四川省德陽市2024年高考數學二模試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數是純虛數，其中是實數，則等于（）A． B． C． D．2．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．3．設函數在定義城內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象可能為（）A． B．C． D．4．已知在平面直角坐標系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-25．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．406．設復數滿足（為虛數單位），則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．函數fxA． B．C． D．8．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．39．下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數除以正整數所得的余數是”記為“”，例如.執行該程序框圖，則輸出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．1910．在中，D為的中點，E為上靠近點B的三等分點，且，相交于點P，則（）A． B．C． D．11．等差數列中，，，則數列前6項和為（）A．18 B．24 C．36 D．7212．執行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2，，，AE的延長線交BC邊于點F，若，則____.14．在數列中，，則數列的通項公式_____.15．在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．16．已知雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為，則雙曲線的焦距為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著科技的發展，網絡已逐漸融入了人們的生活．網購是非常方便的購物方式，為了了解網購在我市的普及情況，某調查機構進行了有關網購的調查問卷，并從參與調查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析，從而得到表（單位：人）經常網購偶爾或不用網購合計男性50100女性70100合計（1）完成上表，并根據以上數據判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關？（2）①現從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人贈送優惠券，求選取的3人中至少有2人經常網購的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經常網購的人數為，求隨機變量的數學期望和方差．參考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知函數，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.19．（12分）已知直線是曲線的切線.（1）求函數的解析式，（2）若，證明:對于任意，有且僅有一個零點.20．（12分）已知函數（，），且對任意，都有.（Ⅰ）用含的表達式表示；（Ⅱ）若存在兩個極值點，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點的個數，并說明理由.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，點在線段上，且平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．22．（10分）已知函數（1）當時，求不等式的解集；（2）的圖象與兩坐標軸的交點分別為，若三角形的面積大于，求參數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

對復數進行化簡，由于為純虛數，則化簡后的復數形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數.【詳解】因為為純虛數，所以，得所以.故選A項【點睛】本題考查復數的四則運算，純虛數的概念，屬于簡單題.2、A【解析】

設坐標，根據向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設，，其中，，即關于軸對稱故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數量積運算；關鍵是利用動點坐標表示出變量，根據平面向量數量積的坐標運算可整理得軌跡方程.3、D【解析】

根據的圖象可得的單調性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數，且在上存在正數，使得在上為增函數，在為減函數，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數圖象的識別，此類問題應根據原函數的單調性來考慮導函數的符號與零點情況，本題屬于基礎題.4、D【解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結合圓的性質可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質應用，幾何性質的轉化是求解的捷徑.5、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=406、D【解析】

先把變形為，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出，得到其坐標可得答案.【詳解】解：由，得，所以，其在復平面內對應的點為，在第四象限故選：D【點睛】此題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題.7、A【解析】

由f12=e-14>0排除選項D;【詳解】由f12=e-14>0，可排除選項D，f-1=-e【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及x→08、B【解析】

設直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數,即可求得結果.【詳解】設，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理及向量的坐標之間的關系,考查計算能力，屬于中檔題.9、B【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解：由程序框圖可知，輸出的數應為被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整數.若輸出，則不符合題意，排除；若輸出，則，符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當循環的次數不多，或有規律時，常采用循環模擬或代入選項驗證的方法進行解答.10、B【解析】

設，則，，由B，P，D三點共線，C，P，E三點共線,可知，,解得即可得出結果.【詳解】設，則，，因為B，P，D三點共線，C，P，E三點共線，所以，，所以，.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應用,屬于基礎題.11、C【解析】

由等差數列的性質可得，根據等差數列的前項和公式可得結果.【詳解】∵等差數列中，，∴，即，∴，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前項和公式的應用，屬于基礎題.12、D【解析】

根據框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【詳解】運行程序，，

，，，，，結束循環，故輸出，故選：D.【點睛】本題主要考查了程序框圖，循環結構，條件分支結構，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

