寧波市2022學年第二學期期末試題高二數學試卷第I卷(學考模擬共100分)一、單項選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.1已知集合，，則()A. B. C. D.2.復數(i為虛數單位)的虛部是()A. B. C.1 D.23.函數的定義域是()A. B. C. D.4.已知，則()A B. C. D.5.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，結果如下：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數241571188如果另有一人服用此藥，根據上表數據估計此人體重減輕的概率是()A.0.57 B.0.33 C.0.24 D.0.196.已知平面向量，，若，則實數()A. B. C.1 D.47.已知球的半徑是3，則該球的體積是()A. B. C. D.8.對數與互相反數，則有()A. B. C. D.9.取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在第n次操作中去掉的線段長度之和不小于，則n的最大值為()(參考數據：)A.7 B.8 C.9 D.1010.已知為非零實數，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件11.在中，，，，則直線通過的()A.垂心 B.外心 C.重心 D.內心12.已知函數的定義域為R，為奇函數，且對于任意，都有，則下列結論中一定成立的是()A B.C.為偶函數 D.為奇函數二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分.)13.下列函數是增函數的是()A. B. C. D.14.已知平面平面，且，則下列命題不正確的是()A.平面α內的直線必垂直于平面β內的任意一條直線B.平面α內的已知直線必垂直于平面β內的無數條直線C.平面α內的任意一條直線必垂直于平面βD.過平面α內的任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β15.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.以下列選項為條件，一定可以推出的有()A. B.C. D.16.如圖，在棱長為2的正方體中，點E為的中點，點P在線段(不包含端點)上運動，記二面角的大小為，二面角的大小為，則()A.異面直線BP與AC所成角的范圍是B.的最小值為C.當的周長最小時，三棱錐的體積為D.用平面截正方體，截面的形狀為梯形三、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分.)17.已知函數，則_______，_________.18.在生活中，我們經常可以看到這樣的路障，它可以近似地看成由一個直八棱柱、一個圓柱與一個圓臺組合而成，其中圓臺的上底面直徑為，下底面直徑為，高為.為了起到夜間行車的警示作用，現要在圓臺側面涂上熒光材料，則涂料部分的面積為________.19.已知正實數x，y滿足，則的最小值是_________.20.在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍為_________.四、解答題(本大題共3小題，共33分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)21.隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機軟件層出不窮.現從某市使用款訂餐軟件的商家中隨機抽取個商家，對它們的“平均配送時間”進行統計，所有數據均在范圍內，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)試估計該市使用款訂餐軟件的商家的“平均配送時間”的第百分位數.22.已知函數.其中.若的最小正周期為，且；(1)求的值；(2)若，求在區間上的值域.23.已知函數，其中.(1)若，求的值；(2)判斷函數的零點個數，并說明理由；(3)設，求證：.第II卷(能力提升共50分)五、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分)24.拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，設事件“第一次正面朝上”，事件“第二次正面朝上”，則()A. B.C.事件A與事件B互斥 D.事件A與事件B相互獨立25.已知平面向量滿足，則()A.的最大值為3 B.的最大值為3C.的最大值為6 D.的最大值為226.已知函數，若滿足，對，都使得成立，則的值可能為()A. B. C. D.27.已知正實數、、滿足，，其中，則()A. B. C. D.六、解答題(本大題共2小題，共30分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，)28.如圖，正四棱錐的高為，體積為.(1)求正四棱錐的表面積；(2)若點為線段的中點，求直線AE與平面所成角的正切值；(3)求二面角的余弦值.29.已知定義在R上的函數，其中a為實數.(1)當時，解不等式；(2)若函數在上有且僅有兩個零點，求a的取值范圍；(3)對于，若存在實數，滿足，求的取值范圍.(結果用a表示)

