2020-2021學年西安市閻良區高二上學期期末數學試卷（理科）

單選題（本大題共12小題，共60.0分）

22

1.橢圓券+?=2的焦距為（）

A.2B.2迎C.4D.4V2

2.命題“存在實數X,使/+x—1<0”的否定為（）

A.對任意實數X,都有久2+X-1>0

B.不存在實數x,使/+%一12o

C.對任意實數%,都有/+%—1<0

D.存在實數無，使比2+%一12o

3.等差數列｛即｝的通項公式為即=371-1,則它的公差是（）

A.1B.2C.3D.4

4.與向量為=（12,5）平行的單位向量為（）

A?熄，-》B.（-總一2）

5.設a,b,c是實數，若avb,則下列不等式一定成立的是（）

11

2>b2>c2<2D<

aB.--aC

A.a匕he

6.已知命題p："m=l"是"直線％-my=0和直線%+my=0互相垂直”的充要條件；命題q：

函數/'（x）=x+（的最小值為4.給出下列命題：①pAq；②pVq；③pA（「q）;（D（"）A（「q），

其中真命題的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

7.函數/（x）=VTR+a,則“a>o"是‘勺Xoe[-1,1]-使/Qo）>的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

—1

已知數列｛%｝滿足的=2,an=2--—,則=（）

y>0

9.已知％,y滿足不等式組y4％,且目標函數z=3%-2y的最大值為180,則實數小的值

.x+y—m<0

為()

A.60B.70C.80D.90

設m=Q2+。—2,n=2<j2—Q—i,其中aeR,貝IJ()

A.m>nB.m>n

C.m<nD.m<n

11.等差數列《颶金中，如果:即il?呦書叫三勰，：%#：嗓帶嗨=葡'，數列&/：金前9項的和為()

A.297B,144C.99D.66

12.已知雙曲線馬—3=1俗>a>0),直線/過點4(a,0)和B(0,b),若原點。到直線I的距離為運(c

為雙曲線的半焦距)，則雙曲線的離心率為()

A.2或2B.V2C.在D.2

33

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.14.不等式彳工>0的解為

14.方=(1,-3,1),b=(-l,l,-3)，貝！1|五一一|=?

221

15.若拋物線/=4y的焦點到雙曲線C嚎—琶=l(a>0,b>0)的漸近線距離等于點則雙曲線C的

離心率為.

16.如圖所示，已知NC=90。，乙4=30。，E是28中點，DElAB^E,只、￡)

貝。A/inE與A/IBC的相似比是./

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)BEA

17.(本題滿分12分)已知函數，h嚏=謖盛/小題3#您落在點嗎:處取得極小值-4,使其導函數

頓的常的取值范圍為(1,3)

(I)求《翻：礴1的解析式及“頻制1的極大值；

(口)當需紀國閨時，求翻瞬=,旌■frfc-圖喊:的最大值。

18.設｛冊｝是各項都為整數的等差數列，其前幾項和為%,｛g｝是等比數列，且的=瓦=1,%+歷=

7,S5b2=50,nEN*.

(I)求數列｛%J,｛小｝的通項公式；

(口)設4=log2bl+log2b2+log2b3+???+log2/jn,Tn=aCn+1+aCn+2+aCn+3+?■?+aCn+n.

①求心；

(ii)求證：2%旃夕＜2.

19.如圖，A,B,C,。都在同一個與水平面垂直的平面內，B,D為

兩島上的兩座燈塔的塔頂,測量船于水面4處測得B點和D點的仰

角分別為75。，30°,于水面C處測得B點和。點的仰角均為60。，

AC=0.1km,試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等,

然后求B,D的距離(計算結果精確到0.01km,返日1.414，

指例2.449)，

20.設點P是曲線C：/=魯黑或滋常吸上的動點，點P到點(0,1)的距離和它到

焦點尸的距離之和的最小值為-

部

(1)求曲線C的方程

(2)若點P的橫坐標為1,過P作斜率為頻前亂嶗:的直線交C與另一點Q,交x軸于點M,

過點Q且與PQ垂直的直線與C交于另一點N,問是否存在實數匕使得直線MN與曲線C

相切？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由。

21.如圖所示，四棱錐P-4BCD的底面是邊長為a的正方形，側棱

在側面PBC內，有PBJ.BC,BE工PC于點E,且BE=^a,在線段48上

3

是否存在一點尸，使EF〃平面pan?若存在，求出啜的值；若不存在，請

說明理由.

