蘇教版高中數學必修第二冊知識點總結第9章平面向量 -2-9.1向量概念 -2-9.2向量運算 -6-9.3向量基本定理及坐標表示 -20-9.4向量應用 -30-第10章三角恒等變換 -33-10.1兩角和與差的三角函數 -33-10.2二倍角的三角函數 -43-10.3幾個三角恒等式 -47-第11章解三角形 -52-11.1余弦定理 -52-11.2正弦定理 -55-11.3余弦定理、正弦定理的應用 -63-第12章復數 -68-12.1復數的概念 -68-12.2復數的運算 -72-12.3復數的幾何意義 -78-12.4復數的三角形式* -81-第13章立體幾何初步 -86-13.1基本立體圖形 -86-13.2基本圖形位置關系 -96-13.3空間圖形的表面積和體積 -123-第14章統計 -130-14.1獲取數據的基本途徑及相關概念 -130-14.2抽樣 -132-14.3統計圖表 -140-14.4用樣本估計總體 -148-第15章概率 -160-15.1隨機事件和樣本空間 -160-15.2隨機事件的概率 -163-15.3互斥事件和獨立事件 -168-第9章平面向量9.1向量概念知識點1向量的定義及表示定義既有大小又有方向的量叫作向量表示方法(1)幾何表示：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，以A為起點、B為終點的向量記為eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)字母表示：用小寫字母a，b，c來表示模向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小稱為向量的長度(或稱為模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|1．定義中的“大小”與“方向”分別描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一個方面可以嗎？[提示]向量不僅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代數特征，方向描述了向量的幾何特征，兩者缺一不可，故不能只描述其中一個方面．知識點2向量的有關概念及其表示名稱定義表示方法零向量長度為0的向量記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量平行向量方向相同或相反的非零向量a與b平行(或共線)，記作a∥b相等向量長度相等且方向相同的向量a與b相等，記作a＝b相反向量長度相等且方向相反的向量a的相反向量記作－a2．(1)零向量的方向是如何規定的？零向量與任一向量共線嗎？(2)已知A，B為平面上不同兩點，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))和向量eq\o(BA,\s\up6(→))相等嗎？它們共線嗎？(3)向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？[提示](1)零向量的方向是任意的；規定零向量與任一向量共線．(2)因為向量eq\o(AB,\s\up6(→))和向量eq\o(BA,\s\up6(→))方向不同，所以二者不相等．又表示它們的有向線段在同一直線上，所以兩向量共線．(3)不相同，由相等向量定義可知，向量可以任意移動．由于任意一組平行向量都可以移動到同一直線上，所以平行向量也叫作共線向量．因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合．重點題型類型1向量的概念【例1】判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)任何兩個單位向量都是平行向量；(2)零向量的方向是任意的；(3)在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，則向量eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))是平行向量；(4)對于向量a、b、c，若a∥b，且b∥c，則a∥c；(5)若非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是平行向量，則直線AB與直線CD平行；(6)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是模相等的平行向量．[解](1)錯誤．因為兩個單位向量只是模都等于1個單位，方向不一定相同或相反；(2)正確．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；(3)正確．由三角形中位線性質知，DE∥BC，向量eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))方向相反，是平行向量；(4)錯誤．b為零向量時，有a∥b且b∥c，但a與c的方向可以任意變化，它們不一定是平行向量；(5)錯誤．A、B、C、D四點也可能在同一條直線上；(6)正確．非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的模相等，方向相反，二者是平行向量．1．在判斷與向量有關的命題時，既要立足向量的數(即模的大小)，又要考慮其形(即方向性)．2．涉及共線向量或平行向量的問題，一定要明確所給向量是否為非零向量．3．對于判斷命題的正誤，應該熟記有關概念，理解各命題，逐一進行判斷，對于錯誤命題，只要舉一反例即可．提醒：與向量平行相關的問題中，不要忽視零向量．類型2向量的表示【例2】一輛汽車從A點出發，向西行駛了100千米到達點B，然后又改變方向向西偏北50°行駛了200千米到達點C，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達點D．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|．依據向量的幾何特征和代數特征，分別作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))；進而求出|eq\o(AD,\s\up6(→))|.[解](1)如圖．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，即AB∥CD．又∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四邊形ABCD中，ABeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200(千米)．用有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最后依據向量模的大小確定向量的終點.必要時，需依據直角三角形知識，求出向量的方向或長度模，選擇合適的比例關系作出向量.類型3共線向量【例3】(對接教材P6例2)如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個交點，從中選取兩個交點作為向量，則與eq\o(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq\r(2)的向量個數有______個．8[如圖所示，滿足與eq\o(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq\r(2)的向量有eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HG,\s\up6(→))，eq\o(IJ,\s\up6(→))，eq\o(JI,\s\up6(→))共8個．]1．(變條件)在本例中，與向量eq\o(AC,\s\up6(→))同向且長度為2eq\r(2)的向量有多少個？[解]與向量eq\o(AC,\s\up6(→))同向且長度為2eq\r(2)的向量占與向量eq\o(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq\r(2)的向量中的一半，共4個．2．(變條件)在本例中，與向量eq\o(AO,\s\up6(→))相等的向量有多少個？[解]題圖中每個小正方形的對角線所在的向量中，與向量eq\o(AO,\s\up6(→))方向相同的向量與其相等，共有8個．1．尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線．2．尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．