河北省廊坊市三河付辛莊中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)參考答案：C【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理進(jìn)行判斷即可【詳解】是連續(xù)的減函數(shù)，又可得f（2）f（3）＜0，∴函數(shù)f（x）的其中一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2,3)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，若函數(shù)單調(diào)，只需端點(diǎn)的函數(shù)值異號即可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，是一道基礎(chǔ)題．2.在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點(diǎn)（左圖），將∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右圖），則二面角A﹣BD﹣C的余弦值為（）A．B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【分析】由（1）的證明可得∠A′EF為二面角A﹣BD﹣C的平面角．過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O(shè)在FE上，連BO交CD延長線于M，從而當(dāng)AB⊥CD時，由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cos∠AEO=，利用互補(bǔ)得出二面角A﹣BD﹣C的余弦值為．【解答】解：過A作AE⊥BD，在原圖延長角BC與F，過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O(shè)在FE上，連BO交CD延長線于M，∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點(diǎn)，AB=，BD=AC，∴△ABD為等邊三角形，∴BD⊥AE，BD⊥EF，∴∠AEF為二面角A﹣BD﹣C的平面角，過A作AO⊥面BCD，垂足為O，∵面AEF⊥面BCD，∴O在EF上，理解BO交CD延長線于M，當(dāng)AB⊥CD時，由三垂線定理的逆定理可知：MB⊥CM，∴O為翻折之前的三角形ABD的中心，∴OE=AE，cos∠AEO=，∴cos∠AEF=，故選：A3.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1]參考答案：B時，符合題意，時，關(guān)于的不等式的解集為，只需，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是，選B.

4.設(shè)函數(shù)，則f(x)的值域是（）A. B.[0,+∞)C. D.參考答案：D【分析】分段函數(shù)用解析式分段討論，最后合在一起就是值域.【詳解】等價于即或，此時此時取值范圍是.而等價于即，此時此時的取值范圍是.所以的值域是，故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.5.若，則f（x）=（）A．f（x）=x2+2B．f（x）=x2﹣2C．f（x）=（x+1）2D．f（x）=（x﹣1）2參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的值．【分析】直接利用配方法求解即可．【解答】解：=．∴f（x）=x2+2．故選：A．6.兩條平行線4x+3y-1=0與8x+6y+3=0之間的距離是（

）

A．1

B.

C.

D．參考答案：D7.已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2=1，則(1－xy)(1+xy)(

)A.有最小值，也有最大值1

B.有最小值，也有最大值1C.有最小值，但無最大值

D.有最大值1，但無最小值參考答案：B8.設(shè)F1、F2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=﹣上一點(diǎn)，△F1PF2是底角為30°的等腰三角形，則C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由△F1PF2是底角為30°的等腰三角形，得|PF1|=|F1F2|且∠PF1F2=120°，設(shè)交x軸于點(diǎn)M，可得|PF1|=2|F1M|，由此建立關(guān)于a、c的等式，解之即可求得橢圓E的離心率．【解答】解：設(shè)交x軸于點(diǎn)M，∵△F1PF2是底角為30°的等腰三角形∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．∵P為直線上一點(diǎn)，∴2（﹣c+）=2c，解之得3a=4c∴橢圓E的離心率為e==故選：C【點(diǎn)評】本題給出與橢圓有關(guān)的等腰三角形，在已知三角形形狀的情況下求橢圓的離心率．著重考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9.已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的斜率是，則此雙曲線的離心率等于（）A． B． C．2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意得=，利用e=，可得結(jié)論．【解答】解：由題意得=，∴e===2，故選C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的合理運(yùn)用．10.已知復(fù)數(shù)z=i（1+2i），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．2 B．3 C．﹣1 D．1參考答案：D【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可得到結(jié)論【解答】解：z=i（1+2i）=﹣2+i，則z的虛部為1，故選：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在中，，若為的外心，則

參考答案：略12.若函數(shù)f（x）=x3+bx（x∈R）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線與直線y=﹣x+2a平行，則實(shí)數(shù)b的值

．參考答案：﹣4【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），由函數(shù)f（x）=x3+bx（x∈R）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線與直線y=﹣x+2a平行即可求得b值．【解答】解：由f（x）=x3+bx，得f′（x）=3x2+b，∴f′（1）=3+b，∵函數(shù)f（x）=x3+bx（x∈R）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線與直線y=﹣x+2a平行，∴3+b=﹣1，解得b=﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．13.函數(shù)的最小值為

.參考答案：略14.已知甲、乙、丙三人將參加某項(xiàng)測試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是、、，則三人都達(dá)標(biāo)的概率是

．參考答案：15.已知各項(xiàng)都為正項(xiàng)的等比數(shù)列的任何一項(xiàng)都等于它后面相鄰兩項(xiàng)的和，則該數(shù)列的公比