22

22.設P為橢圓靠=l(a>b>0)上任一點，&,尸2為橢圓的焦點，仍&1+仍劃=4,離心率

為今

(I)求橢圓的標準方程；

(口)直線八y=kx+m(m*0)與橢圓交于P、Q兩點，試問參數k和m滿足什么條件時，直線OP,PQ,

OQ的斜率依次成等比數列；

(m)求小OPQ面積的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：C

2222

解析：解：根據題意，橢圓的方程為：二+匕=2,變形可得匕+二=1,

2484

則其中a2=8,b2=4,

則c=y/a2—b2=2,其焦距2c=4；

故選：C.

根據題意，先將橢圓的方程變形可得"+次=1,即可得。2=8,爐=4,計算可得c的值，由焦距

84

的定義可得2c的值，即可得答案.

本題考查橢圓的幾何性質，注意要先將橢圓的方程變形為標準方程.

2.答案：A

解析：解：根據特稱命題的否定是全稱命題可知，

命題”存在實數X,使％2+x-1<0”的否定為：對任意實數X,都有/+%一120.

故選：A.

根據特稱命題的否定是全稱命題即可得到結論.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，要求熟練掌握全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定

是全稱命題.

3.答案：C

解析：解：cin=3n-1,cin+i=3n+2,

二公差d—a^+i—CLfi=3,

故選：C.

利用等差數列的定義求得結果即可.

本題主要考查等差數列的定義，屬于基礎題.

4.答案:C

解析：解：設與向量1=(12,5)平行的單位向量l=(%,y),

回=13所以五=±131

人塔，》或屋(-葛號)

故選：C.

設出與向量五=(12,5)平行的單位向量，求出五的模，利用為反共線關系，求出日

本題考查向量共線，考查學生計算能力，是基礎題.

5.答案：D

解析：解：4、當。=-1,b=2,顯然不成立，本選項不一定成立；

B、當a=-1,b=2,顯然不成立，本選項不一定成立；

C、c=0時，ac2=be2=0,本選項不一定成立；

D、a<b,c2+1>0,

，V本選項一*定成立，

c2+lc2+l

故選：D.

對于4B,C舉反例即可判斷，對于。根據不等式的基本性質即可判斷

此題考查了不等式的性質，利用了反例的方法，是一道基本題型.

6.答案：A

解析：解：當nt=l時，直線x-y=0和直線x+y=0互相垂直，

當直線x—my=0和直線%+my=0互相垂直時，m2=1,m=±1,

所以“血=1”是“直線x-my=0和直線x+my=0互相垂直”的充分不必要條件，

命題p是假命題.

當x<0時，/(%)=%+1<0,

命題q是假命題.

所以①PAq是假命題.

②pVq是假命題，

③pA(%)是假命題，

④(-p)A(%)是真命題，

故選:A.

先判定命題p,q的真假，再利用復合命題真假的判定方法即可得出.

本題考查了函數的性質、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

7.答案：A

解析：解：若新1,1],使/Qo)2O,

貝ij1+a20,解得：a2—1,

故"a>0"是也而6[-1,1],使/(%o)>0”的充分不必要條件,

故選：A.

根據充分必要條件的定義以及集合的包含關系判斷即可.

本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關系，是一道基礎題.

8.答案：A

1

解析：解：??,的=2,a=2---,

nan-l

13a_—Q14_Q15_Q1_6

???g=2—=32———-a4—2———-a5—2———-

“"234

故選：A.

利用題設條件逐項代入求得結果即可.

本題主要考查由數列的遞推關系式求數列中的項，屬于基礎題.

9.答案：A

解析：解：作出不等式組對應的平面區域，如圖:

由z=3%-2y化簡為y=|x-|z,

平移直線y=|x—^z,

由圖象可知當直線y=|x-jz,

經過點/(TH,0)時，

直線y=-的截距最小，此時z最大，

Zmax=3m=180,

解得：m=60.

故選：A.

作出不等式組對應的平面區域，目標函數z=3%-2y的最大值為180,通過直線平移，找到取得最

大值的交點，利用數形結合即可的得到結論.

本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵.

10.答案:D

解析：解：由題意得，，九一租=24一a-l-(a*+Q-2)二24一°一1一/一口+2=(a—I)2

因為3-1)2最小值為0,所以,故答案選D.

11.答案：C

解析：試題分析：因為題意中給定，等差數列序就,那么由整體的思想可知，如果做生嘴外砥=鸚|,

%#穌#嗨=窈，兩式相加得到如果:%!!■雕H■:趣=魏+%#嗨=密=66,由于

:%=：%"H?:縫?=遙#%=:咤帶穌二要禽i#:被以二篩筋

，二回f.=篤二弱=L學魂■

故選C.

