2022年湖南省永州市統招專升本數學自考

真題（含答案）

學校:__________班級:—________姓名:____________考號:____________

一、單選題(30題)

1.

設八““一,2；/則=()

C---D?—

+y◎x2+1x4+1

2.

rosiikr#0,

已知函數/(/)=Jx則在點工=0處.下列結論正確的是(

11?1=0.

A.a=1時，/(①)必然連續B.a=0時./(N)必然連續

C.a=1時./(1)不連續D.a=—1時./(①)必然連續

3.

設X?N(3,2D.那么當P(X<c)=P(X>Q口寸.則c為()

A.0B.3C.2D.4

4.

(e",iVO,

.若f⑺—J在k=0處可導.則a,〃的值為()

+sin2xj

A.a=2,0=lB.a=l,6=2C.?=—1,/)=2D.a=2,Z>=—1

5.

微分方程y'=2?的通解》=()

A.Ce'B.ejl+CC.x2+CD.ex+C

6.

已知級數?.則下列結論正確的是)

H=1■■■一

CO.；/

A,若lim%=0,則12%收斂

L8“=1

CK>

B.若的部分和數列｛S—有界，則收斂

界=1n=1

co

C.若31u?收斂,則以“絕對收斂

77=1n=1

D.若￡Iun發散，則也發散

w-11

7.

在下列函數中不存在拉氏變換的是）

B.“(/)

C.sin2tD.>0)

8.

.在區間上下列函數中不滿足羅爾定理的是（）

A./(Jr)=cos.rB.f(x)=3①4+2

C./(x)=4

D./(①)=ln(1+J,2)

|sin2id1=()

A.—sin2x+CB.cos2x+C

C.--^-cos2①+CD.-^-COS2JT+C

10.

試確定當工-0時.下列哪一個無窮小是對于T的三階無窮小（）

A."-AB.Ji+7。—1

C.z3+0.0002?D.y/sinj'3

11.

設極限lim第一=-1.則點h=h。是函數八工）的（）

A.極大值點B.極小值點

C.駐點，但非極值點D.非駐點

12.

若點（1.2）為曲線），=ak+6/的拐點.則常數&與〃的值應分別為（）

A.—1和3B.3和一1C.—2和6D.6和一2

13.

已知x-2y+siny=0,則變的值為（）

dxx=o

yaO

A.-1B.0C.1D.-

2

14.

-f(2—h)=

設f(1)在JT=2處可導，且，(2)=1,則lim/(2+2A)I

ioh

A.1B.2C.3■?..D..4.?

15.

/(.r)=(x—)?g（z）,其中可導，則/'（Wo）=()

A.0B.(p(a、o)C.<p(JTO)D.oo

16.

arg(-1+3i)=()

A.nB.arctan3

C.it-arctan3D.n+arctan3

17.

若函數y=.間(a,b)內有f'(x)>011f"(x)〉O,則曲線y=f(x)(i

此區間內是（）.

A.單減且是網的B.電減II.是凸的

C.單增IL是網的D.單增IL是凸的

18.

.設皆(a)=(1+sin2/)d/.則(x)=()

Jo

A.2xs\n2x2B.2^(1+sin2j')

C.2a"+sin2.r2)D.2T(1+sin2.r2)

19.

由曲線y=上.直線y=4H及l=2圍成的平面圖形的面積為（）

A.yB.y-21n2C.竽-ln2D.21n2一竽

20.

曲線》=1+廠,+2的垂直漸近線共有（）

廠一J:一O

4.1條B.2條C.3條D.4條

21.

下列函數中，在［l，c］上滿足拉格朗日中值定理條件的是（）

A.InlnzB.InxC.二D.|z—2|

lor

22.

曲線），=絲士4的漸近線

—3

A.僅有水平漸近線B.既有水平又有垂直漸近線

C.僅有垂直漸近線D.既無水平也無垂直漸近線

下列微分方程中，可分離變量的是（)

A.~=xy+\B.虬e，+，

23.改dx

C.dy+ydx=e-vdxD.y'=x+y

24.

I

lim(1+2sinj)7=

A.eB.e2D.e-z

25.