9.2向量運算9.2.1向量的加減法第1課時向量的加法知識點1向量的加法(1)向量加法的定義求兩個向量和的運算叫作向量的加法．(2)向量加法的運算法則①三角形法則：如圖，已知向量a和b，在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))叫作a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))．這個法則稱為向量加法的三角形法則．②平行四邊形法則：如圖，已知兩個不共線的非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，以OA，OC為鄰邊作?OABC，則以O為起點的對角線表示的向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，這個法則叫作向量加法的平行四邊形法則．向量的三角形法則和平行四邊形法則是否對任意兩個向量的加法都適用？[提示]向量的三角形法則對任意兩個向量的加法都可以適用；向量的平行四邊形法則僅適用兩個不共線的非零向量．知識點2向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a．(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(3)a＋0＝0＋a＝a．(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．重點題型類型1向量加法的三角形法則和平行四邊形法則【例1】如圖，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．[解]法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即為a＋b＋c(用到向量加法運算律)．如圖①，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋c，然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c為所求．法二：三個向量不共線，用平行四邊形法則來作．如圖②，(1)在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b；(2)作平行四邊形AOBC，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b；(3)再作向量eq\o(OD,\s\up6(→))＝c；(4)作?CODE，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋c＝a＋b＋c．則eq\o(OE,\s\up6(→))即為所求．向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別和聯系：區別：1三角形法則中強調“首尾相接”，平行四邊形法則中強調的是“共起點”；2三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和.聯系：1當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統一的；2三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.類型2向量的加法運算【例2】(1)在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝________，eq\o(AD,\s\up6(→))＝________，eq\o(AE,\s\up6(→))＝________．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝________．(1)2a＋b2a＋2ba＋2b(2)0[(1)如圖，連接FC交AD于點O，連接OB，由平面幾何知識得四邊形ABOF，四邊形ABCO均為平行四邊形．根據向量的平行四邊形法則，有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋b．在平行四邊形ABCO中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋a＋b＝2a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))＝2a＋2b．而eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋b，由三角形法則得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝b＋a＋b＝a＋2b．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0．]1．解決該類題目要靈活應用向量加法運算，注意各向量的起點、終點及向量起點、終點字母排列順序，特別注意勿將0寫成0．2．運用向量加法求和時，在圖中表示“首尾相接”時，其和向量是從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點．類型3向量加法在實際問題中的應用【例3】(對接教材P11例2)已知小船在靜水中的速度與河水的流速都是10km/h．(1)小船在河水中行駛的實際速度的最大值與最小值分別是多少？(2)如果小船在河南岸M處，對岸北偏東30°有一碼頭N，小船的航向如何確定才能直線到達對岸碼頭？(河水自西向東流)結合實際問題畫出草圖，借助三角形的邊角關系求解.[解](1)小船順流行駛時實際速度最大，最大值為20km/h；小船逆流行駛時實際速度最小，最小值為0km/h，此時小船是靜止的．(2)如圖所示，設eq\o(MA,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(MN,\s\up6(→))表示小船實際過河的速度．設MC⊥MA，|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝10，∠CMN＝30°．∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，∴四邊形MANB為菱形．則∠AMN＝60°，∴△AMN為等邊三角形．在△MNB中，|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，所以小船要由M直達碼頭N，其航向應為北偏西30°．解決與向量有關的實際應用題，應本著如下步驟：弄清實際問題→轉化為數學問題→正確畫出示意圖→用向量表示實際量→向量運算→回扣實際問題→作出解答.第2課時向量的減法知識點向量的減法(1)向量減法的定義若b＋x＝a，則向量x叫作a與b的差，記為a－b，求兩個向量差的運算，叫作向量的減法．(2)向量的減法法則如圖所示，以O為起點，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，即當向量a，b起點相同時，從b的終點指向a的終點的向量就是a－b．向量的加法三角形法則和減法三角形法則有什么不同？類比實數的減法，a－b＝a＋(－b)是否一定恒成立？[提示]向量的加法三角形法則對任意兩個向量首尾相接，第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量就是它們的和向量；向量的減法三角形法則，對任意兩個向量同起點，由減向量的終點指向被減向量的終點的向量就是它們的差向量；類比實數的減法，a－b＝a＋(－b)一定恒成立．重點題型類型1向量減法的幾何作圖【例1】(對接教材P12例3)如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．[解]法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．如圖①所示，以A為起點分別作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以C為起點作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→))．則向量eq\o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－c．法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如圖②．(1)作eq\o(AB,\s\up6(→))＝－b和eq\o(BC,\s\up6(→))＝－c；(2)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b－c．