難點21直線方程及其應用

直線是最簡單的兒何圖形，是解析兒何最基礎的部分，本章的基本概念；

基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析

兒何重要的基礎內容.應達到熟練掌握、靈活運用的程度，線性規劃是直線方程

一個方面的應用，屬教材新增內容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直

線方程與其他知識綜合的問題是學生比較棘手的.

?難點磁場

(★★★★★)已知kzIVl,I6IVLIcKL求證：abc+2>a-I*b4*c0

?案例探究

［例1］某校一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽

室，為節約經費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，

已知鏡框對桌面的傾斜角為曲90°W0V180。)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框

下邊緣分別相距am,hm,(a>b)o問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？

命題意圖：本題是一個非常實際的數學問題，它不僅考查了直線的有關概

念以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉化為數學

問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：三角函數的定義，兩點連線的斜率公式，不等式法求最值.

錯解分析：解決本題有兒處至關重要，一是建立恰當的坐標系，使問題轉

化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉化成求tanACB的最大值，如果坐

標系選擇不當，或選擇求shiACB的最大值，都將使問題變得復雜起來。

技巧與方法：欲使看畫的效果最佳，應使NACB取最大值，欲求角的最值,

又需求角的一個三角函數值.

解：建立如圖所示的直角坐標系，A0為鏡框邊，AB為畫

的寬度,0為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點0(%,0)。

>0),欲使看畫的效果最佳，應使NAC3取得最大值.

由三角函數的定義知：A、3兩點坐標分別為(acosiasina)、

(bcosa,bsina),于是直線AC、8c的斜率分別為:

k=tanxCA=asma

ACacosa-x

bsina

=tanxCB=

bcosa-x

于是tanACB=LFc=("6)-xsine=(a-6>sina

2

1+L?心cab-(a+b)XCosa+x±+x_(a+b).cosa

X

?

由于NACB為銳角，且x>0,則tanACBW(q-b)sina，當且僅當眩=x,

14ab-(a+b)cosaX

即工=而時，等號成立，此時NAC8取最大值，對應的點為C(而,0),因止匕,

學生距離鏡框下緣疝cm處時，視角最大，即看畫效果最佳.

［例2］預算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌

椅的總數盡可能的多，但椅子不少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問桌、

椅各買多少才行？

命題意圖：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一

個應用，本題主要考查找出約束條件與目標函數、準確地描畫可行域，再利用

圖形直觀求得滿足題設的最優解，屬★★★★★級題目。

知識依托：約束條件，目標函數，可行域，最優解.

錯解分析：解題中應當注意到問題中的桌、椅張數應是自然數這個隱含條

件，若從圖形直觀上得出的最優解不滿足題設時，應做出相應地調整，直至滿

足題設.

技巧與方法：先設出桌、椅的變數后，目標函數即為這兩個變數之和，再

由此在可行域內求出最優解.

解：設桌椅分別買小y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件

50x+20y<2000200

x=----

”九日j50x+20y=20007

為.田〈，解得《

y<1.5x[y=x200

k=-

x>0,y>0

點的坐標為（一，一）

fr=25

,50x+20y=2000

由一，解得75

j=1.5xy=—

.?.B點的坐標為（25,y）

所以滿足約束條件的可行域是以A（竿，竿），8（25,個）,

0（0,0）為頂點的三角形區域（如右圖）

由圖形直觀可知，目標函數Z=x+y在可行域內的最優解為

（25,T），但注意x￡N,y￡N",故取y=37

故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇.

［例3］拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行

于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線曠=2*。＞0）,一光源在點M（日,4）處,

由其發出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P,折射后又射向

拋物線上的點Q,再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直

線/：2%—4），-17=0上的點N,再折射后又射回點M（如下圖所示）

匕

⑴設P、。兩點坐標分別為(X],乃)、(%2,2)，證明:-.P?；

(2)求拋物線的方程；

(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對

稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.

命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個重要應用.本題是一道與物理中的

光學知識相結合的綜合性題目，考查了學生理解問題、分析問題、解決問題的

能力，屬★★★★★★級題目.

