2020-2021學年延安市富縣九年級上學期期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1,關于x的一元二次方程（加-2）/++附之-4=0的一根為0,則物的值是（）

A.±1B.±2C.-1D.-2

2.在正方形、等腰三角形、矩形、菱形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.方程5y2一3=必+3的實數根的個數是（：）

A.0個B.1個C.2個D.3個

4.下列事件中不是隨機事件的是（）

A.從一個裝有藍球、白球的不透明的袋子里摸出一個球，摸出的球是白球

B.小紅經過十字路口恰好遇到紅燈

C.從班里選擇一個同學參加學校座談會，選到的是女生

D.將豆油滴入水中，豆油會浮在水面上

5.點M（3,-2）關于y軸對稱的點的坐標為（）

A.（—3,2）B.（-3,-2）C.（3,—2）D,（2,—3）

6.下列說法正確的是（）

A.“買10張中獎率為卷的獎券必中獎”是必然事件

B.“汽車累計行駛10000km,從未出現故障”是不可能事件

C.天氣預報說“明天下雪的概率為80%”，但“明天下雪”仍是隨機事件

D.射擊奧運冠軍射擊一次，命中靶心是必然事件

7.在平面直角坐標系中，將拋物線37=-/+（>1-1〃+機繞原點旋轉180。，在旋轉后的拋物線

上，當％>4時，y隨工的增大而增大，則TH的范圍是（）

A.m>—7B.m>—7C.m<—7D.m<—7

8.如圖，。。的半徑為1,△ABC是。。的內接三角形，乙4=60。，點。、

E在圓上，四邊形BCDE為矩形，這個矩形的面積是（）E

A.2

B.V3

D.逅

9.如圖，nZBCD中，AD!!BQ,AD=8,CD=4,Z.B=60°.若點P在

線段BC上，且AADP為直角三角形，則符合要求的點P的個數有

A.4個B.3個C.2個D.1個

10.將拋物線y=3/+1繞原點。旋轉180。，則旋轉后的拋物線的解析式為（）

A.y=-|x2+1B.y=-|x2—1C.y——3x2—1D.y=-3/+i

二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）

11.若關于x的方程（6-2）/+mx—3=。是一元二次方程，則m滿足的條件是

12.如圖，48是O。的直徑，C為圓上一點，乙4=60°,OD1BC,。為垂足，力《

且。。=10,則4B=,BC=.,V

13.如圖，從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度九（單位：米）與小球運動時間t（單位：秒）的函數

關系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球運動中的最大高度九謾大=米.

14.如圖，已知直線力B〃CD,直線I與直線4B、CD相交于點，E、F,將I繞點E逆時針旋轉40。后，

與直線2B相交于點G,若NGEC=70。，那么NGFE=__度.

三、解答題（本大題共11小題，共78.0分）

15.解一元二次方程：%2—x—12=0.

16.問題情境：數學活動課上，老師提出了一個問題：如圖①，已知在AABC中，Z.ACB=90°,AC=

BC,點。為直線AB上的一動點（點。不與點4B重合）連接CD,以點C為旋轉中心，將CD逆時針

旋轉90。得到CE,連接BE,試探索線段AB,BD,8E之間的數量關系.

小組展示：“希望”小組展示如下：解:線段AB,BD,BE之間的數量關系是AB=BE+BD.

證明：如圖①N2CB=90。，Z-DCE=90°

???Z.ACB=Z-DCE

???Z-ACB=Z.DCB=Z.DCE—乙DCB

即NACD=（BCE

???CE是由CD旋轉得到.

??.CE=CD

則在△ZCO和△BCE中，

AC=BC

乙ACD=乙BCE

CD=CE

??.△"0"8。聯依據1）

??.AD=BE（依據2）

AB=AD+BD

??.AB=BE+BD

反思與交流：

（1）上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：

依據1：______

依據2：______

（2）“騰飛”小組提出了與“希望”小組不同的意見，認為還有兩種情況需要考慮，你根據他們的分

類情況直接寫出發現的結論：

①如圖②，當點。在線段4B的延長線上時，三條點段AB,BD,BE之間的數量關系是.

②如圖③，當點。在線段B4的延長線上時，三條線段ZB,BD,BE之間的數量關系是.

（3）如圖④，當點。在線段B4的延長線上時，若CD=4,線段OE的中點為F,連接FB,求FB的長度.