求作兩個向量的差向量時，當兩個向量有共同起點，直接連接兩個向量的終點，并指向被減向量，就得到兩個向量的差向量；若兩個向量的起點不重合，先通過平移使它們的起點重合時，再作出差向量.類型2向量減法法則的應用【例2】(1)化簡下列式子：①eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))；②(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．(2)如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))．[解](1)①原式＝eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))－(eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→)))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NP,\s\up6(→))＝0．②(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．(2)因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c．(1)向量減法的三角形法則的內容是：兩向量相減，表示兩向量起點的字母必須相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點字母為起點，以被減向量的終點字母為終點．(2)用幾個基本向量表示其他向量的技巧①觀察待表示的向量位置；②尋找相應的平行四邊形或三角形；③運用法則找關系，化簡得結果．類型3|a－b|與a，b之間的關系【例3】已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|．結合向量加、減的運算法則，你能發現向量a，b間存在怎樣的位置關系？如何借助該關系求得|a－b|.[解]如圖，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，以AB，AD為鄰邊作?ABCD．則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，因為|a＋b|＝|a－b|，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|．又四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形．故AD⊥AB．在Rt△DAB中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝8，由勾股定理得|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AD,\s\up6(→))|2)＝eq\r(62＋82)＝10，所以|a－b|＝10．1．以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則兩條對角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，這一結論在以后應用非常廣泛，應該加強理解并記住．2．若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊的平行四邊形是矩形．9.2.2向量的數乘知識點1向量的數乘定義一般地，實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)若a≠0，則當λ＞0時，λa與a方向相同；當λ＜0時，λa與a方向相反．實數λ與向量a相乘的運算，叫作向量的數乘．特別地，當λ＝0時，0a＝0；當a＝0時，λ0＝0．向量的數乘λa的幾何意義：當λ＞0時，把向量a沿著a的相同方向放大或縮小；當λ＜0時，把向量a沿著a的相反方向放大或縮小．1．λa＝0，一定能得到λ＝0嗎？[提示]不一定．λa＝0，則λ＝0或a＝0．知識點2向量數乘的運算律設a，b為向量，λ，μ為實數，則(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．向量的加法、減法和數乘統稱為向量的線性運算．知識點3向量共線定理一般地，對于兩個向量a(a≠0)，b，設a為非零向量，如果有一個實數λ，使b＝λa，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數λ，使b＝λa．2．向量共線定理中，為什么規定a≠0．[提示]當a＝0時，顯然b與a共線，此時若b＝0，則存在無數實數λ，使b＝λa；若b≠0，則不存在實數λ使得b＝λa．重點題型類型1向量數乘的基本運算【例1】計算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(7,6)a))))；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．[解](1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b．(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\f(2,3)a－b))－eq\f(7,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)b＋\f(1,2)a))＝eq\f(3,2)a＋b－eq\f(1,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(7,12)a－eq\f(1,2)b－eq\f(7,12)a＝0．(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b．向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數.向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知量，利用解代數方程的方法求解.類型2向量的共線問題【例2】已知非零向量e1，e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求證：A，B，D三點共線．(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數k的值．1欲證A，B，D三點共線，能否證明eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))或eq\o(BD,\s\up6(→))共線？2若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則兩向量間存在怎樣的等量關系？[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，且有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在實數λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，只能有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))∴k＝±1．1．證明三點共線，通常轉化為證明這三點構成的其中兩個向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據．2．若A，B，C三點共線，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))在同一直線上，因此必定存在實數，使得其中兩個向量之間存在線性關系．而向量共線定理是實現線性關系的依據．類型3向量的表示【例3】如圖所示，已知△OAB中，點C是以A為對稱中心的B點的對稱點，D是把eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個內分點，DC和OA交于E，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b．(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實數λ的值．[解](1)依題意，A是BC中點，∴2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b．