知識依托：韋達定理，點關于直線對稱，直線關于直線對稱，直線的點斜

式方程，兩點式方程.

錯解分析：在證明第⑴問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時.

技巧與方法：點關于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關鍵.

(1)證明：由拋物線的光學性質及題意知

光線尸。必過拋物線的焦點廠(與，0),

設直線PQ的方程為y=k(x~^)

①

由①式得九二y+與，將其代入拋物線方程))=2px中,整理,得y2——y—p2=0,

k2k

由韋達定理，yiy2=~p2-

當直線PQ的斜率角為90°時，將％=與代入拋物線方程，得y=±p,同樣得

到乃?力=

(2)解：因為光線QN經直線/反射后又射向M點，所以直線與直線QN

關于直線/對稱，設點M(2,4)關于/的對稱點為(『，y’)，貝

八41

解得

￡+-,,A

2x——--17=0

直線QN的方程為y=~\,Q點的縱坐標丫2=—1,

由題設P點的縱坐標了尸4,且由(1)知：yi?乃=一pL則4?(―1)=-p?,

得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x.

(3)解:將y=4代入y2=4x,得x=4,故尸點坐標為(4,4)

將y=~1代入直線I的方程為2x—4y—17=0,得x=y,

故N點坐標為(^,—1)

由尸、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y—12=0,

設M點關于直線NP的對稱點MGi")

又1)的坐標是拋物線方程產=敘的解，故拋物線上存在一點(：，-

1)與點M關于直線PN對稱.

?錦囊妙計

1.對直線方程中的基本概念,要重點掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、

截距)等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關的問題等.

2.對稱問題是直線方程的一個重要應用，中學里面所涉及到的對稱一般都

可轉化為點關于點或點關于直線的對稱.中點坐標公式和兩條直線垂直的條件是

解決對稱問題的重要工具.

3.線性規劃是直線方程的又一應用.線性規劃中的可行域，實際上是二元一

次不等式(組)表示的平面區域.求線性目標函數z=ax+by的最大值或最小值時，

設uax+by,則此直線往右(或左)平移時，「值隨之增大(或減小)，要會在可行

域中確定最優解。

4.由于一次函數的圖像是一條直線，因此有關函數、數列、不等式、復數

等代數問題往往借助直線方程進行，考查學生的綜合能力及創新能力.

?殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★★)設M=1°200I+[N=1°+1,則M與N的大小關系為()

1O2001+12O2002+1

A.M>NB.M=NC.M<ND.無法判斷

"★★★★★)三邊均為整數且最大邊的長為11的三角形的個數為()

A.15B.30C.36D.以上都不

對

二、填空題

3.(****)直線2%一y一4=0上有一點尸，它與兩定點A(4,—1),B(3,4)

的距離之差最大，則尸點坐標是_________.

4.(★★★★)自點A(—3,3)發出的光線/射到次軸上，被％軸反射，其反射

光線所在直線與圓4)，+7=0相切,則光線I所在直線方程為.

5.(****)函數/(。)=紅黑的最大值為,最小值為.

6.(*****)設不等式2%—1>加(12—1)對一切滿足麻|忘2的值均成立，則

x的范圍為.

三、解答題

7.(*****)已知過原點0的一條直線與函數y=logsx的圖象交于A、B

兩點，分別過點A、8作y軸的平行線與函數y=log2］的圖象交于C、O兩點.

(1)證明：點C、。和原點。在同一直線上.

(2)當8C平行于x軸時，求點A的坐標.

8.('^*'^^娟設數列｛。"｝的前〃項和工=〃。+〃(〃一1位,(n=1,2,,,?),?>?是常

數且bWO.

(1)證明：｛為｝是等差數列.

(2)證明：以(即4一1)為坐標的點兄(〃=1,2，…)都落在同一條直線上，并寫出

n

此直線的方程.

(3)設a=l,b=g,C是以(⑺為圓心，「為半徑的圓&>0),求使得點丹、巳、

P3都落在圓C外時，r的取值范圍.