17.如圖所示，直角坐標系內，4(一4,3),F(-2,0),C(-1,2),請你在圖中畫出△ABC關于原點。的

對稱的圖形即△AB'C',并寫出A、B'、C'的坐標,求出△AB'C'的面積.

18.某工廠新生產的一種節能燈泡，設計使用壽命為10000無，現從產品中抽取若干只，在同等條件

下，進行使用壽命檢驗，規定使用壽命不少于10000/1為合格品.有關數據如下：

試驗燈泡數/只20401002004001000

合格燈泡數/只193791179361902

合格頻率——————

(1)計算各批燈泡的合格頻率；

(2)根據頻率的穩定值，估計這種燈泡的合格率(合格品的概率)(精確到0.1).

19.某大型超市7月份的銷售額為100萬元，9月份的銷售額比8月份的銷售額多24萬元，若7月份到9

月份每個月銷售額的增長率相同，求：

(1)7月份到9月份每個月銷售額的增長率;

(2)9月份的銷售額.

20.畫出如圖所示的底面為正三角形的直棱柱的表面展開圖(尺寸大小自選).

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數圖象的頂點坐標為(2,-3),該圖象與％軸相交于點4

B,與y軸相交于點C,其中點4的橫坐標為-1.

(1)求該二次函數的表達式；

(2)點P是直線BC下方，拋物線上的一個動點，當APBC面積取得最大值時，求點P的坐標和APBC面

積的最大值.

22.把4張普通撲克牌；方塊3,紅心6,黑桃10,紅心6,洗勻后正面朝下放在桌面上.

(1)從中隨機抽取一張牌是黑桃的概率是多少？

(2)從中隨機抽取一張，再從剩下的牌中隨機抽取另一張.請用表格或樹狀圖表示抽取的兩張牌牌面

23.如圖，等腰三角形2BC的底邊8c=20cm，。是腰48上一點，且CD=16cm,

D,

BD=12“i.求2B的長度.

24.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+2久+c與x軸交于4(一1,0),B(3,0)兩點，與y軸

交于點C.

(1)求拋物線y=ax2+2x+c的解析式；

(2)點。為拋物線上對稱軸右側、久軸上方一點，久軸于點E,DF〃/1C交拋物線對稱軸于點F,

求DE+DF的最大值；

(3)①在拋物線上是否存在點P,使以點4,P,C為頂點，4C為直角邊的三角形是直角三角形？若存

在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；②點Q在拋物線對稱軸上，其縱坐

標為t,請直接寫出AACQ為銳角三角形時t的取值范圍.

25.某數學興趣小組在數學課外活動中，研究三角形和正方形的性質時，做了如下探究：在AABC中，

ABAC=90°,48=2C,點D為直線BC上一動點(點。不與8,C重合)，以4。為邊在4。右側作

正方形4DEF,連接CF.

(1)觀察猜想

如圖①，當點D在線段BC上時.

①8C與CF的位置關系為：;

②BC,CD,CF之間的數量關系為：；(將結論直接寫在橫線上)

(2)數學思考

如圖②，當點。在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成

立，請你寫出正確結論再給予證明;

(3)拓展延伸

如圖③，當點D在線段BC的延長線上時，延長B4交CF于點G,連接GE,若已知AB=2vLeD=:BC,

請求出GE的長.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：由于方程一根為0,故將％=。代入（幽-2）x，+3x+幽'-4=0中

得：m2-4,m=±2

由于方程為一元二次方程，故機的值不可以等于2.

故選D

2.答案：C

解析：解：中心對稱圖形有正方形、矩形、菱形；

軸對稱圖形有：正方形、等腰梯形、矩形、菱形，

既是中心對稱又是軸對稱的圖形有正方形、矩形、菱形，

故選：C.

根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：

軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；

中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

3.答案：C

解析：解：5y2-3=V+3,

4y2—6,

即實數根的個數是2個，

故選C

先移項，再系數化成1,最后開方，即可得出選項.

本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程.

4.答案:D

解析：解：4、從一個裝有藍球、白球的不透明的袋子里摸出一個球，摸出的球是白球是隨機事件;

夙小紅經過十字路口恰好遇到紅燈是隨機事件；

c、從班里選擇一個同學參加學校座談會，選到的是女生是隨機事件；

。、將豆油滴入水中，豆油會浮在水面上是必然事件；

故選：D.

