2020-2021學年開封市九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1,下列圖案中既是軸對稱又是中心對稱圖形的是（）

"OB.朱C.]□，國

2.下列事件為必然事件的是（）

A.任意擲一枚均勻的硬幣，正面朝上

B.籃球運動員投籃，投進籃筐

C.一個星期有七天

D.打開電視機，正在播放新聞

3.如圖，OB是。。的兩條半徑，且04_L0B,點C在o。上，則乙4cB等

于（）

A.20°

B.25°B

C.35°

D.45°

4.正比例函數y=kx（k70）的圖象經過第四象限,則一次函數y=-%+k的圖象大致是（）

VAVA

個一

A.\B.

C./）D.\

/A\

5.我們對于提公因式法求解一元二次方程中“公因式”k的理解正確的是（）

A.一元二次方程中各項都具有的數和字母

B.一元二次方程中各項都有的式子

C.一元二次方程中各項都相同的數、字母和公共的因式

D.一元二次方程中二次項和一次項都具有的數、式子

6.下列關于二次函數y=2（%—3）2—1的說法，正確的是（）

A.圖象的對稱軸是直線x=-3

B.圖象向右平移3個單位則變為y=2（%-3）2+2

C.當x=3時，y有最大值一1

D.當久＞3時，y隨x的增大而增大

"DEAD

(----=-----

*BCBD

EF_CF

AB-CB

8.受全國生豬產能下降影響，深圳市豬肉價格自5月份開啟持續上漲通道，8月份至今創歷年新

高.某超市8月份價格平均25元/斤，10月份36元/斤，求該超市這兩個月豬肉價格平均每月的

增長率，設兩個月該超市豬肉價格的月平均增長率為X,則可列方程（）

A.25(1+%)2=36B.25(1+2%)=36

C.25(1+%2)=36D.25+%2=36

9.如圖，四邊形48C。為。。的內接四邊形，若"BC=125。，則乙40c等于（

A.55°

B.110°

C.105°

D.125°

二、填空題(本大題共5小題，共15.0分)

11.已知點P(2-a,3a+6)到兩坐標軸的距離相等，則點P關于原點。的對稱點坐標為

12.如圖，在平行四邊形4BCD中，E是4B的中點，CE和BD交于點0,

△OEB的面積為則AOC。的面積為.

13.一只口袋中放著8只紅球和16只白球，現從口袋中隨機摸一只球，則

摸到白球的概率是

14.如圖，往豎直放置的在4處山短軟管連接的粗細均勻細管組成的“U形裝置

中注入一定量的水，水面高度為9cm,現將右邊細管繞2處順時針方向旋轉

60。到2B位置，則中水柱的長度為cm.

15.如圖，。。是AaBC的外接圓，已知NOAB=40。，貝ikaCB為.

三、解答題(本大題共8小題，共75.0分)

16.解下列方程：

(1)(%-1)2=8

(2)%2-2%-3=0.

17.如圖的正方形網格中，每一個小正方形的邊長為1.格點三角形ABC(頂點是網格線交點的三角形)

的頂點4、C的坐標分別是(一4,6),(-1,4).

(1)請在圖中的網格內建立平面直角坐標系；請畫出△48C關于％軸對稱的△&B1G；將AABC以點C

為旋轉中心順時針旋轉90。，畫出旋轉后對應的△&B2C；

(2)請在y軸上求作一點P,使APB］。的周長最小，并寫出點P的坐標.

18.某小組為了解本校九年級女生的身高情況，統計了甲、乙兩個班女生的身高，并繪制了如圖不

完整的統計圖.(身高單位：CM)

扇計圖頻數分布直方圖

Z145sr<150

5.'150st<155

C:155*v160

。:160stv165

E165av170

F:170*v175

請根據圖中信息，解答下列問題:

(1)兩個班共有女生多少人？

(2)將頻數分布直方圖補充完整:

(3)/部分(170Wx<175)有3名來自甲班，有2名來自乙班，學校準備從尸部分中選出兩名同學去做

家長會的引導員，請用列表或樹狀圖的方法求出所選兩名學生剛好是一名來自甲班，一名來自

乙班的概率.