(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b．∵eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))共線，∴存在實數k，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(DC,\s\up6(→))，∴(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，解得λ＝eq\f(4,5)．用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先結合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中；(2)然后結合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解過程體現了數學上的化歸思想．9.2.3向量的數量積知識點1向量的數量積已知兩個非零向量a和b，它們的夾角是θ，我們把數量|a||b|cosθ叫作向量a和b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．規定：零向量與任一向量的數量積為0．1．(1)兩個向量的數量積是向量嗎？(2)數量積的大小和符號與哪些量有關？[提示](1)兩個向量的數量積是一個數量，而不是向量．(2)數量積的大小與兩個向量的長度及夾角都有關，符號由夾角的余弦值決定．知識點2兩個向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB稱為向量a與b的夾角．(2)范圍：0°≤θ≤180°．(3)當θ＝0°時，a與b同向；當θ＝180°時，a與b反向．(4)當θ＝90°時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b．(5)兩個非零向量a和b的夾角θ，可以由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．知識點3投影向量設a，b是兩個非零向量，如圖，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，過點A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足為點A1，我們將上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的變換稱為向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))稱為向量a在向量b上的投影向量．(1)(2)所以eq\o(OA1,\s\up6(→))＝(|a|cosθ)eq\f(b,|b|)，a·b＝eq\o(OA1,\s\up6(→))·b．投影向量與向量數量積的關系：向量a和向量b的數量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數量積．知識點4向量的數量積的運算律及性質(1)向量數量積的運算律：已知向量a，b，c和實數λ．①a·b＝b·a；②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c．(2)數量積的性質：①a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)；②|a·b|≤|a||b|，當且僅當向量a，b為共線向量時取“＝”號；③a⊥b?a·b＝0．(向量a，b均為非零向量)2．向量的數量積運算結果和向量的線性運算的結果有什么區別？[提示]向量線性運算結果是向量，而數量積運算結果是數量．重點題型類型1向量數量積的運算【例1】(對接教材P20例1)已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3．(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34．1．求平面向量數量積的步驟：①求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]；②分別求|a|和|b|；③求數量積，即a·b＝|a||b|cosθ．要特別注意書寫時，a與b之間用實心圓點“·”連結，而不能用“×”連結，也不能省去．2．較復雜的數量積的運算，需先利用向量數量積的運算律或相關公式進行化簡．類型2求向量的模【例2】已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4．求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|．[解]∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×eq\f(1,2)＝8，∴|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(16＋16＋16)＝4eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(16－16＋16)＝4，|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋6a·b＋b2)＝eq\r(9×16＋48＋16)＝4eq\r(13)．1．求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系，要靈活應用a·a＝|a|2，勿忘記開方．2．一些常見的等式應熟記，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．類型3求向量的夾角【例3】已知a，b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．由兩組向量分別垂直可得出|a|，|b|同a·b的關系，由此可借助公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求a與b的夾角.[解]由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0， ①(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0， ②①②兩式相減，得2a·b＝b2，∴a·b＝eq\f(1,2)b2，代入①②中任一式，得a2＝b2，設a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°．求a與b夾角的思路(1)求向量夾角的關鍵是計算a·b及|a||b|，在此基礎上結合數量積的定義或性質計算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在個別含有|a|，|b|及a·b的等量關系式中，常利用消元思想計算cosθ的值．提醒：注意兩向量的夾角θ∈[0，π]．9.3向量基本定理及坐標表示9.3.1平面向量基本定理知識點1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：兩個不共線的向量e1，e2叫作這個平面的一組基底．如果e1，e2是兩個不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內的任一向量a能否用e1，e2表示？依據是什么？[提示]能．依據是數乘向量和平行四邊形法則．知識點2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面內任一向量a可以用一組基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我們稱λ1e1＋λ2e2為向量a的分解．當e1，e2所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的正交分解．重點題型類型1對向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α內所有向量的一組基底，則下列說法正確的是()A．若實數λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B．空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，這里λ1，λ2為實數C．對實數λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在該平面內D．