參考答案

難點磁場

證明：設線段的方程為y=4x)=(bc—l)x+2—Z?—c,其中歷1Vl,lclV1,1x1V1,且一

".'f(—1)=1—bc+2—h—c=(l—bc)+(l—匕)+(1—c)>0

f(l)=bc—1+2—b—c=(l—Z?)(l—c)>0

???線段y=(bc—1)%+2—b—c(—1VxVl)在x軸上方，這就是說，當laiVI,1例

VI,IdVI時，tMWahc+2>a+b+c.

殲滅難點訓練

一、1.解析:將問題轉化為比較4(-1,一1)與1()2000)及C(1()2002,

1O2(X)I)連線的斜率大小，因為8、。兩點的直線方程為y=^x,點A在直線的

下方，???心8>以3即“>"

答案：A

2.解析：設三角形的另外兩邊長為匕乂則

0<x<ll

0<y<ll

x+y>11

點(x,y)應在如右圖所示區域內

當X=1時，y=U；當x=2時，y=10,ll；

當x=3時一，y=9,10,ll；當x=4時，y=8,9,10,ll;

當％=5時,y=7,8,9,10,ll.

以上共有15個，%,y對調又有15個，再加上(6,6),(7,7),(8,8),(9,

9),(10,10)、(11,11)六組，所以共有36個.

答案：C

二、3.解析：找4關于/的對稱點4',4,B與直線/的交點即為所求的P

點.

答案:P(5,6)

4.解析：光線I所在的直線與圓x2+y2—4x—4y+7=0關于x軸對稱的圓相切.

答案：3x+4y—3=0或4x+3y+3=0

5.解析：/(夕)=嗎口表示兩點(cos8,sin。)與(2,1)連線的斜率.

cos^-2

答案：|0

6.解析：原不等式變為(/—1)加+(1—2%)V0,構造線段f(m)=(x2—l)m+l—2x,

一2?相忘2,則八一2)〈0,且｛2)<0.

AZv->/Y—1V3+I

口木：2<“<2

三、7.⑴證明:設A、B的橫坐標分別為為、必，由題設知修

點A(x,,log8Xi),B(x2Jog8X2).

因為A、8在過點。的直線上，所以01=12^,又點。、。的坐標分別為

x｝x2

Ul,10g2Xi)>(X2,log2x2).

由于10g2Xl=310gUl,10g2%2=310gU2,則

_log2Xj_31og8X!_10g2X2_31og8x2

K0C~一，KOD__

xxx{x2x2

由此得岫c=A。。，即0、c、。在同一直線上.

(2)解：由BC平行于X軸，有log2Xi=log8X2,又log2x,=31og^i

???工2二1|3

將其代入陛"=l°g&"，得“[ogguBxJogg,

/x2

由于11>1知lOgUlWO,故為『=3%]%2=石，于是4百，log8月).

9.⑴證明:由條件,得a尸Si=a,當〃22時，

有a”=S"—Sn-}=\_na+n(n—1)/?!一[(八一l)a+(〃-1)(〃-2)。]=a+2(n—l)b.

因此，當〃22時，有Q”一aa-i=[a+2(〃-1)》]—[a+2(〃-2)》]=2b.

所以｛。〃｝是以。為首項，2b為公差的等差數歹U.

5s

(?-i)_('_])〃旺〃(〃二1上一

(2)證明：?.》￡(),對于及22,有口-----1—=-----&-------(H-1)Z?_1

2(n-l)b~2

an-a}a+2(〃-V)b-a

???所有的點尸”(Q",2-1)(〃=1,2,…)都落在通過P](Q,a—1)且以!為斜率的直

n2

線上.此直線方程為y—(a—1)=；(x—a),即無一2y+a—2=0.

(3)解：當a=l,b=；時，p“的坐標為(〃,7),使尸41,0)、P2(2,；)、巳(3,1)都

落在圓。外的條件是

(r-I)2+r2>r2「-1)2>0①

(r-1)2+(r--)2>r2即<r-5r+—>0②

24

(r-3)2+(r-l)2>r2r2-8r+10>0③

由不等式①，得

由不等式②，得/或「冶+企

由不等式③，得rV4—后或「>4+而

再注意到&<4-“亨旌4+后

故使P］、P2、P3都落在圓。外時,r的取值范圍是(0，l)U(l,g—行)U(4+n,+

難點22軌跡方程的求法

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點

的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋

求變量間的關系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的

掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這

類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.