根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型.

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生的事

件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，

可能發生也可能不發生的事件.

5.答案：B

解析：解：由M(3,-2)關于y軸對稱的點的坐標為(一3,-2).

故選：B.

根據關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數，可得答案.

本題考查了關于y軸對稱的點的坐標，關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸

對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數.

6.答案：C

解析：解：4“買10張中獎率為春的獎券必中獎”是隨機事件，故原命題錯誤，不符合題意；

B、汽車累計行駛10000km,從未出現故障”是隨機事件，故原命題錯誤，不符合題意；

C、天氣預報說“明天下雪的概率為80%”，但“明天下雪”仍是隨機事件，正確，符合題意；

。、射擊奧運冠軍射擊一次，命中靶心是隨機事件，故原命題錯誤，不符合題意，

故選：C.

根據隨機事件的概念、概率的意義分別對每一項進行分析，即可得出答案.

此題考查了隨機事件、概率的意義，正確理解概率的意義是解題的關鍵.

7.答案：B

解析：解：將拋物線y=-/+(機一1)尤+機繞原點旋轉180。后，得到的圖象的解析式為一y=

—(―x)2+(m—1)(—x)+m,

即y=%2+(m—l)x—m,

??,在旋轉后的拋物線上，當久>4時，y隨x的增大而增大，

m-1,4

???———<4,

解得，m>-7,

故選：B.

根據關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，可得旋轉后的拋物線，根據二次

函數的性質得到-T24,解得即可.

本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象與幾何變換，關于原點對稱的點的橫坐標互

為相反數，縱坐標互為相反數，將自變量、函數值都換成相反數是解題關鍵.

8.答案：B

解析：解：連結BD、0C,如圖，

???乙BCD=90°,

BD為。。的直徑，

BD=2,

???△ABC為等邊三角形，

Z.A=60°,

???(BOC=2Z-A=120°,

而。8=OC,

???乙CBD=30°,

在BCD中，CD=^BD=1,BC=WCD=W，

矩形BCDE的面積=BC-CD=V3,

故選:B.

連接BD、OC,根據矩形的性質得NBCD=90。，再根據圓周角定理得BD為。。的直徑，利用圓周角

定理得到NBOC=2/4=120。，根據含30。的直角三角形三邊的關系得到CD==1,BC=

於CD=V3,然后根據矩形的面積公式求解.

本題考查了三角形的外接圓與外心，垂徑定理，圓周角定理，等邊三角形的性質和矩形的性質，關

鍵是求出BC的長.

9答案:B

解析：解：如圖，連接AC,取BC的中點K,連接4K.

?.?四邊形4BCD是平行四邊形，

???AB=CD=4,AD=BC=4,

■■■BK=KC=4,

BA=BK,

???ZB=60°,

"'-AABC是等邊三角形，

AK=BK=KC,

：.Z.BAC=90°,

vAB//CD,

：./.ACD=ZBXC=90°,

.?.以AD為直徑作。。交BC于P2，「3，此時△ADP2，△4DP3是直角三角形，

當ND4Pl=90。時，△D4P是直角三角形，

符合條件的點P有三個，

故選:B.

如圖，連接2C,取BC的中點K,連接力K.首先證明NBAC=90°,推出“CD=90°,以4D為直徑作。。

交BC于P2,P3,此時AADPs是直角三角形，當ND2Pi=90。時，4P是直角三角形，所

以符合條件的點P有三個.

本題考查圓周角定理，平行四邊形的性質，直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌

握基本知識，屬于中考常考題型.

10.答案：c

解析：解：y=3/+1的頂點坐標為(0,1),

???拋物線y=3/+1繞原點。旋轉180。，

???旋轉后的拋物線的頂點坐標為(0,-1),

???旋轉后的拋物線的解析式為y=-3久2一1.

故選：c.

求出原拋物線的頂點坐標，再根據關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數求出旋轉后的

拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式解析式寫出即可.

本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數解析式的變化更簡便.

11.答案：m豐2

解析：解：「關于久的方程（機-2）/+ni久一3=0是一元二次方程，

m—20,即m42.

故答案為：m豐2.

利用一元二次方程定義判斷即可求出山的值.

此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關鍵.