函數y=r；+；(4〉D是)

A.偶函數B.奇函數

c.非奇非偶函數D,以上都不是

26.

d,1<o,

.若/(2?)=1在1=0處可導.則a、/)的值為()

b+sin2H》0

A.a=2*6=1B.a=l,6=2

C.a=-2,6=1D.<2=2J)=—1

27.

下列各函數是同一函數的是(

A.，(x)=lnx2"^g(x)=21nxB./々)=*與雇工)="

c/(X)=與=與g(6=G-iD./(x)=|x|與g(x)=(4]

X+1

28.

老/⑴二/⑴測下列等太中，正曲的一個是

/(2)dx=/(2)

A.

d[f(z)cLr]=/(JC)

B.~

z

F(JC)CIJT=/(JC)

c.①

/?

d[/（Jr）clJC]=/(JT)+C

D.J

29.

下列級數中收斂的是（）

工4"-7"x1C.D.VsinL

A.y--—B.y---

白3"白-27?=1/?：=1

30.

某公司要用鐵板做成一個容積為27n?的有蓋長方體水箱.為使用料最省，則該水箱

的最小表面積應為()

A.54m2B.27m2C.9m2D.6m2

二、填空題（20題）

設A.B為三階方陣.|A|=4AB=E.則|B|=

31.

32.

設函數/（.r）滿足/（0）=0,/（0)=2,則極限lim=___________.

‘200、

設矩陣4=231則，Q)=.

J31；

二階方陣/滿足114=2°,則H

121111

34.

35微分方程.y〃-2.y'+.y=0的通解為，

36.

當其f0時，若lim互與左=1,貝I」k=

37f'(x)=sinx,則Jf(x)dx=.

38.

設隨機變量X?N(2,，)，若P(0<X<4)=0.3,則P(X<0)=.

39.

設/(7)在［0,1］上連續，|COSJT|)dj'=A,則/=|/(|cosx|)dr

JoJ0

型線r=±.，-Ji+8*-5的拐點是

40.

極限lim

/f8

41.

定積分coswsinadr=___________

42.J-f

43設/(.r)=.r(i+l)(.r+2)…(-r+2018),則/'(0)=

函數/（.r）=1二-的幕級數展開式是

44.1-2r

?rnln(1—2)

若COSX為/（x）的一個原函數，則/4'（工加=

(Inz4-1)d.r=

47.

48已知函數/（1）=7一1.則f（jc）的反函數是y=

若lim-=￡覺＞0）,則正項級數的斂散性為

49.…N-i

曲線＞y=.re-r的拐點為

三、計算題（15題）

oo

求幕級數￡〃（〃-1）彳"的和函數.

51.?=1

計算不定積分|產

J1—cos.r

52.

53.

設函數z=3/（式，Q），其中函數/具有二階連續偏導數，求棄.

求極限lim—-7―1.

~,fxtanx

54.

求定積分「H:..-...;-）di.

55」;，2a>…，12

求不定積分arctanjd.r.

56.,

求不定積分jarc詈ne'd]

57.

58.

求由曲線y=*及）=芥所圍成的平面圖形的面積.

求極限lim一」一）.

59…x\xsinx/

60.

X1+x2+x3+x4=a

.已知線性方程組?X,+2X3+3X4=3，。取何值時，方程組有解？并求出通解.

4玉+5X2+3X3+2X4=2

61.

'Xj+x2+=4,

問左為何值時，＜-巧+丘2+曰=公，有唯一解？無解？有無窮多解？并求出通解.

2-X2+2X3=-4

62.

一個商家銷售某商品?其銷售量Q（單位：噸）與銷售價格P有關系：Q=35-

5立?商品的成本函數。=3Q+1（萬元）.若銷售一噸商品,政府要征稅“萬元.求:

（1）商家獲得最大利潤（指繳稅后）時的銷售量Q：

（2）每噸稅收”為何值時,商家既獲得最大利潤*且政府稅收總額也最大？

。(吁sin’)，求之以

已知參數方程，

G?V=a(l—cost),didr

63.1

將/（x）=（1+x）ln（l+x）展開為x的哥級數，并指出其收斂域.

arctartz—1

求lim

?T-*0/sim

65.