?難點磁場

(★★★★)已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數九求

點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.

?案例探究

［例1］如圖所示，已知P(4,0)是圓￥+9=36內的一點，

A、3是圓上兩動點，且滿足乙4尸3=90°,求矩形AP8Q的頂(。罔、

點Q的軌跡方程.

命題意圖：本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程，屬山

★★★★級題目.

知識依托：利用平面兒何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段A8中點

的軌跡方程.

錯解分析：欲求。的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻,

發現不了問題的實質，很難解決此題.

技巧與方法：對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于

求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求

得軌跡方程.

解：設A8的中點為凡坐標為(%,y),則在RtZXAB尸中，IAR=IPRI.

又因為R是弦A8的中點,依垂徑定理:在RtAOA/?中，L4R|2=L4O|2一|OR2=36

-C?+y2)

y.\AR\=\PR\=7U-4)2+/

所以有(%—4)2+J2=36—(f+y2),即x2+y2—4x—10=0

因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運

動.

設QQ,y),R3,yD，因為R是PQ的中點，所以x產等,乃=罟，

代入方程/+/—4x—10=0,得

(空產+即-4.等—10=0

整理得：￥+y2=56,這就是所求的軌跡方程.

［例2］設點A和8為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點，已知

OA±OB,OM±AB,求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、

安徽春招)

命題意圖：本題主要考查“參數法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級

題目.

知識依托：直線與拋物線的位置關系.

錯解分析：當設A、B兩點的坐標分別為（即,力）,但皿）時，注意對“為=歷”

的討論.

技巧與方法：將動點的坐標x、y用其他相關的量表示出來，然后再消掉這

些量，從而就建立了關于小y的關系.

解法一：設4為/1）,8（尤2,2）,加（工,）0依題意，有

yj=4ps①

為2=4眸

②

A.A_1

=③

X|尤2

匕…2=_1④

Xx{-x2

⑤

%一為二丁一月

x}-x2X-Xi

①一②得任1一丁2）01+丁2）=4〃（占一Q）

若為力物則有&二江⑥

X「X2乃+乃

22

①X②,得Q.y2=16pXiX2

③代入上式有為為=-16〃2⑦

⑥代入④，得，^=-土⑧

必+為y

⑥代入⑤，得」^=口=口

>1+丫2X-不力

X-------

4。

所以_4乙=4p()，)?

乃+乃4Px

即4px—y/qS+w)一力2-乃乃

⑦、⑧代入上式，得f+y2—4Px=O(xWO)

當％1=X2時，A8_Lx軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.

故點M的軌跡方程為d+y2—4/=0(尤/0)它表示以(2p,0)為圓心，以2P為半

徑的圓，去掉坐標原點.

解法二：設M(x,y),直線AB的方程為產女無+方

由得k=一t

y

由y2=4p_x及y=kx+b,消去y,得］Cx2+(2kb—4p)x+b2=0

所以修%2=與，消％,得ky2—4py+4pb=0

所以乃丫2=皿，由。4_LQB,得yiy2=一修歷

k

所以馴",b=_4kp

kk2

故y=Ax+b=A(x—4p),用人=一二代入，得f+y?—4px=0(xW0)

)'

故動點M的軌跡方程為f+y2—4px=0(xW0),它表示以(2p,0)為圓心，以2P

為半徑的圓，去掉坐標原點.

［例3］某檢驗員通常用一個直徑為2cm和一個直徑為1cm的標準圓柱，

檢測一個直徑為3cm的圓柱，為保證質量，有人建議再插入兩個合適的同號標

準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？

命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實際問題轉化為

數學問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點.

錯解分析：正確理解題意及正確地將此實際問題轉化為數學問題是順利解

答此題的關鍵.

技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當的坐標系，找到動圓圓心的

軌跡方程.