對平面內任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數λ1，λ2有無數對A[平面α內任一向量都可寫成e1與e2的線性組合形式，而不是空間內任一向量，故B不正確；對任意實數λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α內，故C不正確；而對平面α內的任一向量a，實數λ1，λ2是唯一的，故D不正確．]考查兩個向量是否能構成基底，主要看兩向量是否非零且不共線．此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來．類型2用基底表示向量【例2】如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，BN與CM相交于點E，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用基底a，b表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))．[解]法一：由已知，在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，已知BN與CM交于點E，過N作AB的平行線，交CM于D，如圖所示．在△ACM中，eq\f(CN,CA)＝eq\f(ND,AM)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(ND,MB)＝eq\f(NE,EB)＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)(eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．法二：易得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三點共線知存在實數m，滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AN,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1－m)a．由C，E，M三點共線知存在實數n，滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝neq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b．所以eq\f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b．因為a，b為基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直到用基底表示為止；另一種是通過列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.類型3平面向量基本定理與向量共線定理的應用【例3】如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，N在AC上且AN＝2NC，AM與BN交于點P，求AP∶PM的值．[解]設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)b．∵A，P，M共線，∴設eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)(a＋b)．同理設eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝－μa＋eq\f(2,3)μb．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴a＝eq\f(λ,2)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－μa＋\f(2,3)μb))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)－μ))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)－\f(2,3)μ))b．∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ＝1，,\f(λ,2)＝\f(2,3)μ，))∴λ＝eq\f(4,5)，μ＝eq\f(3,5)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up6(→))，∴AP∶PM＝4∶1．1．充分挖掘題目中的有利條件，本題中兩次使用三點共線，注意方程思想的應用．2．用基底表示向量也是用向量解決問題的基礎，應根據條件靈活應用，熟練掌握．9.3.2向量坐標表示與運算第1課時向量的坐標表示知識點1向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一對有序實數(x，y)，使得a＝xi＋yj．我們把有序實數對(x，y)稱為向量a的(直角)坐標，記作a＝(x，y)．1．在平面直角坐標系內，給定點A的坐標為A(1，1)，則A點位置確定了嗎？給定向量a的坐標為a＝(1，1)，則向量a的位置確定了嗎？[提示]對于A點，若給定坐標為A(1，1)，則A點位置確定．對于向量a，給定的坐標為a＝(1，1)，此時給出了a的方向和大小，但因向量的位置由起點和終點確定，且向量可以任意平移，因此a的位置還與其起點有關．知識點2向量線性運算的坐標表示(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實數λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標原點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去起點的坐標．2．設i，j是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根據向量的線性運算性質，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分別用基底i，j表示？[提示]a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j．重點題型類型1平面向量的坐標表示【例1】(對接教材P28例1)在直角坐標系xOy中，向量a，b的位置如圖，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分別求向量a，b的坐標．[解]設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相對于x軸正方向的轉角為45°，所以a1＝|a|cos45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，a2＝|a|sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)．可以求得向量b相對于x軸正方向的轉角為120°，所以b1＝|b|cos120°＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，b2＝|b|sin120°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)．故a＝(2eq\r(2)，2eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))．求向量的坐標一般轉化為求點的坐標，解題時常常結合幾何圖形，利用三角函數的定義和性質進行計算.類型2平面向量的坐標運算【例2】已知平面上三個點A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))．[解]∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，1)，2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(6，－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，－1))．平面向量坐標的線性運算的方法(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的運算法則進行．(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．