19.在平面直角坐標系xOy中，直線人過點2(1,0)且與y軸平行，直線L過點B(0,2)且與x軸平行，直

線4與。相交于P.點E為直線人上一點，反比例函數y=>0)的圖象過點E且與直線人相交于

點、F.

(1)若點E與點P重合，求k的值；

(2)連接。E、OF,EF.

①如圖1,過E作EC垂直于x軸交x軸于C點，當C點異于4點時，說明AOEF的面積等于四邊形EC4F的

面積.

②若k>2,且AOEF的面積為APEF面積的2倍，請直接寫出點E的坐標.

20.已知：如圖，在△ABC中，點。，E是邊8C上的兩點，且28=BE,

AC=CD.

(1)若NBAC=90°,求的度數；

(2)若NB4C=120°,直接寫出NZME的度數；

(3)設NB4C=a,Z-DAE=/?,猜想a與夕的之間數量關系(不需證明).

21.鞏義某景點試開放期間，門票價格暫定60元，為吸引游客，對團隊門票優惠如下：不超過20人

時，按正常門票價格收費；超過20人且不超過60人時，每增加1人，門票價格降低1元；超過60

人時，門票價格不再降低，按60人的優惠門票價格收費.設景點接待有x名游客的某團隊，收取

總費用為y元.

(1)求y關于x的函數表達式.

(2)景點售票員發現：當接待某團隊人數超過一定數量時，會出現隨著人數的增加收取的總費用反而

減少這一現象.為了讓收取的總費用隨著團隊中人數的增加而增加，請求出團隊門票最多優惠

只能按多少人的優惠門票價格收費，此時門票價格是多少？

22.如圖，/.MAN=55°,在射線4N上取一點B,使48=6cm,過點8作BC_!AM于點C,點。是線

段4B上的一個動點，E是BC邊上一點，且NCDE=30°,設4D=xcm,BE=ycm,探究函數y隨

自變量x的變化而變化的規律.

(1)取指定點作圖.根據下面表格預填結果，先通過作圖確定4D=2si時，點E的位置，測量BE的

長度.

①根據題意，在答題卡上補全圖形;

②把表格補充完整：通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組對應值，如下表:

x/cm0123456

y/cm2.93.4—3.32.61.60

(說明：補全表格時相關數值保留一位小數)

③建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象;

(2)結合畫出的函數圖象，解決問題：當AD=BE時，久的取值約為.cm.

23.問題情境:矩形4BCD中，乙4cB=30。,將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線的交點處,

以點P為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊48、所在的直線相交，交

點為E、F.

探究1：如圖1,當PE14B,PF1BC時，則空=

PF

探究2：如圖2,在(1)的基礎上，將三角板繞點P逆時針旋轉，旋轉角為a,(0°<a<60°),試求魯的

值.

探究3：在⑵的基礎上繼續旋轉，當60。<a<90。時，將頂點P在4C上移動且使賓=之時，如圖3,

試求器的值.

PF

參考答案及解析

1.答案：C

解析：

此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合.

根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

解：4不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

R不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C.是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；

D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選C.

2.答案：C

解析：解：4、任意擲一枚均勻的硬幣，正面朝上是隨機事件，選項錯誤；

2、籃球運動員投籃，投進籃筐是隨機事假，選項錯誤；

C、一個星期有7天，是必然事件，選項正確；

D、打開電視機，正在播放新聞是隨機事假.

故選：C.

必然事件就是一定發生的事件，根據定義即可判斷.

本題考查了必然事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必

然事件指在一定條件下一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件.不確

定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

3.答案：D

解析:解:"OA1OB,

???AAOB=90°,

由圓周角定理得，乙4cB=［乙4OB=45。，

故選：D.

根據圓周角定理解答.

本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

4.答案:D

解析：解：因為正比例函數丫=左％(卜40)的圖象經過第四象限，

所以k<0,

所以一次函數y=-久+k的圖象經過二、三、四象限，

故選：D.

根據正比例函數經過第四象限，得出k的取值范圍，進而解答即可.