參考答案：16.若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值是

▲

．參考答案：8當(dāng)y=2x取得等號，所以的最小值是8

17.已知函數(shù)f（x）=有且僅有三個極值點(diǎn)，則a的取值范圍是

．參考答案：（0，）【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】需要分類討論，當(dāng)a=0時，當(dāng)a＜0時，當(dāng)a＞0時三種情況，其中當(dāng)a＞0，若x＞0，則f（x）=xlnx﹣ax2，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax，求出函數(shù)g（x）的最大值，要讓（x）=xlnx﹣ax2有2個極值點(diǎn)，須讓g（x）=f'（x）有兩個零點(diǎn)，即只須讓g（x）max＞0，解得即可．【解答】解：①當(dāng)a=0時，f（x）=，此時f（x）在（﹣∞，0）上不存在極值點(diǎn)，在（0，+∞）上有且只有一個極值點(diǎn)，顯然不成立，②當(dāng)a＜0時，若x＜0，則f（x）=x2+ax，對稱軸，在（﹣∞，0）上不存在極值點(diǎn)，若x＞0，則f（x）=xlnx﹣ax2，f'（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0），則，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）有且僅有1個零，即f'（x）有且僅有一個零點(diǎn)，即f（x）只有一個極值點(diǎn)，顯然不成立，③當(dāng)a＞0時若x＜0，則f（x）=x2+ax，對稱軸x=﹣＜0，在（﹣∞，0）存在1個極值點(diǎn)若x＞0，則f（x）=xlnx﹣ax2，∴f′（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0），則g′（x）=﹣2a=﹣由g'（x）＞0可得，由g′（x）＜0可得x＞，∴g（x）在上單調(diào)遞增，在（，0）上單調(diào)遞減，則，要讓（x）=xlnx﹣ax2有2個極值點(diǎn)，須讓g（x）=f'（x）有兩個零點(diǎn)，即只須讓g（x）max＞0，即g（x）max=﹣ln2a＞0，解得得綜上所述a的取值范圍為（0，）．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的問題，以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的分類討論思想化歸思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：19.已知經(jīng)過點(diǎn)A（－4，0）的動直線l與拋物線G：相交于B、C，當(dāng)直線l的斜率是時，．（Ⅰ）求拋物線G的方程；（Ⅱ）設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．參考答案：解：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知k1＝時，l方程為y＝(x＋4)即x＝2y－4．

由得2y2－(8＋p)y＋8＝0∴又∵∴y2＝4y1

由p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，即拋物線方程為：x2＝4y．

(2)設(shè)l：y＝k(x＋4)，BC中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)

由得：x2－4kx－16k＝0①∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k．

∴BC的中垂線方程為y?2k2?4k＝?(x?2k)

∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2

對于方程①由△＝16k2＋64k＞0得：k＞0或k＜－4．

∴b∈(2，＋∞)

略20.如果x是實(shí)數(shù)，且x＞﹣1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+x）n＞1+nx．參考答案：【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=2時，證明不等式成立；（2）假設(shè)n=k（k≥2，k∈N*）時命題成立，用上歸納假設(shè)，去證明則當(dāng)n=k+1時，不等式也成立即可．【解答】證明：（1）當(dāng)n=2時，∵x≠0，∴（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，不等式成立；（2）假設(shè)n=k（k≥2）時，不等式成立，即（1+x）k＞1+kx當(dāng)n=k+1時，左邊=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立由（1）（2）可知，不等式成立．21.（13分）根據(jù)政府的要求，某建筑公司擬用1080萬購一塊空地，計(jì)劃在該空地上建造一棟每層1500米的高層經(jīng)濟(jì)適用房，經(jīng)測算，如果將適用房建為x（x∈N*）層，則每平方的平均建筑費(fèi)用為800+50x（單位：元）．（1）寫出擬建適用房每平方米的平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）改適用房應(yīng)建造多少層時，可使適用房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？（（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=）參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；綜合法；不等式．【分析】（1）由已知得，樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為每平方米的平均建筑費(fèi)用為800+50x與平均購地費(fèi)用的和，由已知中某單位用1080萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟x層，每層1500平方米的樓房，我們易得樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）中的樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式，要求樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值，先利用基本不等式，檢驗(yàn)等號成立的條件，即可求最小值．【解答】解（1）依題意得y=（800+50x）+=800+50x+（x∈N*）；（2）由y=800+50x+≥800+1200=2000，當(dāng)且僅當(dāng)50x=，即x=12時取得等號，故該公寓應(yīng)建造12層時，可使公寓每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最小值為2000元．【點(diǎn)評】函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過審題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實(shí)際