解：設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為0、4、B,問題轉化

為求兩等圓P、Q,使它們與。。相內切，與。4、0B相外切.GfDCp*

建立如圖所示的坐標系，并設。P的半徑為則

\PA\+\PO\=l+r+\.5~r=2.5

...點P在以A、。為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為

同理尸也在以。、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為

(L；)2+gy2=i②

由①、②可解得尸瑞，與0瑞,-5，?,?一何，(沙+(52=,

141414142V14147

故所求圓柱的直徑為Tcm.

?錦囊妙計

求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法.

(1)直接法直接法是將動點滿足的兒何條件或者等量關系，直接坐標化，

列出等式化簡即得動點軌跡方程.

(2)定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、

拋物線、圓等)，可用定義直接探求.

(3)相關點法根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程.

(4)參數法若動點的坐標(%,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們

可以以這個變量為參數，建立軌跡的參數方程.

求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區別“軌跡”與“軌

跡方程”是兩個不同的概念.

?殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)已知橢圓的焦點是吊、B，尸是橢圓上的一個動點，如果延長

QP到Q，使得IPQHPF2I,那么動點Q的軌跡是()

A.圓B.橢圓

C.雙曲線的一支D.拋物線

22

2.(**'^^)設4、①是橢圓］+?=1的長軸兩個端點，尸1、P2是垂直于

4自2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為()

2222

A.二+匯=1B.t+±=1

9494

2222

D.lj

9494

二、填空題

中，A為動點，B、。為定點，B(-pO),C(pO),且滿

足條件sinC-sin8=gsinA,則動點A的軌跡方程為.

4.(★★★★)高為5m和3m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10m,如

果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(—5,0)、8(5,0),則地面觀測兩旗桿頂端

仰角相等的點的軌跡方程是_________.

三、解答題

5.(****)已知4、B、C是直線/上的三點，且L4BI=I8CI=6,QO'切直

線/于點A,又過8、C作。O異于/的兩切線，設這兩切線交于點尸，求點P

的軌跡方程.

22

6.(***為雙曲線十方=1的實軸為A02，點尸是雙曲線上的一個動點,

引4QL41尸，A2Q1A2P,4。與4Q的交點為。，求。點的軌跡方程.

22

7.(****'^)已知雙曲線上-5=151>0,〃>0)的頂點為4、A,與y軸平

in?n2

行的直線/交雙曲線于點P、Q.

(1)求直線A|P與A2Q交點M的軌跡方程；

(2)當相#〃時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率.

22

★★汜知橢圓］+彳=13>匕>0),點尸為其上一點，八、&為橢

ab

圓的焦點，NQPF2的外角平分線為/，點出關于/的對稱點為Q，&Q交/于

點R.

(1)當尸點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；

⑵設點R形成的曲線為C,直線/：產女(x+&a)與曲線C相交于A、B兩點,

當的面積取得最大值時，求k的值.

參考答案

難點磁場

解：建立坐標系如圖所示，

設IABI=2a,貝IJA(—a,O),8(以,0).

設M(x,y)是軌跡上任意一點.

則由題設，得出=九坐標代入，得忙尤些=兒化簡得

IMBI7u-?)2+r

(1—2)x2+(1—2)y2+2a(1+2)x+(1—2)a2=0

(1)當4=1時，即IMAI=IMBI時，點M的軌跡方程是x=0,點M的軌跡是直

線(y軸).

⑵當4W1時，點M的軌跡方程是W+y2+辿學%+/=0.點M的軌跡是以

1—A

(一耳答,0)為圓心,自為半徑的圓?

殲滅難點訓練

一、1.解析：v\PF}\+\PF2\=2a,\PQ\=\PF2\,

：.\PFx\+\PF^=\PFx\+\PQ\=2a,

即IQQI=2a,.?.動點Q到定點Fi的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.

答案：A

2.解析：設交點一(X,y)A(—3,0)閆2(3,0)11%%)/2(孫一先)

,.，4、Pi、P共線，=y

x-xQx+3

VA2＞尸2、尸共線，.?.”也=上

x-x0x-3

解得%()=2,%=越，代入得圣一單=1,即4_二=1

xx9494

答案：c

二、3.解析：由sin。一sinB=gsinA,得c—

...應為雙曲線一支，且實軸長為巴,故方程為黑-粵=l（X>3.

