上海市2021年中考數學試題

一、選擇題

1.下列實數中，有理數是（）

'4RegD

【答案】C

解：

A、J:：乎：夜是無理數，故￡是無理數

B、6是無理數,故R是無理數

C、為有理數

V42

D、￡=?；&是無理數,故［是無理數

故選：C

【點睛】本題考查二次根式的化簡、無理數的定義、有理數的定義、熟練掌握有理數的定義是關鍵

2.下列單項式中，//的同類項是（）

2

A.B.2a2及C.abD.加

【答案】B

【詳解】的指數是3,b的指數是2,與///中。的指數是2,6的指數是3不一致，

不是//的同類項，不符合題意；

?.%的指數是2,6的指數是3,與中。的指數是2,。的指數是3一致，

是的同類項，符合題意；

?.Z的指數是2,6的指數是I,與中”的指數是2,b的指數是3不一致，

不是/匕3的同類項，不符合題意；

?.Z的指數是1,匕的指數是3,與/獷中a的指數是2,匕的指數是3不一致,

不是//的同類項，不符合題意;

故選8

【點睛】本題考查了同類項，正確理解同類項的定義是解題的關鍵.

3.將拋物線>=以2+區+c（awO）向下平移兩個單位，以下說法錯誤的是（）

A.開口方向不變B.對稱軸不變C.y隨x的變化情況不變D.與y軸的交點不變

【答案】D

【詳解】將拋物線曠=以2+陵+。（。力0）向下平移兩個單位，開口方向不變、對稱軸不變、故），隨x的變

化情況不變；與y軸的交點改變

故選D.

【點睛】此題主要考查二次函數的函數與圖象，解題的關鍵是熟知二次函數圖象平移的特點.

4.商店準備一種包裝袋來包裝大米，經市場調查以后，做出如下統計圖，請問選擇什么樣的包裝最合適（）

A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包

【答案】A

【詳解】由圖可知，選擇1.5kg/包-2.5kg/包的范圍內的人數最多，

選擇在1.5kg/包-2.5kg/包的范圍內的包裝最合適.

故選：A.

5.如圖，已知平行四邊形A8CD中，AB=a,AD=b，E為A8中點,^.—a+b=()

2

￡H

A.ECB.CEC-EDD-DE

【答案】A

【詳解】???四邊形ABC。是平行四邊形，E為A3中點,

：.-a+b^-AB+BC^EB+BC^EC

22

故選A.

6.如圖，已知長方形A3CD中，AB=4,AO=3,圓8的半徑為1,圓A與圓8內切，則點C,。與圓A

的位置關系是（）

A.點C在圓A外，點。在圓A內B.點C在圓A外，點。在圓4外

C.點C在圓A上，點。在圓A內D.點C在圓A內，點。在圓A外

【答案】C

?..圓4與圓8內切，AB=4,圓B的半徑為1

.?.圓A的半徑為5

?；AZ)=3<5

.?.點。在圓4內

2222

在用ZV1BC中，Ac=y/AB+BC=74+3=5

.?.點C在圓A上

故選：C

【點睛】本題考查點與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關系是關鍵

二、填空題

7.計算：x1-i-x2=------------

【答案】X5

【詳解】

故答案為：X5.

8.已知，（x）=g,那么/（由）=---------

X

【答案】2也.

6

解：???/（%）=一,

X

f電）=^=26,

故答案為：2也.

［點睛］本題主要考查了函數值，正確把已知代入是解題關鍵?

9.已知?74=3,則*=------------

【答案】5

解：Jx+4=3，

兩邊同平方，得尤+4=9，

解得：x=5,

經檢驗，％=5是方程的解，

故答案是：5.

10,不等式2x-12<0的解集是-

【答案】x<6

【詳解】2x-12<0

2%<12

x<6

故答案為：x<6.

11.70°的余角是?

【答案】20。

［詳解】70°的余角是90°-70°=20°

故答案為：20。.

12.若一元二次方程2x2—3x+c=0無解，則c的取值范圍為.

9

【答案】c〉一

8

解：關于x的一元二次方程2尤2—3x+c=0無解，

a=2,Z?=-3>c=c,

：.=/-4ac=(-3)2-4X2C<0,

9

解得c>一,

8

9

；.c的取值范圍是c>'.

8

9

故答案為：c>—.

8

13.有數據1,2,3,5,8,13,21,34,從這些數據中取一個數據，得到偶數的概率為.