寧波市2022學年第二學期期末試題高二數學試卷第I卷(學考模擬共100分)一、單項選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據并集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：D2.復數(i為虛數單位)的虛部是()A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用復數的相關概念求解.【詳解】因為復數，所以復數(i為虛數單位)的虛部是.故選：A3.函數的定義域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用具體函數定義域的求法求解即可.【詳解】因為，所以，則，所以的定義域為.故選：B.4.已知，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據特殊角的三角函數值判斷即可.【詳解】因為且，所以.故選：B5.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，結果如下：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數241571188如果另有一人服用此藥，根據上表數據估計此人體重減輕的概率是()A.0.57 B.0.33 C.0.24 D.0.19【答案】C【解析】【分析】本題主要考查概率的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.利用表中數據直接計算即可.【詳解】由已知統計表可知在1000名志愿者中，服藥后出現體重減輕的人數為241人，因此服藥后出現體重減輕的頻率為，故選：C.6.已知平面向量，，若，則實數()A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】依題意可得，根據數量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，且，所以，解得.故選：A7.已知球的半徑是3，則該球的體積是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據球的體積公式計算可得.【詳解】因為球的半徑，所以球的體積.故選：D8.對數與互為相反數，則有()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題得，化簡即可得答案.【詳解】解：由已知得，即，則.故選：C.【點睛】本題考查對數的運算性質，是基礎題.9.取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在第n次操作中去掉的線段長度之和不小于，則n的最大值為()(參考數據：)A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】根據題設可得第n次操作去掉的線段長度之和為，則有，再根據指數函數性質結合參考數據求n的最大值.【詳解】第一次操作去掉的線段長度為，第二次操作去掉的線段長度之和為，第三次操作去掉的線段長度之和為，…，第n次操作去掉的線段長度之和為，由題意知，，則，則，因為，所以指數函數為增函數，又，，所以，故選：B.10.已知為非零實數，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】當時，，所以由得不出，若即，若，則，即，所以由得不出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.11.在中，，，，則直線通過的()A.垂心 B.外心 C.重心 D.內心【答案】D【解析】【分析】根據向量的加法的幾何意義，結合菱形的對角線為相應角的平分線，得到在的角平分線上，從而作出判定.【詳解】因為,∴，設,則，又，∴在的角平分線上，由于三角形中,故三角形的邊上的中線，高線，中垂線都不與的角平分線重合，故經過三角形的內心，而不經過外心，重心，垂心，故選D.12.已知函數的定義域為R，為奇函數，且對于任意，都有，則下列結論中一定成立的是()A. B.C.為偶函數 D.為奇函數【答案】C【解析】【分析】由是奇函數，得即可判斷，先證明，得到，從而判斷，證明的周期為，再證明函數的圖象關于對稱，可判斷C，由結合周期性判斷D.【詳解】由是奇函數，得，即，選項錯誤；由，得，所以，即，則，B錯；由可得可得函數的周期為，與可得，即函數的圖象關于對稱，根據周期為2可得函數的圖象關于對稱，即，所以為偶函數，C正確；因為且函數的周期為，所以，為偶函數，，故選項錯誤．故選：．二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分.)13.下列函數是增函數的是()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據冪函數的性質判斷各選項的單調性即可.【詳解】對于A，函數的定義域為，函數在上單調遞增，A正確；對于B，函數的定義域為，函數在上單調遞減，在上單調遞增，B錯誤；對于C，函數的定義域為，函數在上單調遞增，C正確；對于D，函數的定義域為，函數在上單調遞增，在上單調遞增，但，D錯誤；故選：AC.14.已知平面平面，且，則下列命題不正確的是()A.平面α內的直線必垂直于平面β內的任意一條直線B.