12.答案：40；20>/3

解析：解：「力呂是o。的直徑，

ZC=90°,

???ZB=90°-NA=90°-60°=30°,

OD1BC,

BD=CD,

在RtAOBD中，zS=30°,

OB=20D=20,BD=WOD=10V3，

AB=20B=40,BC=2BD=20相.

故答案，40,20V3.

根據圓周角定理，由力B是。。的直徑得到NC=90。，則利用互余得到NB=30。，根據垂徑定理由

OD18c得到8。=CD,然后根據含30度的三角形三邊的關系可計算出。8、8D,從而可得到48和BC

的長.

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓

心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了垂

徑定理和含30度的三角形三邊的關系.

13.答案：4.9

解析:解:h=9.8t-4.9t2

=4.9[-（t-I）2+1]

當t=1時，

函數的最大值為4.9米，

這就是小球運動最大高度.

把拋物線解析式化成頂點式，即可解答.

本題涉及二次函數的實際應用，難度中等.

14.答案：70

解析：

本題考查了旋轉的性質，平行線的性質的應用，能根據平行線的性質得出NGFE=NFED是解此題的

關鍵.

求出NFED,根據平行線的性質得出NGFE=NFED,即可得出結論.

解：,?,將，繞點E逆時針旋轉40。后，與直線相較于點G,

乙GEF=40°,

/-GEC=70°,

乙FED=180°-40°-70°=70°,

???AB/1CD,

乙GFE=乙FED=70°,

故答案為70.

15.答案：解：??,/一x-12=0,

(%—4)(x+3)=0,

%—4=0或x+3=0,

%]=4,x2=—3.

解析：首先把一元二次方程/-x-12=0轉化成(x-4)Q+3)=0,然后解兩個一元一次方程即

可.

本題主要考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題的關鍵是掌握因式分解法解一元二次

方程的步驟，屬于基礎題.

16.答案：解：(1)依據1：S4S,依據2：全等三角形對應邊相等；

(2)①BD,BE之間的數量關系是4B=BE—BD.

@BD,BE之間的數量關系是48=BD-BE.

⑶???^ACB=90°,AC=BC,

：.Z.ABC=ABAC=45°

???AACD=90°-/.ACE,乙BCE=90°-/.ACE,

???Z-ACD=乙BCE,

AC=BC

???在△ADC^ABEC中，\AACD=乙BCE

CD=CE

：.AACD=ABCE(SAS),

???乙CAD=Z-CBE,

???乙CAB=45°,

???土CAD=135°,

Z.CBE=135°,

又???AABC=45°

???乙DBE=乙CBE-/.ABC=135°-45°=90°

??.△DBE是直角三角形

???線段DE的中點為點F,

-1

BF=-DE,因為在Rt△￡)￡1￡■中，CD=CE=4,

BF=2V2.

解析：解：(1)依據1：sas,依據2：全等三角形對應邊相等;

(2)①BD,BE之間的數量關系是4B=BE-BD.

@BD,BE之間的數量關系是AB=BD-BE.

(3)???AACB=90°,AC=BC,

???/.ABC=^BAC=45°

???AACD=90°-4ACE,乙BCE=90°-AACE,

??.Z.ACD=乙BCE,

???在△ADC和△BEC中，

AC=BC

乙ACD=乙BCE

CD=CE

AC。三△BCE(S/S),

Z.CAD=Z-CBE,

???/,CAB=45°,

???4CAD=135°,

???乙CBE=135°,

又???/.ABC=45°

.-.Z.DBE=乙CBE-乙ABC=135°-45°=90°

??.△D8E是直角三角形

???線段DE的中點為點F,

'BF'

因為在RtADCE中，CD=CE=4,

???°￡=慈=爰=4僅

2

BF=2V2.

(1)根據三角形判定定理和性質即可填寫;

(2)根據△4CDmABCE得出2D=BE,即可得出力B,BD,BE之間的數量關系;

(3)先求得AACD^ABCE得出NCTI。=乙CBE,進而求得/D8E=90。然后通過解直角三角形即可求

得;

本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質以及直角三角函數的應用，本題的關

鍵是熟練掌握三角形的判定定理以及三角形全等的性質;

17.答案：解：如圖所示：

4(4,-3),5X2,0),C'(l,-2)；

111

S△A'B'C'=3x3--xlx3--xlx2--x2x3

222

3

=9---1-3

2

_7

-2,

解析：根據關于中心對稱的點的坐標特點畫出并寫出4、4、C，的坐標，求出其面積即可.