【答案】f

O

【分析】根據概率公式計算即可

【詳解】根據概率公式，得偶數的概率為J,

O

,3

故答案為：-.

O

【點睛】本題考查了概率計算，熟練掌握概率計算公式是解題的關鍵.

14.已知函數丫=后經過二、四象限，且函數不經過請寫出一個符合條件的函數解析式.

【答案】y=-2x(攵<0且Zw—1即可)

【分析】正比例函數經過二、四象限，得到k<0,又不經過(-1,1),得到厚-1,由此即可求解.

解：?.?正比例函數y=履經過二、四象限，

：.k<0,

當y=Ar經過(-1,1)時,k=-l,

由題意函數不經過說明后-1,

故可以寫的函數解析式為：y=-2%(本題答案不唯一，只要％<0且Zw-1即可).

【點睛】本題考查了正比例函數的圖像和性質，屬于基礎題，丫=丘(原0)當女<0時經過第二、四象限；當

%>0時經過第一、三象限.

15.某人購進一批蘋果到集貿市場零售，已知賣出的蘋果數量與售價之間的關系如圖所示，成本為5元/千

克，現以8元/千克賣出，賺元.

33人

【答案】

丁

【詳解】設賣出的蘋果數量與售價之間的關系式為y=g+〃(5WxW10),將(5,4k),(10,k)代入

關系式：

5m+n=4km-~~k

1。，〃+〃=/解得5

n=7k

3

y=-：h+72(5K10)

令x=8,則y=

1I33

，利潤二(8—5)x,Z=^Z

16.如圖，已知q白些=i不，則q^:二―

3BCD23BCD

2

【答案】-

3

解：作AE_L8C,CFVBD

??SABD=1

*S~2

uBCD4

???△ABD和△3CQ等高，高均為AE

o_ADAE4n[

.??SA8J2=絲」

SBCDIfiCAEBC2

2

?:AD//BC

???MAODsXCOB

——OD=A——D=1一

OBBC2

???△80C和△OOC等高，高均為CF

0BCF

SBOC\OB2

?D(JC—乙——

**---：------~j---------------------——

SDOCLoDCF°。1

2

.SBOC__2

SBCD3

2

故答案為：一

3

17.六個帶30。角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1,求中間正六邊形的面積

解：如圖所示，連接AC、AE、CE,作BG_LAC、DI_LCE、FHLAE.A/±CE,

在正六邊形ABCQEF中，

???直角三角板的最短邊為1,

...正六邊形ABCOEF為1,

/\ABC.XCDE、為以1為邊長的等腰三角形，4ACE為等邊三角形，

:NABC=NCDE=NEFA=120°,AB=BC=CD=DE=EF=FA=1,

：.ZBAG=ZBCG=ZDCE=ZDEC=ZFAE=ZFEA=30°,

:.BG=DI=FH=L,

2

...由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=^-,

2

：.AC=AE=CE=6

3

...由勾股定理得：AI=~,

2

5=3x—xV3x—+—x5/3x—=XE,

22222

故答案為：空.

2

18.定義：在平面內，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內有一個正方形,

邊長為2,中心為。，在正方形外有一點P,0P=2,當正方形繞著點。旋轉時，則點尸到正方形的最短距

離d的取值范圍為.

【答案】2-42<d<\

解：如圖1,設的中點為E,連接。4,0E,則AE=OE=1,NAEO=90°,。4=行.

.?.點。與正方形ABC。邊上的所有點的連線中,

0E最小，等于1，0A最大，等于J5.

.?.點P與正方形A3CD邊上的所有點的連線中，

如圖2所示，當點E落在0P上時，最大值PE=PO-EO=2-1=1；

如圖3所示，當點A落在0P上時，最小值PA=PO—AO=2—J5.

當正方形A8C￡>繞中心0旋轉時,點P到正方形的距離d的取值范圍是2—起<d<\-

故答案為：2-也WdVl

三、解答題

19.計算：95+|1-V2|-2-IXV8

【答案】2

解：93+11—01—2一1x返，

=V9-(1-V2)-^X2V2,

=3+V2-l-V2，

=2.

x+y=3

20.解方程組:

x2-4y2=0

x=2x=6

【答案】和＜

[y=lfy=-3

x+y=3(1)

解：由題意:

22

x-4y=0(2)

由方程(1)得到：尤=3-y,再代入方程(2)中:

得到：(3-y)2-4y2=0,

進一步整理為：3-y=2y或3-y=-2y,

解得X=l，%=-3，

再回代方程(1)中，解得對應的演=2,々=6，

x—2x=6

故方程組的解為：，和《.