2

2a3a24

答案：卑-里=l（x>?

a23a24

4.解析：設P（x,y）,依題意有/$=/3，化簡得尸點軌跡方程

J（X+5）2+>而_5）2+>2

為4X2+4/-85X+]00=0.

答案：4X2+4/-85X+100=0

三、5.解：設過8、C異于/的兩切線分別切。。'于。、E兩點，兩切線交

于點P.由切線的性質知：\BA\=\BD\,\PD\=\PE\,\CA\=\CE\,故

\PB\+\PC\=\BD\+\PD\+\PC\=\BA\+\PE\+\PC\

T84I+ICEI=L48I+ICAI=6+12=18>6=IBCI,故由橢圓定義知，點P的軌跡是以尻

C為兩焦點的橢圓，以/所在的直線為％軸，以BC的中點為原點，建立坐標系,

22

可求得動點P的軌跡方程為今+j=lQWO）

8172

6.解:設尸（沏,見）（xW土a）,Q（x,y）.

?；Ai（一。,0）力2（〃,0）.

-----=-1[x=-x（x工±a）

由條件卜+。、。+。得00

--'-'--九--=_T1）'。=---y--

x-axQ-a

而點P（x（）,yo）在雙曲線上，b2x（f—a2yo=a2b2.

22

即^（-X2）-fl2（^-^-）2=?2/72

y

化簡得Q點的軌跡方程為：//―匕2y2=q4（xW土Q）.

7.解：⑴設P點的坐標為（為,月），則Q點坐標為（修,一月）,又有4（一

團,0）人2（m,0）,

則AP的方程為：產」L-Q+機）①

Xj+m

A?。的方程為：y=--V|（x-/n）②

X,-tn

c2

①X②得：y=—--（X2-m2）③

x{-in"

222

又因點尸在雙曲線上，故工-*r=1,即=-^T（Xj2-m2）.

機~nnr

22

代入③并整理得J+、=l.此即為M的軌跡方程.

mn~

（2）當加W〃時，M的軌跡方程是橢圓.

_________2

（1）當機>〃時，焦點坐標為（土_〃2,0）,準線方程為X=±"，離心

〃2

率J/一〃2.

C""""",

m

._________2

（ii）當m<n時，焦點坐標為（0,士而二^一）,準線方程為y=±丁（=，離心率

Vn2-m2

yjn2—m~

e=-----------.

n

8.解：（1）:?點三關于/的對稱點為Q，連接PQ，

ZF2PR=ZQPR,\F2R\=\QR\,\PQ\=\PF2\

又因為/為NQP&外角的平分線，故點B、P、。在同一直線上，設存在

寵(沏,加),Q(xi,yi),FI(—C,0),F2(C,0).

I尸@=l尸2尸1+中。1=爐1尸1+中產21=2。，則（%1+。y+乃2=（2白）2.

又,2

得X]=2x0—cj1=2^0.

(2%o了+(2y())2=(2a)2,x(^+y^=cr.

故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(y^0)

12

(2)如右圖，'：S^OB=^\OA\-\0B\-sir\AOB=^-sinAOB

當NAQB=90°時，S^OB最大值為g/

此時弦心距IOCI=冬1.

在RtZVIOC中，ZAOC=45°,

.\oc\

卓"="5。=2?,

'\0A\aVTTF2

難點23求圓錐曲線方程

求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學生識圖、畫圖、

數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創新思維能力，解決

好這類問題，除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常

常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解

決這類問題常用定義法和待定系數法.

?難點磁場

22

1.(★★★★★)雙曲線3-方=1(5。)的兩個焦點品、&,P為雙曲線上一

點，10尸1〈5,1尸尸11,爐161,1。尸21成等比數列，則/=________.

2.(****)如圖，設圓P滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩

段圓弧，其弧長比為3：1,在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線I：x

-2y=0的距離最小的圓的方程.