此題考查正比例函數的性質，一次函數圖象和一次函數的性質，關鍵是根據正比例函數經過第四象

限，得出k的取值范圍.

5.答案：B

解析：解：我們對于提公因式法求解一元二次方程中“公因式”的理解正確的是一元二次方程中各

項都有的式子.

故選：B.

利用公因式定義判斷即可.

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，公因式，以及一元二次方程的一般形式，熟練掌握公因

式的定義是解本題的關鍵.

6.答案：D

解析：解:由二次函數y=2(%-3)2-1可知：開口向上，對稱軸為x=3,當*=3時有最小值是一1；

當%>3時，y隨x的增大而增大，

把二次函數y=2(%-3)2-1的圖象向右平移3個單位得到函數為y=2(%-3+3)2-1,即y=

2久2-1

故A、B、C錯誤，。正確，

故選：D.

根據二次函數的性質和平移的規律對各選項分析判斷后利用排除法求解.

本題考查了二次函數的性質以及二次函數的圖象與幾何變換，主要利用了開口方向，頂點坐標，對

稱軸以及二次函數的增減性.

7.答案：C

解析：解：4DE//BC,???署=■所以4選項的比例式正確；

B.-.-EF//AB,=即魯所以B選項的比例式正確；

AEBFCFBF

C,-.-DEZ/BC,=所以C選項的比例式錯誤；

D、?：EF〃AB,：.啜=$,即5=登，所以D選項的比例式正確.

ABCBCFBF

故選：C.

根據平行線分線段成比例定理由D￡7"C可判斷器=生黑=黑，則可對4c進行判斷，^EF//AB

ADACADDC

得到罪=￡篇=*,可對B、。進行判斷.

本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

8.答案：A

解析：解：設8、9兩個月豬肉價格的月平均增長率為九

根據題意，得25(l+x)2=36,

故選：A.

等量關系為：8月初豬肉價格x(1+增長率尸=10月的豬肉價格.

考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，解題的關鍵是了解等量關系，難度不大.

9.答案：B

解析：

本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質.

先根據圓內接四邊形的性質求出AD，再利用圓周角定理解答.

解：VAABC=125°,

???4D=180°-4ABe=55°,

???AAOC=2ZD=110°.

故選：B.

10.答案：A

解析：解：??,一?次函數y=1.5x+b(其中6<0),

k=1.5>0,圖象過點(0,b),

該函數的圖象經過第一、三、四象限，

故選：A.

根據一次函數的性質和題目中的函數解析式，可知該函數的圖象經過哪幾個象限，本題得以解決.

本題考查一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質解答.

H.答案:(-3,-3)或(-6,6)

解析：解：???點P到兩坐標軸的距離相等，

|2-CL\=|3a+6|,

解得：a=-1或一4,

當a=—1時，點P的坐標為(3,3),點P關于原點。的對稱點坐標為(—3,-3)；

當a=-4時，點P的坐標為(6,—6),點P關于原點。的對稱點坐標為(一6,6)；

故答案為：(-3,—3)或(-6,6).

根據兩坐標軸的距離相等可得|2-a|=|3a+6|,解出a的值即可得出點P的坐標，繼而可得出P關于

原點。的對稱點坐標.

本題考查了關于原點對稱的點的坐標，解答本題關鍵是根據點P到兩坐標軸的距離相等求出a的值.

12.答案：4曲

解析：解：如圖，設AOEB、△OCD的面積分別為4、出￡----------y

???四邊形4BCD為平行四邊形，^><^/

DC=AB=2BE,DC//BE,AEJi

OCD~公OEB,

個瓷A

DCr-

?.?赤=Q2,〃=有’

?*.A=4V5-

故答案為4"\后.

如圖，證明DC=AB=2BE,DC//BE,進而得到仆OCDfOEB；證明：=(g)2；運用器=2,“=有,

求出4即可解決問題.

該題以平行四邊形為載體，以平行四邊形的性質、相似三角形的判定及其性質的應用為核心構造而

成；牢固掌握平行四邊形的性質、相似三角形的判定及其性質是關鍵.

