第14章

全等三角形第2節三角形全等的判定第5課時用斜邊、直角邊判定直角三角形全等課堂講解課時流程12判斷兩直角三角形全等的方法：斜邊、直角邊判斷兩三角形全等的綜合應用逐點導講練課堂小結課后作業判定兩個直角三角形全等，除了根據上面一般三角形的判定方法外，有沒有特定的方法？1知識點判斷兩直角三角形全等的方法：斜邊、直角邊知1－導已知：Rt△ABC，其中∠C為直角[如圖（1）].求作：Rt△A′B′C′，使∠C′為直角，A′C′=AC，A′B′=AB.知1－導作法：（1）作∠MC′N=∠C=90°；（2）在C′M上截取C′A′=CA；（3）以A′為圓心、AB長為半徑畫弧，交C′N于點B′；（4）連接A′B′.知1－導則Rt△A′B′C′

[如圖（2）]就是所求作的直角三角形.將畫好的Rt△A′B′C′與Rt△ABC疊一疊，看看它們能否完全重合？由此你能得到什么結論？知1－導歸

納（來自教材）判定兩個直角三角形全等的另一種方法是：定理斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.簡記為“斜邊、直角邊”或“HL”.知1－講判定兩三角形全等的方法：斜邊、直角邊：1．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡記為“斜邊、直角邊”或“HL”)．知1－講2．(1)書寫格式：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∵∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.(2)注意：書寫時必須強調直角三角形．知1－講3．易錯警示：“HL”是判定兩個直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面學習的判定三角形全等的方法在直角三角形中仍然適用．知1－講例1已知：如圖，∠BAC＝∠CDB＝90°，AC=DB.

求證：AB=DC.知1－講證明：∵∠BAC＝∠CDB＝90°，（已知）∴△BAC，△CDB都是直角三角形.又∵AC=DB，（已知）BC=CB，（公共邊）∴Rt△ABC≌Rt△DCB.（HL

）∴

AB=DC.（全等三角形的對應邊相等）（來自教材）知1－講例2〈重慶江津，節選〉如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF.求證：Rt△ABE≌Rt△CBF.導引：根據AB＝CB，∠ABE＝∠CBF＝90°，AE＝CF，可利用“HL”證明Rt△ABE≌Rt△CBF.知1－講證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．（來自《點撥》）知1－講總

結應用“HL”判定兩個直角三角形全等，書寫時，兩個三角形符號前要加上“Rt”．（來自《點撥》）知1－練1(中考·西寧)下列可使兩個直角三角形全等的條件是

(

)A．一個銳角對應相等

B．兩個銳角對應相等C．一條邊對應相等

D．兩條邊對應相等（來自《典中點》）D知1－練2如圖，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，則△AOD與△AOP全等的理由是(

)A．SSS

B．ASA

C．SSA

D．HL（來自《典中點》）D2知識點判斷兩三角形全等的綜合應用知2－講判定直角三角形全等的“四種思路”：(1)若已知條件中有一組直角邊和一組斜邊分別相等，用“HL”判定．(2)若有一組銳角和斜邊分別相等，用“AAS”判定．知2－講(3)若有一組銳角和一組直角邊分別相等，①直角邊是銳角的對邊，用“AAS”判定；②直角邊是銳角的鄰邊，用“ASA”判定．(4)若有兩組直角邊分別相等，用“SAS”判定．知2－講例3已知：如圖，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的兩點，且AE=CF.求證：BF=DE.證明：在△ABC和△CDA中，∵∴△ABC≌△CDA.（SSS)∴∠1=∠2.（全等三角形的對應角相等）知2－講證明：在△ABC和△CDA中，∵∴△ABC≌△CDA.（SSS)∴∠1=∠2.（全等三角形的對應角相等）知2－講在△BCF和△DAE中，∵∴△BCF≌△DAE.（SAS

）∴BF=DE.（全等三角形的對應邊相等）（來自教材）知2－講例4證明：全等三角形對應邊上的高相等.已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′.AD，A′D′分別是△ABC和△

A′B′C′的高.求證：AD=A′D′.知2－講證明：∵△ABC≌△A′B′C′，（已知）∴AB=A′B′，∠B=∠B′.（全等三角形的對應邊相等、對應角相等）∵AD，A′D′分別是△ABC，△A′B′C′的高，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，（垂直的定義）知2－講在△ABD與△A′B′D′中，∵∴△ABD≌△A′B′D′.（AAS)∴AD=A′D′.（全等三角形的對應邊相等）（來自教材）本題還有更簡便的證法，你想過嗎？知2－講總

結全等三角形的性質：全等三角形對應邊上的高、中線、對應角的平分線對應相等。知2－講例5

如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連接CD，EB.求證：CF＝EF.知2－講導引：(思路1)證CF，EF所在的兩個三角形全等．由Rt△ABC≌Rt△ADE，可得邊角相等，進一步證得△ACD≌△AEB，進而證出△CDF≌△EBF，所以可得CF＝EF.(思路2)要證CF＝EF，可證BF＝DF.連接AF，構造兩個直角三角形，且AF是公共邊，可證得Rt△ABF≌Rt△ADF，進而得出BF＝DF.（來自《點撥》）知2－講證明：方法一：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，

即∠DAC＝∠BAE.知2－講在△ACD和△AEB中，∴△ACD≌△AEB(SAS)．∴CD＝EB，∠ACD＝∠AEB.知2－講又∵∠ACB＝∠AED，∴∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB，

即∠DCF＝∠BEF.在△CDF和△EBF中，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.知2－講方法二：連接AF.∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴CB＝ED，AB＝AD.在Rt△ADF和Rt△ABF中，∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL)．∴DF＝BF.∴CB－BF＝ED－DF，即CF＝EF.（來自《點撥》）知2－練1下列條件不能使兩個直角三角形全等的是(

)A．斜邊和一銳角對應相等B．有兩邊對應相等C．有兩個銳角對應相等D．有一直角邊和一銳角對應相等（來自《典中點》）C知2－練2如圖，在△ABC中，AD⊥BC，D為BC的中點，以下結論：①△ABD≌△ACD；②AB＝AC；③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分線．其中正確的有(

)A．1個B．2個

C．3個D．4個（來自《典中點》）D知2－練如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D，下面四個結論：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD－BE＝DE.其中正確的是________．（來自《典中點》）①②④知2－練4如圖，MN∥PQ，AB⊥PQ，點A，D在直線MN上，點B，C在直線PQ上，