?案例探究

［例1］某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸（即

雙曲線的虛軸）旋轉所成的曲面，其中A、4'是雙曲線的頂點，C、C'是冷卻

塔上口直徑的兩個端點，8、夕是下底直徑的兩個端點，已知A4'=14m,CC'

=18m,BB'=22m,塔高20m.

⑴建立坐標系并寫出該雙曲線方程.

（2）求冷卻塔的容積（精確到10n?,塔壁厚度不計，勿取3.14）.

命題意圖：本題考查選擇適當的坐標系建立曲線方程和解方程組的基礎知

識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力，

級題目.

知識依托：待定系數法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標適合方程；積

分法求體積.

錯解分析：建立恰當的坐標系是解決本題的關鍵，積分求容積是本題的重

點.

技巧與方法：本題第一問是待定系數法求曲線方程，第二問是積分法求體

積.

解：如圖，建立直角坐標系xOy,使A4'在％軸上，44'

的中點為坐標原點O,CC與BB'平行于％軸.

設雙曲線方程為4-工=1(“>0力>0),則Q=U4'=7

ah2

又設3(ll,yi),C(9x2)因為點夙C在雙曲線上，所以有

止止T竺2?-i

72b2~72b2

由題意，知丫2一y=20,由以上三式得：y1=-12,為=8"=7收

22

故雙曲線方程為

4998

(2)由雙曲線方程，得光2=3/49

2

設冷卻塔的容積為v(n?),則V=%fxdy=7T^(b2+49)辦:=萬(卜3+49丫)匕2,經

112*-1226

計算，得V=4.25Xl()3(m3)

答：冷卻塔的容積為4.25X103m3.

［例2］過點(1,0)的直線/與中心在原點，焦點在工軸上且離心率為等的

橢圓C相交于A、8兩點，直線y=g%過線段A3的中點，同時橢圓。上存在一

點與右焦點關于直線/對稱，試求直線/與橢圓C的方程.

命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數法求曲線方程的方法，設

計新穎，基礎性強，屬★★★★★級題目.

知識依托：待定系數法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱

問題.

錯解分析：不能恰當地利用離心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當地利

用好對稱問題是解決好本題的關鍵.

技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、8兩點

坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達

定理.

解法一：由e=￡=在，得匕少」,從而斗.

a2a22

設橢圓方程為x2+2），2=202,Aai,y1）,8（尤2）2）在橢圓上.

222222

則X\+2yx=2b~,X2+2y2=2b,兩式相減得，（兩—X2）+2（^I—

"）,之二比=_上

X]一巧2（月+為）

設AB11n點為（的四）,則以B=一，乂Qo,y（））在直線上,yo=：x（）,于是一

2yo22

2yo

—\,kAB=—1,設I的方程為y=-x+1.

右焦點3,0）關于/的對稱點設為（『，y'）,

上=1

x'=l

則xrb,解得

yx'+匕y,=l-b

—=------------1-1

22

由點（1,1一》）在橢圓上，得1+2（1—b）2=2/,/=3a2=[

168

???所求橢圓C的方程為華+92=1,/的方程為產一X+1.

99

22

解法二：由e=-=孚，得從而a=2b,c=b.

a26r2

設橢圓C的方程為x2+2y2=2b~,l的方程為y=%（x—1）,

將I的方程代入C的方程，得（1+2--4信+2F-2/=0,則

4k22k

%1+%2=有記,丁1+丁2=左（七-1）+左（尤2-D=奴修+%2）-2左=一

1+2小

直線/:斗過旗的中點（巖，號），則吊4各,解得心。，或

k=

—1.

若攵=0,則/的方程為y=0,焦點/。,0)關于直線I的對稱點就是F點本身，不

能在橢圓C上，所以攵=0舍去，從而攵=—1,直線/的方程為y=—(x—1),即y=

—x+1,以下同解法一.

［例3］如圖，已知△PQ尸2的面積為名，尸為線段。1尸2的一個三等分點，

4

求以直線。尸|、OP2為漸近線且過點P的離心率為浮的雙曲線方程.