過點做,可得，，由可得，可得，代入可得答案.【詳解】解：如圖，過點做,易得：,,,故,可得：，同理：,,可得,,由，可得,可得：,可得：，,故答案為：.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算和平面向量的數量積，由題意作出是解題的關鍵.14、【解析】

由題意可得，又，數列的奇數項為首項為1，公差為2的等差數列，對分奇數和偶數兩種情況，分別求出，從而得到數列的通項公式.【詳解】解：∵，∴①，②，①﹣②得：，又∵，∴數列的奇數項為首項為1，公差為2的等差數列，∴當為奇數時，，當為偶數時，則為奇數，∴，∴數列的通項公式，故答案為：.【點睛】本題考查求數列的通項公式，解題關鍵是由已知遞推關系得出，從而確定數列的奇數項成等差數列，求出通項公式后再由已知求出偶數項，要注意結果是分段函數形式．15、C【解析】

根據確定是異面直線與所成的角，利用余弦定理計算得到答案.【詳解】由題意可得.因為，所以是異面直線與所成的角，記為，故.故選：.【點睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.16、1【解析】

由雙曲線的漸近線，以及求得的值即可得答案．【詳解】由于雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為，所以，即①，把代入，得，即②又③聯立①②③，得．所以．故答案是：1．【點睛】本題考查雙曲線的性質，注意題目“雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為”這一條件的運用，另外注意題目中要求的焦距即，容易只計算到，就得到結論．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）①；②數學期望為6，方差為2.4.【解析】

（1）完成列聯表，由列聯表，得，由此能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經常網購的有人，偶爾或不用網購的有人，由此能選取的3人中至少有2人經常網購的概率．②由列聯表可知，抽到經常網購的市民的頻率為：，由題意，由此能求出隨機變量的數學期望和方差．【詳解】解：（1）完成列聯表（單位：人）：經常網購偶爾或不用網購合計男性5050100女性7030100合計12080200由列聯表，得：，∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經常網購的有人，偶爾或不用網購的有人，∴選取的3人中至少有2人經常網購的概率為：．②由列聯表可知，抽到經常網購的市民的頻率為：，將頻率視為概率，∴從我市市民中任意抽取一人，恰好抽到經常網購市民的概率為0.6，由題意，∴隨機變量的數學期望，方差D（X）=．【點睛】本題考查獨立檢驗的應用，考查概率、離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差的求法，考查古典概型、二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結合兩個函數的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,所以，則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換,考查了二次函數及三角函數值域的求法,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）對函數求導，并設切點，利用點既在曲線上、又在切線上，列出方程組，解得，即可得答案；（2）當x充分小時，當x充分大時，可得至少有一個零點.再證明零點的唯一性，即對函數求導得，對分和兩種情況討論，即可得答案.【詳解】（1）根據題意，，設直線與曲線相切于點.根據題意，可得，解之得，所以.（2）由（1）可知，則當x充分小時，當x充分大時，∴至少有一個零點.∵，①若，則，在上單調遞增，∴有唯一零點.②若令，得有兩個極值點，∵，∴，∴.∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.∴極大值為.，又，∴在(0，16)上單調遞增，∴，∴有唯一零點.綜上可知，對于任意，有且僅有一個零點.【點睛】本題考查導數的幾何意義的運用、利用導數證明函數的零點個數，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意零點存在定理的運用.20、（1）（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：利用賦值法求出關系，求函數導數，要求函數有兩個極值點，只需在內有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據函數圖象和極值的大小判斷零點的個數.試題解析：（Ⅰ）根據題意：令，可得，所以，經驗證，可得當時，對任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個極值點，，則須有有兩個不相等的正數根，所以或解得或無解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當時，，即，所以在上單調遞減，所以即時，．（Ⅲ）因為，．令得，．由（Ⅱ）知時，的對稱軸，，，所以.又，可得，此時，在上單調遞減，上單調遞增，上單調遞減，所以最多只有三個不同的零點．又因為，所以在上遞增，即時，恒成立．根據（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三個不同的零點：，1，．綜上所述，恰有三個不