北京市西城區第十四中2024屆高三下學期第五次調研考試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．2．為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區域為不平等區域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數.對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設勞倫茨曲線對應的函數為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④3．已知集合，則=A． B． C． D．4．五行學說是華夏民族創造的哲學思想，是華夏文明重要組成部分.古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系.若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為（）A． B． C． D．5．已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（）A．若∥，b∥，則∥ B．若，，則∥C．若∥，，則 D．若，b∥，則6．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設、為兩個同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位8．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．若點是角的終邊上一點，則（）A． B． C． D．10．已知函數且的圖象恒過定點，則函數圖象以點為對稱中心的充要條件是()A． B．C． D．11．如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點O的位置有關12．復數滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為______.14．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_______．15．設是定義在上的函數，且，對任意，若經過點的一次函數與軸的交點為，且互不相等，則稱為關于函數的平均數，記為.當_________時，為的幾何平均數.（只需寫出一個符合要求的函數即可）16．若向量與向量垂直，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在中，角、、的對邊分別為，，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.18．（12分）已知函數，其中，．（1）當時，求的值；（2）當的最小正周期為時，求在上的值域．19．（12分）每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經濟”，以交通業為例，當天氣太冷時，不少人都會選擇利用手機上的打車軟件在網上預約出租車出行,出租車公司的訂單數就會增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數據中抽取的5天的日平均氣溫(單位：℃)與網上預約出租車訂單數(單位：份)；日平均氣溫（℃）642網上預約訂單數100135150185210（1）經數據分析，一天內平均氣溫與該出租車公司網約訂單數（份）成線性相關關系，試建立關于的回歸方程，并預測日平均氣溫為時,該出租車公司的網約訂單數；（2）天氣預報未來5天有3天日平均氣溫不高于，若把這5天的預測數據當成真實的數據，根據表格數據，則從這5天中任意選取2天，求恰有1天網約訂單數不低于210份的概率.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：20．（12分）已知函數（1）已知直線：，：.若直線與關于對稱，又函數在處的切線與垂直，求實數的值；（2）若函數，則當，時，求證：①；②.21．（12分）設函數.（1）若，時，在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當時，．22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側棱上一點，已知.（Ⅰ）證明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據傾斜角可得漸近線斜率，由此構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據雙曲線漸近線傾斜角求解參數值的問題，關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.2、A【解析】

對于①，根據基尼系數公式，可得基尼系數越小，不平等區域的面積越小，國民分配越公平，所以①正確.對于②，根據勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯誤.對于③，因為，所以，所以③錯誤.對于④，因為，所以，所以④正確.故選A．3、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數學運算素養．采取數軸法，利用數形結合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領會交集的含義易致誤，區分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．4、A【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結果共10種，其中2類元素相生的結果有5種，再根據古典概型概率公式可得結果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結果，其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結果，所以2類元素相生的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發生.5、C【解析】

根據線面的位置關系，結合線面平行的判定定理、平行線的性質進行判斷即可.【詳解】A：當時，也可以滿足∥，b∥，故本命題不正確；B：當時，也可以滿足，，故本命題不正確；C：根據平行線的性質可知：當∥，，時，能得到，故本命題是正確的；D：當時，也可以滿足，b∥，故本命題不正確.故選：C【點睛】本題考查了線面的位置關系，考查了平行線的性質，考查了推理論證能力.6、A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個正放的正四面體，一個倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學生的邏輯推理能力.7、D【解析】

直接根據三角函數的圖象平移規則得出正確的結論即可；【詳解】解：函數，要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個單位．故選：D．【點睛】本題考查三角函數圖象平移的應用問題，屬于基礎題．8、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若，則，故或，當時，直線，直線，此時兩條直線平行；當時，直線，直線，此時兩條直線平行.所以當時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據系數關系來考慮，后者依據兩個條件之間的推出關系，本題屬于中檔題.9、A【解析】

根據三角函數的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據三角函數的定義，可得，則，故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據三角函數的定義和正弦的倍角公式，準確化簡、計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、A【解析】

由題可得出的坐標為，再利用點對稱的性質，即可求出和.【詳解】根據題意，，所以點的坐標為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查指數函數過定點問題和函數對稱性的應用，屬于基礎題.11、B【解析】

根據三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵，屬于基礎題.12、C【解析】

利用復數模與除法運算即可得到結果.【詳解】解:，故選：C【點睛】本題考查復數除法運算，考查復數的模，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數據求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應關系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征，可以根據條件構建幾何模型，在幾何模型中進行判斷.14、【解析】

根據題意，由雙曲線的漸近線方程可得，即a＝2b，進而由雙曲線的幾何性質可得cb，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．【詳解】根據題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，即yx，則有，即a＝2b，則cb，則該雙曲線的離心率e；故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是分析a、b之間的關系，屬于基礎題．15、【解析】

由定義可知三點共線，即，通過整理可得，繼而可求出正確答案.【詳解】解：根據題意，由定義可知：三點共線.故可得：，即，整理得：，故可以選擇等.故答案為:.【點睛】本題考查了兩點的斜率公式，考查了推理能力，考查了運算能力.本題關鍵是分析出三點共線.16、0【解析】

直接根據向量垂直計算得到答案.【詳解】向量與向量垂直，則，故.故答案為：.【點睛】本題考查了根據向量垂直求參數，意在考查學生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）7（2）14【解析】

（1）在中，，可得，結合正弦定理，即可求得答案；（2）根據余弦定理和三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）在中，，，，，，.（2），，，解得，.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解題關鍵是掌握正弦定理邊化角，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）根據，得到函數，然后，直接求解的值；（2）首先，化簡函數，然后，結合周期公式，得到，再結合，及正弦函數的性質解答即可．【詳解】（1）因為，所以（2）因為即因為，所以所以因為所以所以當時，．當時，（最大值）當時，在是增函數，在是減函數．的值域是．【點睛】本題主要考查了簡單角的三角函數值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數的圖象與性質等知識，考查了運算求解能力，屬于中檔題．19、（1），232；（2）【解析】

(1)根據公式代入求解；(2)先列出基本事件空間，再列出要求的事件，最后求概率即可.【詳解】解：（1）由表格可求出代入公式求出，所以，所以當時，.所以可預測日平均氣溫為時該出租車公司的網約訂單數約為232份.（2）記這5天中氣溫不高于的三天分別為，另外兩天分別記為，則在這5天中任意選取2天有，共10個基本事件，其中恰有1天網約訂單數不低于210份的有，共6個基本事件，所以所求概率，即恰有1天網約訂單數不低于20份的概率為.【點睛】考查線性回歸系數的求法以及古典概型求概率的方法，中檔題.20、（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】

（1）首先根據直線關于直線對稱的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據函數在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構造函數，利用的導函數證得當時，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構造函數法證得，由此得到，即，化簡后得到.【詳解】（1）由解得必過與的交點.在上取點，易得點關于對稱的點為，即為直線，所以的方程為，即，其斜率為.又因為，所以，，由題意，解得.（2）因為，所以.①令，則，則，且，，時，，單調遞減；時，，單調遞增.因為，所以，因為，所以存在，使時，，單調遞增；時，，單調遞減；時，，單調遞增.又，所以時，，即，所以，即成立.②由①知成立，即有成立.令，即.所以時，，單調遞增；時，，單調遞減，所以，即，因為，所以，所以時，，即時，.【點睛】本小題考查函數圖象的對稱性，利用導數求切線的斜率，利用導數證明不等式等基礎知識；考查學生分析問題，解決問