(3)向量的線性坐標運算可完全類比數的運算進行．類型3平面向量線性運算的坐標應用【例3】已知點O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，試問：(1)當t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？(2)四邊形OABP是否能成為平行四邊形？若能，則求出t的值．若不能，說明理由．以坐標軸上點的坐標特征為切入點求解t的值；結合平行四邊形的向量表達式建立參數t的表達式．[解](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，3)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1＋3t，2＋3t)，則P(1＋3t，2＋3t)．若P在x軸上，則2＋3t＝0，所以t＝－eq\f(2,3)；若P在y軸上，則1＋3t＝0，所以t＝－eq\f(1,3)．(2)因為eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－3t，3－3t)，若OABP是平行四邊形，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))此方程組無解；故四邊形OABP不可能是平行四邊形．1．(變條件)在本例條件下，若P在第三象限，求t的取值范圍．[解]由本例解知，若P在第三象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t<0，))解得t<－eq\f(2,3)，所以t的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))．2．(變條件)在本例條件下，t為何值時，P在函數y＝－x的圖象上？[解]由P點坐標(1＋3t，2＋3t)在y＝－x上，得2＋3t＝－1－3t，解得t＝－eq\f(1,2)．即t＝－eq\f(1,2)時，P在y＝－x的圖象上．已知含參的向量等式，依據某點的位置探求參數的問題，其本質是坐標運算的運用，用已知點的坐標和參數表示出該點的坐標，利用點的位置確定其橫縱坐標滿足的條件，建立關于參數的方程組或不等式組，求解即可.提醒：要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系，一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標.第2課時向量數量積的坐標表示知識點1平面向量數量積的坐標運算若兩個向量為a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．知識點2向量的長度、夾角、垂直的坐標表示(1)向量的模：設a＝(x，y)，則a2＝x2＋y2，即|a|＝eq\r(x2＋y2)．(2)向量的夾角公式：設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它們的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))．特別地，若a⊥b，則x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，則a⊥b．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何計算向量eq\o(AB,\s\up6(→))的模？[提示]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．重點題型類型1數量積的坐標運算【例1】已知a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c．[解](1)a·b＝1×2＋3×5＝17．(2)∵a＋b＝(3，8)，2a＋b＝(4，11)，∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100．(3)(a·b)·c＝17c＝(34，17)．利用數量積的條件求平面向量的坐標，一般來說應當先設出向量的坐標，然后根據題目中已知的條件，找出向量坐標滿足的等量關系，利用數量積的坐標運算，列出方程組來進行求解.類型2向量的夾角【例2】已知A(2，－2)，B(5，1)，C(1，4)，求∠BAC的余弦值．[解]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，1)－(2，－2)＝(3，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，4)－(2，－2)＝(－1，6)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×(－1)＋3×6＝15．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(－12＋62)＝eq\r(37)，∴cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,3\r(2)×\r(37))＝eq\f(5\r(74),74)．已知a，b的坐標求夾角時，應先求出a·b及|a|，|b|，再代入夾角公式，由夾角的余弦值確定夾角的大小.類型3向量垂直的綜合應用【例3】已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|．[解]法一：設點D坐標為(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x－3，y－2)，∵D在直線BC上，即eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，∴存在實數λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－6λ,y－2＝－3λ，))∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0．①又∵AD⊥BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0．②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即D點坐標為(1，1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，2)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，即|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)．法二：在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，3)．與eq\o(BC,\s\up6(→))垂直的一個向量eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－3，6)，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝3eq\r(5)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝15．向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AE,\s\up6(→))上的投影向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝(|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ)eq\f(\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|)(其中θ為eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AE,\s\up6(→))的夾角)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up6(→))|cosθ\f(\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|)))＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→))|,|\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,3\r(5))＝eq\r(5)．