四、證明題（10題）

66.

已知方程+32*—V=0有一負根w=-2.證明方程4+9J*2—5w*=0必有一個

大于一2的負根.

設e<a<。<e"證明—In2a>3。-a）.

67.e“

68.

設/（/）在［0，a］上連續?且f（z）+/（az）>0,試證明：

「_____/（n）_____>_a_

Jo/（jr）4-f（a—x）”2"

69.

設。階方陣4滿足Ak=O（k為正整數）.證明：E-A可逆（E為。階單

位曲），并求（E-用t.

70.

設函數/（x）在口，3］上連續，在（1.3）內可導，且八3）=0.證明：至少存在一點

《6（1，3）,使占'（切1吒+/（。=0.

71.

設平面圖形D由曲線工=20?=/=與宜線了=1圍成,試求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞z軸旋轉一周所形成的旋轉體的體積.

72.

已知方程w"一、—一犬+r=o有一正根1=1.證明方程11上/°—7戈$—3〃+1=0

必有一個小于1的正根.

73.

設函數/（z）在閉區間［0,用上連續，在開區間（05）內可導.證明在開區間（0,兀）內至

少存在一點￡?使得/(^)sin^=-/($)cos^.

74.

設函數/(z)在閉區間［0,口上可導,且八0)?/(D<0.證明在開區間(0,1)內至少存在

一點久使得2/($)+“??)=0.

證明當①〉。時，J1+7<1+￡

75.N

五、應用題(10題)

76.

設Q是由拋物線v=2/和直線①=a,z=2及.y=0所圍成的平面區域；D?是由

拋物線y=2M和直線y=0,*=a所圍成的平面區域.其中0VaV2.

(1)試求D,繞了軸旋轉而成的旋轉體體積％;S繞.v軸旋轉而成的旋轉體體積匕；

(2)問當a為何值時％+匕取得最大值?試求此最大值.

77.

某公司主營業務是生產自行車，而且產銷平衡，公司的成本函數CGr)=40000+

200H-0.002一,收入函數RO)=350H—0.004>，則生產多少輛自行車時，公司的利潤最大？

78.

求|Tdid”.。,>+，=i,，+?=21=0所圍區域在第一象限部分且』?>

4；+72

已知二元函數二其中/(〃)為可導演數,

證明：上]a餐.+1!c?*=二*

x￡r.rdj-J

79.

80.

某商品的需求函數為

Q=25—P,

求：(1)P=2時的需求彈性；

(2)在P=2時,若價格P上漲1%,總收益的變化情況；

(3)P為何值時，總收益最大.

81.

過點M(3,0)作曲線y=1水_1-3)的切線，該切線與此曲線及“軸圍成一平面圖形上

試求平面圖形D繞1軸旋轉一周所得旋轉體的體積.

82.

曲線.y=0),直線z+),=2以及y軸圍成一平面圖形D.試求平面圖形D繞

y軸旋轉一周所得旋轉體的體積.

83.

計算由曲線①=0,3=eLy=e所圍成的平面圖形的面積.

84.

18.計算由丁=9--直線工=2及y=一1所圍成的平面圖形上面部分(面積大的那部

分)的面積A.

85.

；.i....x"?工能：三洋“?心?*:$二‘

一曲線通過點,3)且在任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標的倒數,求：

(1)該曲線的方程；

(2)該曲線與7軸及直線z=e"所圍成的圖形繞y軸旋轉一周所成旋轉體的體積.

.、”丁

六、綜合題(2題)

設曲線/(x)=xe

(1)求其在點(0,0)處的切線方程；

⑵證明:當0V工V1時,/Cr)>/(—).

86.

87.

,過坐標原點作曲線y=e，的切線/.切線/與曲線y=e，及y軸圍成的平面圖形記為

G.求：

切線/的方程;

參考答案

義?i

產M應選

1.A

2.A

=lim’又知/(0)=1,故a=1時，/(片)必連續.