本題考查的是圖形的旋轉，熟知圖形旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵.

18.答案：0.950,9250.910,8950.9030.902

解析：解：（1）19+20=0.95,

37+40=0.925,

91+100=0.91,

179+200=0,895,

361+400=0,903,

902+1000=0.902,

各批合格頻率如下:

試驗燈泡數/只20401002004001000

合格燈泡數/只193791179361902

合格頻率0.950.9250.910.8950.9030.902

故答案為:0.95,0.925,0.91,0.895,0.903,0.902；

(2)從上面的數據可以看出合格頻率穩定在(0.95+0.925+0.91+0.895+0.903+0.902)-6-0.9

附近，估計第一批燈泡的合格率為0.9.

(1)直接用頻率的計算公式計算后填表即可；

(2)根據各樣品中燈泡的合格頻率求其平均值，即可得出答案.

考查利用頻率估計概率.大量反復試驗下頻率穩定值即概率.用到的知識點為：頻率=所求情況數

與總情況數之比.

19.答案：解：設每個月銷售額的增長率為x,由題意得：

(1)100(%+I)2=100(%+1)+24,

解得：期=-1.2(不合題意舍去),%2=0.2=20%.

故所求百分數為20%.

(2)9月份的銷售額：100X1.22=144萬元

解析：(1)題中有一個等量關系：9月份的銷售額x(1+每個月銷售額的增長率)2=7月份的銷售額

+24,根據等量關系列方程，求出解.

(2)把所求結果代入(1)中方程的任何一邊，可以求出答案.

此題考查一元二次方程的應用，根據9月份的銷售額不變列方程，找等量關系是解應用題的關鍵.

解析：根據三棱柱展開圖的特征畫出圖形即可.

本題考查作圖-應用與設計，幾何體的展開圖等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

?？碱}型.

21.答案：解：（1）設拋物線的表達式為：y=a（x—/i）2+k,

則函數的頂點坐標為：（2,-3）,

則y=a（x一2尸一3,

???點力的橫坐標為—1,則點4（一1,0）,將點力的坐標代入上式并解得：a=|,

故拋物線的表達式為：y=|（x-2）2-3=|x2~-I；

⑵過點P作y軸的平行線交8C于點H,

由(1)知：y=|x2_|；令y=0，貝！I工=-1或5,x=0,則y=-1,

故點8、。的坐標分別為：(5,0)、(0,-|),

(1

(5k+b=0fc=-

設直線BC的表達式為：y=kx+b,貝U力=_三，解得：35，

v—3b=--

故直線BC的表達式為：y=|x-|；

設點P的坐標為：(%,*_梟_|),則點”(居家一|),

x22

△PBC面積S=S&PHB+S&PHC=|PHx(物—xc~)=1x5X(|x-|-|x+[x+1)=—|x+

-f<0,故S有最大值，最大值為：若，此時久=|,

o24Z

故點P?，-冷

解析：（1）利用拋物線的頂點式表達式，即可求解；

（2）利用二次函數表達式求出B、C的坐標，得到直線BC的表達式；再利用APBC面積S=SAPHB+

SXPHC=3xPHX（久B—%c），進而求解.

本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數圖象上點的坐標特征，其中，正確確定APBC面積

的表達式，是本題解題的關鍵.

22.答案：解：（1）???共有4張普通撲克牌；方塊3,紅心6,黑桃10,紅心6,

???從中隨機抽取一張牌是黑桃的概率是：土

（2）畫樹狀圖得：

開始

36106

/K/4\/N/K

610631063663610

???共有12種情況，抽出一對6的2種情況，

;抽出一對的概率為：

61ZO

解析：（1）由4張普通撲克牌；方塊3,紅心6,黑桃10,紅心6,可利用概率公式求得從中隨機抽取

一張牌是黑桃的概率；

（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與抽出一對6的情況，再利用概

率公式求解即可求得答案.

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可

能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所

求情況數與總情況數之比.

23.答案：解：設腰長為x,貝久一12,

BC=20cm,CD=16cm,BD=12cm,

???滿足BO?+亦=BC2t

根據勾股定理逆定理可知，Z.BDC=90°,

AD2+CD2="2,

即：（x-12）2+162=x2,

解得x=y,

腰長力B為言czn.