考點：本試題考查了數列的前n項和的運用。

點評：解決該試題的關鍵是對于等差中項性質的運用，根據通項公式與前幾項和的關系來分析得到結

論，屬于基礎題。

12.答案：D

解析：解：直線I的方程為；+?=1,即為bx+ay—a6=0,

c2=a2+b2,

原點。到直線Z的距離d=%W=冬,

Va2+d24

即有4ab=V3c2?

即16a2力2=3c4,即16a2（。2—a2）=3c4,

16a2c2—16a4—3c4=0,

由于e=（,貝l]3e4—16e?+16=0,

解得，e=2或2.

3

由于0<a<b,BPa2<b2,即有c2>2a2,即有e?>2,

則e=2.

故選。.

求出直線的方程，運用點到直線的距離公式，得到方程，結合a,b,c的關系和離心率公式，化簡整

理即可得至I]3e4-16e2+16=0,解方程即可得到離心率，注意條件0<a<b,則有e?>2,注意

取舍.

本題考查雙曲線的性質：離心率的求法，同時考查直線的方程和點到直線的距離公式的運用，考查

運算能力，屬于中檔題和易錯題.

13.答案：{久|0<x<1}

解析：本題考查分式不等式的解法。由題意知，原不等式等價于x(l-%)>0,即x(x-1)<0,那

么0<x<l,故原不等式的解集為｛久|0<x<1｝。

14.答案：6

解析：

本題考查了空間向量的坐標運算與求模長的應用問題，是基礎題目.

根據空間向量的坐標運算，求出五-方，再求它的模長.

解：五=(1,-3,1),b=

a—b=(2,—4,4),

|a-K|=J22+(_4/+42=6.

故答案為：6.

15.答案:3

解析：

先求出拋物線產=4y的焦點坐標為(0,1),和雙曲線的一條漸近線方程為y=根據點到直線的距

離公式和離心率公式即可求出.本題考查了拋物線和雙曲線的簡單性質，屬于基礎題.

22

解：拋物線/=4y的焦點坐標為(0,1),雙曲線C：器—a=19>03>0)的一條漸近線方程為)/=

b

產

1_a_a

3y/a2+b2c'

CQ

e———3,

a

故答案為：3.

16.答案：收.：3

解析：rE為4B中點，.??■=」，即

鬟鬟

在RtANBC中，”=30。，AC=^AB,

斕意1

又???Rt△AEDsRt△ACB,.?.相似比為.

,葡有

故AaOE與A/IBC的相似比為有.：3

17.答案：(I),巽,礴=-螳帶凝jT蜘,極大值3(口中工㈱r￡罌時演障露=窩/一癟；

W■<罷時，域閶L羽=3&袱-&1;W>霸寸"婕魂皿=囑耀-翼匾

解析：試題分析：⑴由題意知,旌域:=防礫3號警幅帶客=饕瞰總--聰富--鷺蜘,,"：瞰，

二在(?川上找瑰《回

在期M鹿磁凈幽，

在氯肅何止.,/!播/(?.

因此奧礴在明：=工處取得極小值-4,在％=3處取得極大值。.......4分

二翻#，加普￡=-兔

■那磔：=翼薪帶方珈#您：=螂.

,斛翳|：=罷的S#前諭4H-；=(虬

解之得僦=T做=i葡#=一覲.

二,畫&唾=F*#毓%產-fc......6分

則舞礴在需=跳取得極大讖'獺:=ft........8分

(2)顏域:=一箕前一期常一簿#<W-^：?：=一翼-奢徵K普簿，

①當魯三巡三如上教㈱血=避堿:=警解-螂;

②當嬲<那蟲顫:璘在(期止單調遞減,域磁血=感激:=?瞬-*1;

③當微>霸弋螃既由修昌|上單調遞境域磁說*=轡儂:=??-邪......12分

考點：利用導數求函數最值極值

點評：第二小題中二次函數依據對稱軸位置分情況討論求最值

18.答案:解：(I)設等差數列｛a1的公差為d，等比數列｛b｝的公比為q,由的=瓦=1,。3+電=7,

s5b2=50,

可得l+2d+q=7,5(l+2d)q=50,

解得d=2,q=2或d=|,Q=5,

由于｛a九｝是各項都為整數的等差數列，所以d=2,q=2,

n-1

從而=2n—1,bn-2,nEN*；

n

(11)(9V10g2&n=10g22T=H-1,

???cn=04-1+2+—I-(n—1)=|n(n—1),

***CLCn+i—2(-------Ft)—1=九？一n—1+23

222

???Tn=(n—n—1+2)+(n—n—1+4)+—F(n—n—1+2n)