命題意圖：本題考查待定系數法求雙曲線的方程以及綜合運用所學知識分

析問題、解決問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：定比分點坐標公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點

的坐標適合方程.

錯解分析：利用離心率恰當地找出雙曲線的漸近線方程是本題的關鍵，正

確地表示出

△PQP2的面積是學生感到困難的.

技巧與方法：利用點P在曲線上和△PQP2的面積建立關于參數a、b的兩

個方程，從而求出a、b的值.

解：以。為原點，NPQP2的角平分線為X軸建立如圖所示的直角坐標系.

設雙曲線方程為0-2=1（。＞0力＞0）

由e2=S=i+（2）2=（恒）2,得2=3

a~a2a2

???兩漸近線。修、。。2方程分別為丁=3%和產-齊

設點P1（X1,：X1）,尸2（、2,一日切）（即＞。.＞。），則由點P分尸]尸2所成的比'=^^=2,

Z.ZI/

得P點坐標為（上馬,土二）,又點P在雙曲線4-駕=1上，所以

32a19a2

（內+2々15-2.”尸_1

-荷9^'

即（％1+2]2）2一（為一2尤2）2=9，/,整理得8修％2=9屋

①

又I°PJ=卜+,=乎匹,|°P1=卜2+卜2=半七

11131227

■-S^oP2--\OP.\-\OP2lsinP,OP2^-.-X]X2.-=-

即X\Xi=-

由①、②得/=4,/=9

故雙曲線方程為二--=1

?錦囊妙計

一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”

的步驟.

定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.

定式——根據“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的

焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0).

定量——由題設中的條件找到“式”中特定系數的等量關系，通過解方程

得到量的大小.

?殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)已知直線無+2y—3=0與圓x2+y2+x—6y+m=0相交于P、Q兩點，

O為坐標原點，若OP1OQ,則相等于()

A.3B.-3C.lD.-1

2.(***娟中心在原點，焦點在坐標為(0,±5&)的橢圓被直線3x-y-

2=0截得的弦的中點的橫坐標為g,則橢圓方程為()

A2X22),22/2y2,

A.+——=1B.+——=1

25757525

2222

C二+"=1D二+”=1

25757525

二、填空題

3.(****)直線I的方程為y=x+3,在I上任取一點P,若過點P且以雙曲

線12?-4/=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為

4.(★★★★)已知圓過點P(4,—2)、Q(—1,3)兩點，且在y軸上截得的線

段長為46，則該圓的方程為.

三、解答題

5.(*****)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在％軸上，它的一個焦點

為F,M是橢圓上的任意點，IMW的最大值和最小值的兒何平均數為2,橢圓上

存在著以產X為軸的對稱點M和知2，且1跖%1=生普，試求橢圓的方程.

6.(****)某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需

用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.

a

ACnEFB

7.(*****)已知圓Ci的方程為(x—2)?+(y—l)2=g,

橢圓G的方程為，+g=l(a>b>。)，C2的離心率為孝，

如果G與Q相交于A、8兩點，且線段A3恰為圓G的直徑，求直線A3的方

程和橢圓Q的方程.

參考答案

難點磁場

1.解析：設尸1(—c,0)、尸290)、P(X,y),則

222222

IPFII+IPF2I=2(IPOI+IFIOI)<2(5+C),

即IPQE+I尸&F<50+2C2,

222

XV\PFXl+IPF2l=(IPF11-IPF2I)+2IPF11?\PF2\,

依雙曲線定義，有I尸吊ITPF2l=4,

依已知條件有IPFil?IP6I=IQ&F=4C2

22

16+8c<50+2C、2,.)c<—,

3

又C2=4+Z?2<—Z?2<—,b1=1.

33

答案：1

2.解法一：設所求圓的圓心為尸(。力)，半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離

分別為依、\a\

?.?圓P截y軸所得弦長為2,.」232+1

又由題設知圓P截入軸所得劣弧對的圓心角為90°,故弦長1481=痣「,故

/=2我從而有2b之一/=1

又,點尸（。力）到直線x~2y=0的距離d=1a~^b1,

A/5

22222