平面α內的已知直線必垂直于平面β內的無數條直線C.平面α內的任意一條直線必垂直于平面βD.過平面α內的任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β【答案】ACD【解析】【分析】根據線面、面面關系逐一判斷即可.【詳解】對于A，平面內取平行于交線的直線時，該直線與平面平行，不垂直于平面β內的任意一條直線，故A錯誤；對于B，取平面內無數條與交線垂直的直線，平面內的已知直線與這無數條直線垂直，故B正確；對于C，平面內取與平行的直線，不垂直于平面，故C錯誤；對于D，若內的任意一點取在交線上，所作垂線可能不在平面內，所以不一定垂直于平面，故D錯誤.故選：ACD15.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.以下列選項為條件，一定可以推出的有()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由余弦定理判斷A，由正弦定理判斷B，舉例判斷C，結合內角和關系和二倍角公式誘導公式判斷D.【詳解】對于A，由余弦定理可得，又，所以，A正確；對于B，由正弦定理可得，又，所以，又，所以或，B錯誤；對于C，取，為銳角，且，可得為銳角，且，此時，C錯誤；對于D，由可得，所以，所以，解得或(舍)，又，所以，D正確；故選：AD.16.如圖，在棱長為2的正方體中，點E為的中點，點P在線段(不包含端點)上運動，記二面角的大小為，二面角的大小為，則()A.異面直線BP與AC所成角的范圍是B.的最小值為C.當的周長最小時，三棱錐的體積為D.用平面截正方體，截面的形狀為梯形【答案】ABD【解析】【分析】由異面直線夾角定義確定異面直線BP與AC所成角，由此判斷A；由二面角的定義確定，求，利用兩角和的正切公式求，再求其最小值，判斷B；確定周長最小時點的位置，結合錐體體積公式求的體積，判斷C；根據平面的性質，確定正方體的過點的截面，判斷D.【詳解】因為，所以異面直線BP與AC所成角為或中的銳角或直角，又，所以為為等邊三角形，因為點P在線段(不包含端點)上運動，所以當為線段的中點時，，此時異面直線BP與AC所成角為，當點趨近或時，異面直線BP與AC所成角趨近，所以異面直線BP與AC所成角的范圍是，A正確；過點作，，因為平面，所以平面，過點作，垂足，所以為二面角的平面角，為二面角的平面角，故，設，則，，所以，，所以，因為，所以，所以，所以當時，取最小值，最小值為，B正確；延長到點，使得，則，所以，當且僅當三點共線時等號成立，所以當點為線段與的交點時，的周長最小，因，所以，所以，又，所以，所以的面積，又，，，平面，所以平面，所以點到平面的距離為，所以當的周長最小時，三棱錐的體積為，C錯誤；延長，兩直線交于點，連接，設，連接，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為梯形，所以用平面截正方體，截面的形狀為梯形，D正確.故選：ABD.【點睛】知識點點睛：本題主要考查異面直線的夾角，二面角的求法，錐體體積問題，正方體的截面，屬于綜合題主要考查學生的邏輯推理能力和直觀想象能力.三、填空題(本大題共4小題，每空3分，共15分.)17.已知函數，則_______，_________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用函數的解析式可求得的值，計算出的范圍，根據函數的解析式可求得的值.【詳解】因為，則；因為，所以，，所以，.故答案為：；.18.在生活中，我們經常可以看到這樣的路障，它可以近似地看成由一個直八棱柱、一個圓柱與一個圓臺組合而成，其中圓臺的上底面直徑為，下底面直徑為，高為.為了起到夜間行車的警示作用，現要在圓臺側面涂上熒光材料，則涂料部分的面積為________.【答案】【解析】【分析】作圓臺的軸截面，利用條件求其母線長，再由圓臺側面積公式求其側面積即可.【詳解】作圓臺的軸截面如下：過點作，垂足為，由已知，，，所以，所以圓臺的母線長為，由已知圓臺的上底半徑為，下底半徑為，所以圓臺的側面積，故答案為：.19.已知正實數x，y滿足，則的最小值是_________.【答案】##【解析】【分析】由條件可得，結合基本不等式求的最小值.【詳解】因為，所以，所以，所以，當且僅當，時等號成立，即時等號成立，所以的最小值是.故答案為：.20.在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理將邊角互化，結合余弦定理及兩角和差的正弦公式得到，根據為銳角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用兩角和的正弦展開式和的范圍可得答案.【詳解】因為，由正弦定理可得，由余弦定理，所以，即，由正弦定理可得，所以，即，所以，因為，，所以，所以，即，所以，由為銳角三角形，所以，，可得，所以，，由正弦定理得，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵是通過邊角互化得到，從而得到，最后由正弦定理將式子轉化為角的三角函數，結合余弦函數的性質計算可得.四、解答題(本大題共3小題，共33分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)21.隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機軟件層出不窮.