，所以，，同理可知，所以，二面角的平面角為，因為，、平面，所以，平面，且，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且與平面的垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，所以點到直線的距離為，解得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數列，正項等比數列，其中的前n項和記為，滿足，，．(1)求數列，的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)根據數列類型和基本量關系的運算即可求得通項公式；(2)利用錯位相減法即可求得結果.【小問1詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為；利用基本量運算有，因為為正項數列，可得，所以；即數列的通項公式為數列通項公式為小問2詳解】由(1)可得，所以①②得：即數列的前n項和18.圓經過點與直線相切，圓心的橫、縱坐標滿足．(1)求圓的標準方程；(2)直線交圓于A，B兩點，當時，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)待定系數法求圓的方程.(2)直線與圓相交，求出弦長建立等式關系，求得，進而求得直線方程.【小問1詳解】設圓心坐標為，有．得或(舍)，所以．【小問2詳解】直線截圓所得弦長，而圓半徑，因此圓心到直線距離為所以，得．從而直線l的方程．19.已知直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于兩點．(1)若的傾斜角為，求；(2)若在拋物線上有且僅有一點(異于)，使得，求直線l的方程和相應點的坐標．【答案】(1)(2)直線方程為相應的點或直線方程為相應的點【解析】【分析】(1)根據條件求出直線方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理可求得弦長.(2)設直線與拋物線聯立，韋達定理得兩點坐標關系，，，化簡可得，有且只有一個解，判別式為，可求得結果.【小問1詳解】因為直線過焦點且傾斜角為，故方程為，與聯立消去y，得，設點，由韋達定理得，所以．【小問2詳解】設直線方程為，聯立方程組，消去得，所以設點直線的斜率分別為，由得，因為，同理所以，化簡得即，由已知方程只有一個解，故判別式所以直線方程為相應的點或直線方程為相應的點20.在四棱錐中，，PD與平面所成角的大小為，點Q為線段上一點．(1)若平面，求的值；(2)若四面體的體積為，求直線與平面所成角的大小．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)過點Q作交于E，連接．證明四邊形是平行四邊形，即可求得的值；(2)過P作交的延長線于O，證明平面．從而建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求出平面的法向量，利用空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】過點Q作交于E，連接．，四邊形是平面四邊形又平面平面，平面PAD，平面，，四邊形是平行四邊形，，而,于是．【小問2詳解】過P作交的延長線于O，,而；又與平面所成角的大小為，則P到平面的距離為，即的長為P到平面的距離，平面．以O為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系．，設四面體的高為h，由于，所以,即,所以．于是，，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，又，設直線與平面所成角為，，則，，所以直線與平面所成角的大小為．21.已知數列的前n項和為，且，，成等比數列．(1)若為等差數列，求；(2)令，是否存在正整數k，使得是與的等比中項？若存n+2在，求出所有滿足條件的和k，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；或【解析】【分析】(1)方法一：利用已知條件求出數列的通項公式，然后根據數列為等差數列求解即可，方法