2/2專題11四邊形壓軸題綜合目錄熱點題型歸納 1題型01三角形與旋轉變換 1題型02三角形與翻折變換 5題型03三角形類比探究問題 8中考練場 10題型01四邊形與旋轉變換【解題策略】三角形全等和三角形相似的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性質，旋轉性質、平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。【典例分析】例.（2023·浙江衢州·中考真題）如圖1，點為矩形的對稱中心，，，點為邊上一點，連接并延長，交于點，四邊形與關于所在直線成軸對稱，線段交邊于點．(1)求證：；(2)當時，求的長；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點，.記四邊形的面積為，的面積為.當時，求的值．【變式演練】1．（2023·遼寧盤錦·二模）如圖，已知正方形和正方形．(1)在圖1中，點E，F，G分別在邊，，上，求出的值．(2)將正方形繞點A順時針旋轉至圖2所示位置，連接，，請問（1）中的結論是否發生變化？并加以證明；(3)如果正方形的邊長為5，正方形的邊長為3．當正方形繞點A順時針旋轉至點E，F，B三點共線時，請直接寫出的長．2．（2023·遼寧阜新·一模）如圖，四邊形和四邊形都是正方形，且，交于點A，正方形繞點A旋轉，連接，．(1)如圖1，求證：，；(2)如圖2，將繞點F逆時針旋轉，得到線段，連接．①求證：四邊形是平行四邊形；②連接，若，，直接寫出在正方形旋轉的過程中，線段長度的最大值．3．（2023廣東深圳·模擬預測）【綜合探究】在數學綜合與實踐活動課上，興趣小組的同學用兩個完全相同的長方形紙片展開探究活動，這兩張長方形紙片的長為，寬為．(1)【實踐探究】小紅將兩個完全相同的長方形紙片和擺成圖1的形狀，點A與點重合，邊與邊重合，邊，在同一直線上．請判斷：的形狀為_____________；(2)【解決問題】如圖2，在（1）的條件下，小明將長方形繞點A順時針轉動（轉動角度小于），即，邊與邊交于點，連接，平分，交于點，，求的度數；(3)【拓展研究】從圖2開始，小亮將長方形繞點A順時針轉動一周，若邊所在的直線恰好經過線段的中點時，連接，，請直接寫出的面積．題型02四邊形與翻折變換【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，折疊幾何性質、三角形內角和定理的應用，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論．【典例分析】例．（2023·湖南·中考真題）問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點B順時針旋轉．

特例感知：（1）當在上時，連接相交于點P，小紅發現點P恰為的中點，如圖①．針對小紅發現的結論，請給出證明；（2）小紅繼續連接，并延長與相交，發現交點恰好也是中點P，如圖②，根據小紅發現的結論，請判斷的形狀，并說明理由；規律探究：如圖③，將正方形繞點B順時針旋轉，連接，點P是中點，連接，，，的形狀是否發生改變？請說明理由．【變式演練】1.（2023·浙江金華·三模）如圖，平行四邊形中，，，點是邊上的點，連結，以為對稱軸作的軸對稱圖形．(1)如圖2，當點正好落在邊上時，判斷四邊形的形狀并說明理由；(2)如圖1，當點是線段的中點且時，求的長；(3)如圖3，當點，，三點共線時，恰有，求的長．2．（2023·貴州銅仁·三模）閱讀材料：如圖，在矩形中，點O是的中點，點E是邊上動點，將沿翻折得，連接并延長交邊于點M，連接．【發現問題】（1）如圖①，判斷的形狀是________三角形．【探究發現】（2）如圖②，當E、F、C三點在一條直線上時，求證：M為邊中點【拓展遷移】（3）如圖③，延長交射線于點N，當，，時，求的長．3．（2023·河南洛陽·二模）綜合與實踐

(1)【操作發現】如圖1，諸葛小組將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內部的點M處，折痕為，再將紙片沿過點A的直線折疊，使與重合，折痕為，請寫出圖中的一個角：______．(2)【拓展探究】如圖2，孔明小組繼續將正方形紙片沿繼續折疊，點C的對應點恰好落在折痕上的點N處，連接交于點P．①______度；②若，求線段的長．(3)【遷移應用】如圖3，在矩形，點E，F分別在邊上，將矩形沿，折疊，點B落在點M處，點D落在點G處，點A，M，G恰好在同一直線上，若點F為的三等分點，，，請直接寫出線段的長．題型03類比探究問題【解題策略】考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形內角和定理的應用，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論。【典例分析】例．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點落在對角線上，點的對應點記為，折痕與邊，分別交于點，.【活動猜想】（1）如圖2，當點與點重合時，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當，，時，求證：點，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當與滿足什么關系時，始終有與對角線平行？請說明理由.（4）在（3）的情形下，設與，分別交于點，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關系，并說明理由.【變式演練】1．（2023·海南海口·二模）（1）【證明推斷】如圖，在正方形中，點E是對角線上的動點（與點B、D不重合），連接，過點E作，，分別交直線于點F、G．①求證：；②求的值；（2）【類比探究】如圖，將（1）中的“正方形”改為“矩形”，其他條件均不變．①若，，求的值；②若，直接寫出的值（用含m的代數式表示）；（3）【拓展運用】如圖，在矩形中，點E是對角線上一點（與點B、D不重合），連接，過點E作，，分別交直線于點F、G，連接，當，，時，求的長．2．（2023·山東泰安·三模）【例題探究】數學課上，老師給出一道例題，如圖，點在的延長線上，且，若求證：；請用你所學的知識進行證明．【拓展訓練】如圖，點在的延長線上，且，若，，，則的值為______；（直接寫出）【知識遷移】將此模型遷移到平行四邊形中，如圖，在平行四邊形中，為邊上的一點，為邊上的一點若求證：．1．（2023·山西·中考真題）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標記為點）．當時，延長交于點．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數學思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點逆時針方向旋轉，使點落在內部，并讓同學們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當時，過點作交的延長線于點與交于點．試猜想線段和的數量關系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當時，過點作于點，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結果．

2．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點旋轉（），，，連接，．(1)如圖，求證：≌；(2)直線與相交于點．如圖，于點，于點，求證：四邊形是正方形；如圖，連接，若，，直接寫出在旋轉的過程中，線段長度的最小值．3．（2023·山東淄博·中考真題）在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動．(1)操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片和拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：的形狀為________．

(2)深入探究小紅在保持矩形不動的條件下，將矩形繞點旋轉，若，．探究一：當點恰好落在的延長線上時，設與相交于點，如圖②．求的面積．探究二：連接，取的中點，連接，如圖③．求線段長度的最大值和最小值．

4．（2022·內蒙古通遼·中考真題）已知點在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點．(1)如圖1，當點在上，在上，求的值為多少；(2)將正方形繞點逆時針方向旋轉，如圖2，求：的值為多少；(3)，，將正方形繞逆時針方向旋轉，當，，三點共線時，請直接寫出的長度．5．（2022·四川樂山·中考真題）華師版八年級下冊數學教材第121頁習題19.3第2小題及參考答案．2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．證明：設CE與DF交于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．某數學興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進一步探究(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．(2)【知識遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．(3)【拓展應用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．6．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐【思考嘗試】（1）數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數量關系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數量關系，請你思考并解答這個問題．

7．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在矩形中，點O是的中點，點M是射線上動點，點P在線段上（不與點A重合），．(1)判斷的形狀，并說明理由．(2)當點M為邊中點時，連接并延長交于點N．求證：．(3)點Q在