現從某市使用款訂餐軟件的商家中隨機抽取個商家，對它們的“平均配送時間”進行統計，所有數據均在范圍內，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)試估計該市使用款訂餐軟件的商家的“平均配送時間”的第百分位數.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可.(2)首先判斷第百分位數位于之間，設為，則，解得即可.【小問1詳解】依題意可得，解得.【小問2詳解】因為，所以第百分位數位于之間，設為，則，解得，故第百分位數為.22.已知函數.其中.若的最小正周期為，且；(1)求的值；(2)若，求在區間上的值域.【答案】(1)，；(2)在區間上的值域為.【解析】【分析】(1)由函數的周期，結合周期公式求，由條件化簡求；(2)結合條件確定，利用不等式性質結合正弦函數性質求在區間上值域.【小問1詳解】因為的最小正周期為，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，【小問2詳解】由(1)，又，所以，所以，由已知，所以，所以，所以在區間上的值域為.23.已知函數，其中.(1)若，求的值；(2)判斷函數的零點個數，并說明理由；(3)設，求證：.【答案】(1)(2)1個零點，理由見詳解(3)證明見詳解【解析】【分析】(1)根據解析式直接計算即可；(2)利用導數討論其單調性，結合零點存在性定理判斷即可；(3)利用單調性結合放縮法證明.【小問1詳解】若，則，所以.【小問2詳解】，因為，所以，所以，所以在上單調遞增，又，因為，所以，所以，又，所以在內有唯一零點.【小問3詳解】由(2)可知，，因為，所以，所以，令，則，記，因為，所以，易知在上單調遞增，又因為，所以，所以，因為，所以要證，只需證，即證，令，因為，所以在單調遞增，所以，即，即.綜上，，即.第II卷(能力提升共50分)五、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對且沒錯選得2分，不選、錯選得0分)24.拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，設事件“第一次正面朝上”，事件“第二次正面朝上”，則()A. B.C.事件A與事件B互斥 D.事件A與事件B相互獨立【答案】ABD【解析】【分析】根據對立事件，并事件，互斥與相互獨立事件的概念，結合選項依次判斷即可.【詳解】對于A，試驗的樣本空間為:{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4個樣本點，

所以，故，故A正確;

對于B，試驗的樣本空間為:{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4個樣本點，事件含有(正,正),(正,反),(反,正),這三種結果,故，故B正確；

對于C，{(正,正),(正,反)},{(正,正),(反,正)}，顯然事件,事件都含有“(正,正)這一結果,事件,事件能同時發生,因此事件與事件不互斥,故C不正確;

對于D，,,,所以,所以事件與事件為相互獨立事件，故D正確.故選:ABD.25.已知平面向量滿足，則()A.的最大值為3 B.的最大值為3C.的最大值為6 D.的最大值為2【答案】ABD【解析】【分析】設的夾角為，通過平方轉化得，利用三角函數的性質求出其最大值，即可判斷A；選項BCD采用同樣的方法求解判斷即可.【詳解】設的夾角為，，，∵，∵，∴，∴當時，有最大值3，故A正確；∵，∵，∴，∴當時，有最大值3，故B正確；∵，∴，∵，∴，∴當時，有最大值，所以的最大值為，故C錯誤；∵，要使取最大值，只需考慮的情形，此時，∵，∴，∴當時，有最大值，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.26.已知函數，若滿足，對，都使得成立，則的值可能為()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由條件可得，的值域包含于函數，的值域，求函數，的值域，并對各選項逐一檢驗，可得結論.【詳解】因為對，都使得成立，所以，的值域包含于函數，的值域，函數，的值域為，所以，的值域包含區間，由，可得，當時，，所以，的值域為不滿足要求，A錯誤；當時，，，所以，的值域為滿足要求，B正確；當時，，，所以，的值域為滿足要求，C正確；當時，，，所以，的值域為不滿足要求，D錯誤；故選：BC.27.已知正實數、、滿足，，其中，則()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用換底公式可判斷A選項；設，，利用對數與指數的互化，以及冪函數的單調性可判斷B選項；比較、的大小，利用作商法結合冪函數的單調性可判斷C選項；利用基本不等式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，所以，由，可得，則，所以，故A對；對于B選項，設，則，，因為冪函數在上為增函數，所以，即，設，則，，因為冪函數在上為增函數，所以，即，則，故B錯；對于C選項，因為，且，，所以，所以，則，故，所以，即，故C對；對于D選項，由基本不等式，可得，所以，，故D對.故選：ACD.六、解答題(本大題共2小題，共30分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，)28.如圖，正四棱錐的高為，體積