JT?<)X-0JC

3.B

［答案］B

【精析】P(X^c)=1-P(x>c)=P(_r>r).所以P(X><)=■.取「應滿足

小(彳總)=9,貝4與'=0?故c=3.

［答案］A

【精析】因為lim/(.r)=lim(Z>-|-sin2.r)=b.

K-*0*I-。。*

lim/(J)=lim=e°=1.所以〃=1.

7-*0J-?0

又因為f\(0)=lim=lim顯必=2,

4.A'~°+'i+?

/-(0)=lim=-----------------=lim---------=a,

LO-i-o1

所以a=2,故應選A.

A

<A【評注】本題考查的是變量可分離的微分方程的通解.

A項中若tt"=上，結論不成立;

n

B項中若u?=(―1)”，結論不成立；

D項中若%=(―l)n工,結論不成立；

6由絕對收斂的定義知,C項正確……………

V).vr_z

7.A

［答案1A

【精析】B項中，令M=1,C=0,則有|"(f)|W1,c""；

C項中.令M=1,C=0.則有|sin2z|<1?e""；

D項中.令M=1.C=".則有|e"|41?e"；

故B、C、D項均為指數級函數且滿足拉氏變換的存在定理，而A項中，不論選M及('多

大，總有IJ故J不是指數級函數.故應選A.

8.C

【精析】因為只有C項中人工)=/在點,二°處不連續'所以函數/(工)=%不滿

足羅爾定理*故應選C

9.C

【精析】卜in2j"cLr=~~sin2.rd27=一~^-cos2.r+C.故應選C.

10.B

「3?

【精析】lim行&=1而.g1=8,則人錯；1向/1+：~^=1向0=[,

-0IL0——0XLOIZ

則產廣一1在7―0時是/的三階無窮小.故B正確;lim"一。"必=1+

L。X

lim°'°°°2=。。,故C錯;lim內屋=lim二=lim士=oo,故D錯.

j-0IT-0X工-0Xx-0x

11.A

【精析】由題可知，當Hf工。時，一）V0,又Q—工。>>0,故在近的鄰域

2

2（z—x0）

內，/（工）ZU）<。，即/（X）<〃⑥），根據極值的定義可知/<XO）是/（X）的極大

值，故應選A.

12.A

【精析】因為點（1,2）是曲線的拐點，則當丁=1時、y"=6ar+2b—6a+2/,=0.又

當i1時,y=ab—2.所以可求得a=—1J>3.

13.C

C

【評注】兩邊同時對x求導，得l-2y+cosy?y=0,將x=O,y=O代入得：

ylx^o=1.

'>■0

14.C

15.B

【精析】/"（]）=伊（1）+（彳-io）-（7）*則f'（戈o）=中（見），故選B.

[答案1C

【精析】arg（—1+3i）=n+arctan-^7

-1

16c—it—arctan3.

17.C

18.D

[答案1D

【精析】W'（H）=[[（1+si/Dd/]'=（1+sin[/）?（f）'=2x（1+sin?/），故應

選D.

19.B

［答案］B

【精析】如圖所示.聯立〈“一丁’可得二者在第一象限的交點為

y—4①.

(；.2),所以所圍圖形的面積為

=弓?一21n2.

第I題圖

20.A

.r+2

y=1+?顯然彳=-2為可去間斷點.

(才+2)(工一3)

limv=8.故］=3為曲線的垂直漸近線.故只有一條垂直漸近線.本題選A.

x?3

21.B

【精析】四個選項中只有B項滿足拉格朗日中值定理的兩個條件，故應選B.

22.B

【精析】lim—+=0.lim*.1=8.

所以.y=0是水平漸近線一=±箝是垂直漸近線?故應選B.

23.B

24.B

1.12aiu~.I?.Zsix-

lim(1+2sin①)；=lim(1+2siirr)w丁=「lim(1+2sinz)有丁=ew.

jt-0x?0L」.0」

25.A

【精析】,(z)="一,、(-“)=-工"一工m="汨=,Cz),所

以》為偶函數，故本題選A.