13.答案：,

3

解析：本題主要考查的是摸球的概率問題.等可能條件下概率的意義：一般地，如果在一次試驗中，

有幾種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件4包含其中的血中結果，那么事件4發生的

m

概率為P(4)=-.

解：口袋中放著8只紅球和16只白球，即24個球，現從口袋中隨機摸一只球，有24種可能的結果,

并且它們發生的可能性都相等，摸到白球包含其中的16中結果，摸到白球的概率是竺，即：土

243

故答案為2.

3

14.答案：12

解析：解：由于U型管的物理性質可知：現將右邊細管繞4處順時針方向旋轉60。到4B位置時，水平

面高度仍然相等，

旋轉前，EF=AC=9,Eh版￡匚：與

此時EF+AF+AC=18+2F,尸A

旋轉后，EF+AF+AB=18+AF,

設旋轉后EF=AC=x,

AB=2x,

???3x+18,

x=6,

AB=2x6=12.

故答案為12.

根據含30度的直角三角形的性質即可求出答案.

本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用含30度的直角三角形的性質以及找出題中的幾何等

量關系，本題屬于中等題型.

15.答案:50°

解析：解：?.?。4=。8,

???乙OBA=乙OAB=40°,

???/,AOB=180°-AOAB-AOBA=100°,

???^ACB=-Z-AOB=50°.

2

故答案為：50°.

由。4=OB,可求得乙。8/=AOAB=40°,繼而求得乙4。8的度數，然后由圓周角定理，求得答案.

此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質.此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用.

16.答案：解：(1)開方得：x—1=+V8,

解得：/=1+2應，x2=1-2V2；

(2)分解因式得:(%-3)(%+1)=0,

%—3=0,%+1=0,

%=3,x2=-1.

解析：(1)兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

本題考查了解一元二次方程的應用，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵.

17.答案：解：(1)44/也1，A4B2c如圖所示；

如圖，即為所求；

(2)作點/關于y軸的對稱點B',連接CB'交y軸于點P,則點P即為所求.

設直線CB'的解析式為y=kx+b(k豐0),

vC(-l,4),B'(2,—2),

???｛金工解得憶二

二直線C8'的解析式為：y=-2x+2,

二當久=0時，y=2,

???P(0,2).

解析：本題考查的是作圖-軸對稱變換，旋轉變換等知識，考查待定系數法求解一次函數的解析式,

熟知軸對稱的性質是解答此題的關鍵.

(1)根據a點坐標建立平面直角坐標系即可；根據要求畫出△a/iG，△々々c即可；

(2)作出點B關于y軸的對稱點夕，連接4、9交y軸于點P,貝伊點即為所求.

球分布直方圖

人

甲1甲2甲3乙1乙2

甲1甲2甲1甲3甲1乙1甲1乙2甲1

甲2甲1甲2甲3甲2乙1甲2乙2甲2

甲3甲1甲3甲2甲3乙1甲3乙2甲3

乙1甲憶1甲2乙1甲3乙1乙2乙1

乙2甲1乙2甲2乙2甲3乙2乙1乙2

答：兩個班共有女生50人;

(2)50x28%=14(人)，

50-2-6-14-13-5=10(人)，

補全的頻數分布直方圖如圖所示：

(3)用列表法表示所有可能出現的結果如下：

共有20中等可能出現的結果，其中所選兩名學生剛好是一名來自甲班，一名來自乙班的有

12種，

D_工乙_J

"丫(一名甲班，一名乙班)=五=9

解析：(1)根據兩個統計圖中數量關系，可求出調查的女生人數，組”的頻數為13,占調查人數

的26%,可求出調查人數；

(2)求出“C組”“E組”的人數即可補全頻數分布直方圖；

(3)由列表法表示所有可能出現的結果情況，進而求出“抽到2人中1人來自甲班，1人來自乙班”的

概率.

本題考查頻數分布直方圖、列表法或樹狀圖求隨機事件發生的概率.

由題意點P坐標(1,2),

當E、P重合時，尸(1,2)代入y=?得k=2.