=n(n2—n—1)+(2+4+—I-2n)=n(n2—n—1)+n(n+1)=n3；

iii

5)證明：3

y/Tn-ny/n-nA/(n-l)n(n+l)

_1,11X_1Z11、Vn^l+Vn+l

Vn+l-Vn-1^(n-l)n,九(九+1)‘訴y/n+1^2'

而，71-1+、九+1_/n-1+n+H-2Vn2-1v(2n+2n_

2-74d4-Y，

,yl_l11111111111

JK_iV1V3V2V4V3V5V4V6-2VnVn_1Vn+1

_1+晝_而一痔，

11

由于赤+京,仇

可得1+立—%—-^=＜2.

2訴vn+1

則￡7=2高＜2?

解析：(I)設等差數列｛冊｝的公差為d,等比數列｛e｝的公比為q,運用等差數列和等比數列的通項公

式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項公式；

2

(H)(i)運用對數的運算性質和等差數列的求和公式可得％=in(n-1),aCn+i=n-n-l+2i,

再由數列的分組求和，結合等差數列的求和公式，計算可得所求和；

11111

3)推得寓與=R=”…)咐+】)＜后—而，再由數列的裂項相消求和和不等式的性質，即

可得證.

本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，以及數列的裂項相消求和、放縮法的

運用，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題.

19.答案：解：在△4CD中，ZDXC=30°,AADC=60°-ADAC=30°,

所以CD=4C=0.1.

又乙BCD=180°-60°-60°=60°,

故CB是AC4D底邊4。的中垂線,

所以RD=BA.

ABAAC

在△28C中,

sinGCA-sin乙ABC

即人事3、■+指

20

因止匕，BD-?033km?

20

故B,。的距離約為0.33/cm.

解析：略

20.答案：（1）般=/（2）k=二些使命題成立

解析：試題分析：（1）依題意知:U避=3,解得罩=士，所以曲線c的方程為裁=

（2）由題意設直線PQ的方程為：朋=僦箱?-期書1,則點麟上1-1蒯；

k欣j

，理=頌:富一項#2

由《，——.版端麓一］=蚓，得喙-w

所以直線QN的方程為般-磔一『￡=-士做?敢書霞:

港一“項

--：0-<=?

:敬kv

門-&-：I

所以直線MN的斜率為置娥=F

?：i—歙—mj—Ji—

過點N的切線的斜率為霰—二）

t,麓￡

皿”門-址一己1

所以kV二中』多’解得

故存在實數k==”也上使命題成立。

%

考點：直線與圓錐曲線的位置關系拋物線的標準方程

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關系，考查直線斜率的求解，正確求斜率

是關鍵.

21.答案：解：存在滿足條件的點F.

在平面PCD內，過點E作EG〃CD,交PD于點G,連接AG,在4B上取點凡使4F=EG,

?-?EG//CD//AF,EG=AF,

???四邊形4GEF為平行四邊形，.?.￡■/〃"，

又AGu平面PAD,EFC平面P4D,

???EF〃平面PAD,???點F即為所求的點.

設尸4=%,

PB1BC,PALAB,

：■PB2=AB2+PA2=a2+x2,即PB=Va2+x2,

PC2=BC2+PB2=2a2+x2,即PC=-2a2+/,

又BE1PC,

22

■-S4PBe=PB-BC=BE-PC,即夜2+%2.a=^a-yj2a+x,解得x=a,

PA=a,PB=近a,PC=Wa,

又PE=VPB2-BE2=J2a2-(ya)2=乎a,；?=|，

.AF_GE_PE_2

??AB~CD~PC~3,

解析：過點E作EG〃CD,交PD于點G,連接4G,在AB上取點F,使4F=EG,易證四邊形AGEF為

平行四邊形，故EF〃4G,再由線面平行的判定定理可證EF〃平面PAD設PA=無，根據勾股定理可

求得PB和PC的長，再在APBC中，由等面積法可列得關于x的方程，進而得的值，再由平行線的

性質即可得解.

本題考查空間中線與面的位置關系及線段的計算問題，運用了先猜后證的思想，熟練掌握線面平行

的判定定理是解題的關鍵，考查學生的空間立體感、邏輯推理