26.A

[答案1A

【精析】=lime"=1.lim/(a)=lim(〃+sin2、r)=b,

-

jr-*OJT-*O-1-*。+工--0+

由/(a)在①=0處可導知。=1,

口jz\I-/<)—f(0)..(14-sin2.r)—1°

又/+(n0)=hm-------《---=lim---------------=2,

LO+]一0LO+1

/,，-(c0)=hm-/-(-.-r-)---/-(-O-)=l..im-e-"---]-=a,

LO-d一01廠/

所以a=2,故應選A.

27.C

28.A

【精析】d]/⑴如二/⑴ii,放選項B和選項網不IE蒯F%)也二F(『)+C

VI

29.C

(〃+a§工3

解：因lim，X二/廝以《今收斂，故選C.

…n2"一工n2占2"

2n

30.A

[答案1A

【精析】設長方體的長寬分別為。方,則高為學，

ab

于是，表面積5=2(a/>+^+—)=2而+顯+3

baab

a=3,

/?=3*

2727

由實際問題最值一定存在，可知最小表面積S=2(3X3+等+等)=54(nf).

31.

J_

T

【精析】AB=E,則IA||B|=IE|.即4IZJI=1，故IBI=-

4

32.

2

【精析】由于/(x)=0.lim=lim=/<o)=2.

x-*O1

33.

2

(200、"200、90

【評注】因為/=231->100100，所以r(4)=2.

J3J3bJ3L

2

110

【評注】9/.|/1|=2-

121

34.2

35.

3,=（G+aa）e，（G，a為任意常數）

【精析】特征方程為/一2廠+1=0.解得特征根為門=r2=1.

所以所求通解為3,=（（；+（、21）寸,其中G.Q為任意常數.

36.

1

1

1j_1

x~+z71+z誦

limlimlim1,故有￡—：=0,即為x

k

x-*0xL07-*0T

37.

-sinx+C^+Q

-sinx+C,x+C2

【評注】Jy(x)±r=J(jsinxdxjdx=—sinx+Ctx+C2.

38.0

【精析】X?N(2,d),則出心?

a

P(0<X<4)=P(/)=1-29(一/)=0.3,故又一■|■)=().35,

P(X<0)=一)=?(一)=0.35.

39.

4A,

【精析】由于八工）在［0?□上連續，所以/（I85才|）在（-8.+8）連續，以“為周

期?且為偶函數?則根據周期函數在任一周期上的積分相等以及偶函數的積分性質

可得

-

Z=2J/(|COSJT|)dx=2Jr/(|COSHI)djr=4J/(|COSJ|)d.r=4A.

40.

41.

o2JCOy4

【精析】lim/1+—\——lim/1+—)——e4.

7—>8\JCj8\JCj

42.

0

【精析】原式=「sin.rd(sinx)=《(sinw)?|=0.

J-f2-i

43.

2018!

/(0)=lim/(工)一/(。)=Iim(i+l)(z+2)…(z+2018)=2O18J.

jf*0/J-0

44.

oo

S2"7

w=0

【精析】由于7^二的幕級數展開式為4=￡〃，故占-=2(I/)"=￡2"?.Z".

11

I4“=01"?=0n=0

45.

~2

【精析】利用等價無窮小量代換，由于Zf0時，e'-l?ln(l+工)?工,

所以

r

1.e—1「工之1

hm]—71——=hm―二一年.

ln(l—2x)l。—lx2

46.

-xsinx-cosx+C

-xsinx-cosx+C

【評注】(cosx)=/(x)>BP/(jc)=-smx?

Jxf'(x^x=b"(x)=Mx)-J/(x>=-xsinx-cosx+C.

47.

.rln.r+C.

(Irur+1)di=[liLrdi+卜i=1?Inz—卜i+'/=.rlrur+C.

48.

r+1

由y=-r—1,得工=1，交換T,y的位置，得反函數為v=J-+1,.r6R.

49.

發散

OO8

因為linv%=lim=旌4>0).故?“與?上具有相同的斂散性,所

It-OO?t?OO1〃

n

oo

以X發散-

1

50.

［答案］(29)

［精析］y'=—.re"x?$=_e'—(e"J—_2c，=(.r—2),

9

令y"=0得①=2,即拐點為(2,￡).

51.