(2)①S〉OEF=S四邊形OEFA—^^OFA

=S2EOC+S四邊形ECAF-SMOA，

?，S^EOC=S“04，

???SAEOF=S四邊形ECAF?

②如圖2中，作EMIOAFM.

圖2

設點E坐標O,2)J.?S^OEF=2sAPEF,

S四邊形FAME=2sAPEF,

1,、一、1一、一、

-(2+2m)(m-1)=2x-(m-l)(2m—2),

.?.m=3或1,

fc>2,m=1不合題意，

m=3,

???點E坐標(3,2).

解析：(1)把點P(l,2)代入y=g即可解決問題.

(2)①根據SAOEF—S四邊形QEFA—S&OFA-^AEOC+$四邊形ECAF—SAFOA,因為S&EOC=由此即

可解決問題.

②如圖2中，作EML04于M,利用①結論列出方程即可解決問題.

本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，掌握反比例函數的比例系數k的幾何意義是解題的關鍵,

屬于中考?？碱}型.

20.答案:解：(1)BE=BA,

???4BAE=4BEA,

ZB=180°-①

???CD=CA,

Z.CAD=Z.CDA,

ZC=180°-2^CAD,②

①+②得：+乙。=360°-2(Z.BAE+Z.CAD)

???180°-^BAC=360°-2[^BAD+Z.DAE)+{/.DAE+NC/E)],

???-ABAC=180°-2[^BAD+乙DAE+/.CAD)+/-DAE],

???一乙BAC=180°-2^^BAC+ZJX4E),

???2乙DAE=180°-zBi4C.

???Z.BAC=90°,

???2^DAE=180°-90°=90°,

???(DAE=45°；

(2)由(1)知，￡.DAE=(180°-Z.BAC)=^(180°-120°)=30°；

■\

(3)由(1)知，0=黃180。—a),

???a+2￡=180°.

解析：(1)根據等腰三角形性質得出NB4E=NBE4^CAD=^CDA,根據三角形內角和定理得出

ZB=180。-2N84E①,“=180°-2ACAD@,@+zC=360°-+“AD),

求出2AEME=18(r—NB4C,代入求出即可；

(2),(3)同⑴.

本題考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質的應用，關鍵是推出2NZME=180。-NBAC.

(60%(0<x<20)

21.答案：解：(1)由題意得：y=][60-(%-20)]%(20<%<60),

(20x(%>60)

r60x(0<%<20)

即y='—x2+80x(20<%<60)；

20x(%>60)

(2)由(1)可知，當0<x<20時，y都隨著x的增大而增大.

當20<x<60時，y=-x2+80%=-(%-40)2+1600,

???由二次函數的性質可知當％W40時，y隨著x的增大而增大，％N40時，y隨著％的增大而減小.

為了讓收取的總費用隨著團隊中人數的增加而增加，團隊門票最多優惠只能按40人的優惠門票價格

收費，此時門票價格是40元.

解析：⑴根據“不超過20人時，按正常門票價格收費；超過20人且不超過60人時，每增加1人，門

票價格降低1元；超過60人時，門票價格不再降低，按60人的優惠門票價格收費”列出分段函數即

可；

(2)表示出有關y和x的二次函數，求得最大值即可.

本題考查二次函數的應用、分段函數等知識，解題的關鍵是利用函數的性質解決實際問題，學會利

用二次函數的性質解決增減性問題，屬于中考?？碱}型.

22.答案：(1)3.5；

(2)3.2.

解析：(1)①根據題意補全圖形如下：

②根據圖形測量得3.5

故答案為：3.5

③根據數據畫出函數圖象

(3)當4。=BE時，x的值可以看做③中圖象與直線y=x的交點橫坐標.由測量x=3.2

故答案為：3.2

根據題意，畫圖取點測量得，畫出圖象即可.

本題為動點問題的函數圖象探究題，考查了畫函數圖象以及數形結合的數學思想.

23.答案:V3

解析：解：(1)??,矩形2BCD,

/.ABLBC,PA=PC；

???PELAB,BC1AB,

??.PE//BC,

???Z.APE=乙PCF；

???PF1BC,AB1BC,