解析：設腰長為x,貝1|4。=久一12,由（1）可知AZ*=2。2,解方程（*一12）2+162=/,即

可得到腰長.

本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長Q,b,C滿足小+力2=。2,那么這個三角

形就是直角三角形.

24.答案：解：(1)設拋物線解析式為y=。(％+1)(%-3),即丫=。/一2a%-3a,

**?—2d=2,解得a=-19

???拋物線解析式為y=-x2+2%+3；

(2)當％=0時,y=3,則)(0,3),

設直線/C的解析式為y=px+q,

把4(-1,0),C(0,3)代入得|二學=。，解得《二；,

直線4C的解析式為y=3x+3,

如圖1,過。作DG垂直拋物線對稱軸于點G,設。(%,-/+2尤+3),

???DF//AC,

NDFG=N4C。，易知拋物線對稱軸為x=1,

DG^x-1,DF=V10(x-1)，

DE+DF=-x2+2x+3+V10(x-1)=-x2+(2+V10)x+3-V10=-(%-+孩,

-1<0,

...當久=出型，DE+DF有最大值為f；

22

(3)①存在；

如圖2,過點C作4c的垂線交拋物線于點A，?.?直線2C的解析式為y=3x+3,

，直線P1C的解析式可設為y=+小，把C(0,3)代入得m=3,

9(7

1(y——x+2x+3(Y=c\x=-

二直線P1C的解析式為y=f+3,解方程組=_%+3，解得洌

3V—9

則此時R點坐標為(1,§)；

過點2作2C的垂線交拋物線于P2,直線4P2的解析式可設為y=-|x+n,

把4(_1,0)代入得n=/

7(10

11(y——x+2%+3(y=—1x=—

???直線PC的解析式為y=解方程組=_1%_1，解得或J_313，

33-9

則此時22點坐標為(三,一葺)，

綜上所述，符合條件的點P的坐標為第g)或(?,-￡)；

②如圖3,拋物線;/=-/+2%+3對稱軸為直線％=1,過點C作CQi1/C交對稱軸于Qi，過點/作

???4(-1,0),C(0,3),

?,?直線ZC解析式為y=3%+3,

???CQi1AC

直線CQi解析式為y=—[x+3,令x=l,得丫=一》*1+3=：

VAQ21AC

二直線71Q2解析式為y回—gx-點令久=1，得y=_[xi_]=_|

???^LAQC=90°時，AQ2+CQ2=AC2

1-I)?+t2+(1-0)2+(t—3)2=(V10)2,解得:t*=1,t2=2,

???當1<t<2時，乙4QC>90°,

???△2CQ為銳角三角形，點Q(l,t)必須在線段Q1Q2上(不含端點Qi、<?2)，

—<t<1或2<t<—.

33

解析：本題是一道有關二次函數的代數幾何綜合題，考查了二次函數圖象和性質、二次函數最值應

用、直角三角形判定和性質、待定系數法求函數解析式等，是比較經典的中考數學壓軸題，解題關

鍵應用兩直線垂直時，其解析式中一次項系數乘積等于-1.

(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(工一3),=ax2-2ax-3a,由一2a=2,求得a,即可得到

拋物線解析式；

(2)待定系數法求直線2C的解析式，過。作DG垂直拋物線對稱軸于點G,設。(久,--+2%+3),可

得DE+DF=-x2+2x+3+V10(x-1)=-%2+(2+V10)x+3-V10=-(%-+葭，即

可求得OE+DF有最大值；

(3)①根據“以點4,P,C為頂點,4C為直角邊的三角形是直角三角形”，可得AC1CP于C或AC14P

于4再由待定系數法求得直線CP和直線2P的解析式，通過解方程組求得點P的坐標；

②可直接由①中直線CPi或直線4P2解析式中令乂=1，可得Qi、<22的坐標，即可得t的范圍.

25.答案：(1)垂直；BC=CF+CD；

(2)CF1BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.

?.?正方形4DEF中，AD=AF,

???ABAC=4DAF=90°,

???乙BAD=Z.CAF,

(AD=AF

在aDAB與工FZC中，\^BAD=4cAF,

AB=AC

.-^DAB=^FAC(SAS)f

???Z.ABD=Z-ACF,

???ABAC=90°,AB