【精析】令S(z)=2〃(〃+1)工"=工12〃(〃+1)才"1=叫＞(工),而

M=1rt=1

GOGQ02

夕(i)=￡〃"+1)工1=￡(產|)"=(E/1)”

?i=1w=ln=I

=(也力”=(土尸?em

于是故工）=叼（工）=卷萬"G「I'D.

52.

【精析】方法一原式=[cos-l.cos/），

Jsin"a'

cosjri.]

.oclr十cot-Jd.r

JsimJ

■?,*

—dsin.z-+(esc2x-1)d.r

JsimJ

------------COtJf-7+C

sin.z-

,,1—2sin--y

方法二原式=-----------di

J2sin2j

=—cot——xC.

53.

.【精析】翌=yf'i?y=y~fz,

dJC

=2/z+y2[/I】?2j?+f22?

oJCOy'」

—2“2+2yi+jcy2f22.

54.

【精析】當工f。時，tanx?"二hT為提型，故進行無窮小替換并使用洛必達

jrtanj0

法則求極限.

十一工一1一e’一工-1e'一11?er1

rlim-------------=lim-------?-----=rlim-------=hm—=『

xtanj,l。JCL。LXL。LI

55.

J+J2H—X*J+J+—xf'

f*fy]

Q+f__________d(x—1)

29J+—(x—1)J

a1.,，i

-T---z-+arcsin(x—1)

oo+

1+工

13,

56.

t*

'Hj

【精析】arctanad.r=jarctanw——?；—；——丁dr

J1+xz

jarctan.z-----^-ln(1+x2)+C.

57.

【精析】Jarc,nea=_Jarctanerde-r=-e-Tarctaner+|J

J1+e"

=-e"arctane'+j(1-盧

=-ezarctaner+z----+//)+C?

58.

ri=(￡/一,)[=

【精析】S=(J7—父2；d?y-y=y-

J0\oo/1o3oo

59.

、sirtr-xsinwJT

【精析】—)=hrm-r-：-----=hm―~\-----

xxsinxx-*oj^sm.r*一。x

—1jp-,

COSJT-1i.21

=Rlim—―；—=lim——=—=-

D31'E3》6

60.

1111a0233

解：增廣矩陣(4。=1023301—1-2-2

(45322,000a-x)

10233、

當a=l時方程組有解，此時(4方)->01-1-2-2

1°0000>

玉+2再+3Z=3

同解方程組為《

3p42,

x2-x3-2x^-2'

則通解為仁為任意常數?

61.

1k4、’11k411k4

2

vAk1k0fc+14+14+公02k-28

-12-4,、0—22—左—800y(l+k\4-k)-4)

當上w-L左K4時，方程組有唯一解：當％=-1時，R(A)=2<R(A)=3,方程組無解;

當上=4時，R(4)=R(Z=2<3方程組有無窮多解;

門144、(1030

由02280114=H，

、0000,、0000

方程組的通解為：%=c(-3,-l,l)r+(0,4,0)r(c為任意常數).

玉+3x3=0,方程組通解為一*=-3七,(其中0為自由未知量)

或由H得同解方程組4

入2+丐=4,馬=4-孫

62.

【精析】(1)稅h利潤為L(Q)=PQ—3Q—1—aQ=(7—0.2Q)Q—3Q—1—“Q

-0.2Q2I(4—a)Q—1,

J/(Q)=-0.4Q+4-a.

令L'(Q)=0.則Q=10-2.5a.

LW(Q)=-0.4<0.

故當銷售量Q-10—2.5〃(噸)時.獲利最大；

(2)稅收總額TaQ=a(10—2.5a)=10a—2.5u2.T'10—5a.

令T'(a)=0.則a=2.『(2)=-5<0.

則當“二2萬元時.征收稅額最大.

63.

“

山

患

為

因

【精析】-石asinf_sin￡

a<l—cos?)1—cost

d7

所以

cost----1-----------*1---------------

(1—cos?)"a(1cosz)

]

a(1—cosz)’

64.

解"(%)=Q+x)ln(l+x)=ln(l+x)+xln(l+x)

COOQfl+1

噎(W笳+?』西

00