向量的垂直問題主要借助于結論：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，把幾何問題轉化為代數問題．它對于解決向量以及平面幾何圖形中有關垂直問題十分有效，應熟練掌握．(1)與向量a＝(x，y)垂直的一個向量可以設為b＝(y，－x)；(2)求△ABC中BC邊上的高AD，可以先求出與eq\o(BC,\s\up6(→))垂直的一個向量eq\o(AE,\s\up6(→))，再求出eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(AC,\s\up6(→)))在eq\o(AE,\s\up6(→))上的投影向量的模，就是高AD的大小．9.4向量應用知識點向量的應用(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(2)向量在物理中的應用①速度、加速度、位移、力的合成和分解，實質上就是向量的加減法運算，求解時常用向量求和的平行四邊形法則和三角形法則．②物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是向量的數量積．(3)向量在平面解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用主要表現在兩個方面：一是作為題設條件；二是作為解決問題的工具使用，充分體現了幾何問題代數化的思想，是高考考查的熱點之一．解決此類問題的思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標表示；二是向量數量積的公式和性質．重點題型類型1向量在物理中的應用【例1】(對接教材P38例1)如圖所示，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，求當整個系統處于平衡狀態時，兩根繩子拉力的大小．[解]如圖，作平行四邊形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°．在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°．|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|sin30°＝eq\f(1,2)×300＝150(N)．故與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N．1．解力向量題時，依據題意對物體進行受力分析，通過向量加法的平行四邊形法則對力進行分解和合成．2．解題時要明確各個力之間的關系及它們各自在題目中的地位，借助于圖形，將物理量之間的關系抽象為數學模型．類型2向量在平面幾何中的應用【例2】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE．[解]法一：設eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0，故eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE．法二：如圖，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)．因為eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE．向量法證明平面幾何問題的方法(1)向量的線性運算法eq\x(選取基底)→eq\x(把待證問題用基底線性表示)→eq\x(利用向量的線性運算或數量積找相應關系)→eq\x(把向量問題幾何化)(2)向量的坐標運算法eq\x(建立適當的坐標系)→eq\x(把相關量坐標向量化)→eq\x(利用向量的坐標運算找相應關系)→eq\x(把向量問題幾何化)但比較以上兩種方法，易于知道，如果題目建系比較方便，坐標法更好用．類型3平面向量的綜合應用【例3】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝9，tanA＝eq\f(4,3)，P為線段AB上的點，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝x·eq\f(\o(CA,\s\up6(→)),|\o(CA,\s\up6(→))|)＋y·eq\f(\o(CB,\s\up6(→)),|\o(CB,\s\up6(→))|)，則xy的最大值為________．3[在Rt△ABC中，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝9，得AB·AC·cosA＝9，因為Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(4,3)，所以cosA＝eq\f(3,5)，所以AB·AC＝15，所以AB＝5，AC＝3，BC＝4．又P為線段AB上的點，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(x,3)·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(y,4)·eq\o(CB,\s\up6(→))，故eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1≥2eq\r(\f(x,3)×\f(y,4))，即xy≤3，當且僅當eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2時取等號．]利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數、不等式結合起來，要先將線段看成向量，解題時通過定義或坐標運算進行轉化，使問題的條件結論明晰化，得以解決.第10章三角恒等變換10.1兩角和與差的三角函數10.1.1兩角和與差的余弦知識點兩角和與差的余弦公式(1)兩角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(2)兩角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立嗎？[提示]不成立．重點題型類型1兩角和與差的余弦公式的簡單應用【例1】求下列各式的值：(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°；(2)eq\f(cos7°－sin15°sin8°,cos8°)；(3)eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°．[解](1)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°＝cos(70°－40°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．(2)原式＝eq\f(cos15°－8°－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°,cos8°)＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)．(3)∵cos60°＝eq\f(1,2)，sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)．1．兩角和與差的余弦公式中，α，β可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體．2．在運用公式化簡求值時，要充分利用誘導公式構造兩角和與差的余弦結構形式，然后逆用公式求值．提醒：要重視誘導公式在角和函數名稱的差異中的轉化作用．類型2已知三角函數值求角【例2】已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α＋β的值．以同角三角函數的基本關系為切入點，求得cosα，sinβ的值，在此基礎上，借助cosα＋β的公式及α＋β的范圍，求得α＋β的值.[解]因為α，β為銳角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\f(9,10))＝eq\f(\r(10),10)，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)．由0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，得0<α＋β<π．因為cos(α＋β)>0，所以α＋β為銳角，所以α＋β＝eq\f(π,4)．已知三角函數值求角，一般