.y=i[y=-3

21.已知在△A3。中，AC1BD,BC=8,CD=4,cosZABC=BP為AO邊上的中線.

(1)求AC的長；

(2)求tan的值.

3

【答案】(1)AC=6；(2)—

10

4

【詳解】(1)?.?ACLBO,cosZABC=-

AcosZABC=—=-

AB5

：.AB=IO

；?AC=J/§2一BC.z=6：

(2)過點F作FG_LBD,

：BE為A。邊上的中線.

.?.尸是AO中點

'：FG±BD,ACA.BD

：.FG//AC

；.FG是△人□)的中位線

：.FG=-AC=3

2

CG=-CD=2

2

22.現在5G手機非常流行，某公司第一季度總共生產80萬部5G手機，三個月生產情況如下圖.

（2）5G手機速度很快，比4G下載速度每秒多95MB,下載一部1000MB的電影，5G比4G要快190秒,

求5G手機的下載速度.

【答案】（1）36萬部；（2）100MB/秒

【詳解】⑴3月份的百分比=1-30%-25%=45%

三月份共生產的手機數=80x45%=36（萬部）

答：三月份共生產了36萬部手機.

(2)設5G手機的下載速度為尤MB/秒，則4G下載速度為(x-95)MB/秒,

10001000

由題意可知:-----------------=190

x-95x

解得：x=100

檢驗：當x=100時，—95)/0

100是原分式方程的解.

答：5G手機的下載速度為100MB/秒.

23.已知：在圓。內，弦A。與弦8C交于點G,AO=CB,M,N分別是CB和AD的中點，聯結MN,OG.

(2)聯結AC,AM,CN,當CN//OG時，求證：四邊形ACNM為矩形.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【詳解】證明：(1)連結。W,ON,

?；M、N分別是CB和的中點，

：.OM,ON為弦心總回

：.OM±BC,ON1AD,

ZGMO=ZGNO=90°,

在。中，AB=CD,

OM=ON,

在RtxOMG和RsONG中，

OM=ON

OG=OG'

Rt\GOM^Rt\GON(HL),

:.MG=NG,NMGO=NNGO,

，OGIMN;

(2)設OG交MN于E,

RtkGOM色RtkGON〈HL),

MG=NG,

NGMN=4GNM,即Z.CMN=NANM,

CM=-CB=-AD=AN,

22

在△CMN和△ANM中

CM=AN

-4cMN=4ANM,

MN=NM

CMN"ANM,

AM=CN,ZAMN=4CNM,

,:CN〃OG,

：.NCNM=NGEM=90°,

：.4AMN=4CNM=90°,

NAMN+4CNM=90°+90°=180°,

:.AM〃CN,

ACNM是平行四邊形，

ZAMN=90°,

四邊形ACMW是矩形.

24.已知拋物線y=ax2+c(a￥0)過點尸(3,0),0(1,4).

(2)點A在直線PQ上且在第一象限內，過A作軸于8,以AB為斜邊在其左側作等腰直角ABC.

①若A與。重合，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C落在拋物線上，求C的坐標.

【答案】(1)y-X2H—；(2)①1；②點C的坐標是(一2,7]

22I2)

,f9a+c=0,

【詳解】⑴將「(3,0)、。(1,4)兩點分別代入〉=加+。，得《

Q+C=4,

19

解得Q=__,C=_.

22

19

所以拋物線的解析式是y=-2x7+2'

(2)①如圖2,拋物線的對稱軸是y軸，當點A與點。(1,4)重合時，AB=4,

作SLAB于從

ABC是等腰直角三角形，

C8”和C4H也是等腰直角三角形，

CH=AH=BH=2,

...點C到拋物線的對稱軸的距離等于1.

3&+Z?=0,

②如圖3,設直線PQ的解析式為尸去+〃，由尸（3,0）、2（1,4）,得v

k+b=4,

k=—2,

解得

b=6,

???直線PQ的解析式為y=-2%+6,

設A(m,-2m+6),

AB=-2m+6,

所以C”=BH=AH=一根+3.

m

所以>c=~+3,xc=-(-in+3-m)=2m-3.

19

將點C(2加-3,+3)代入y=-]%29+],

1,9

得一m+3=——（2加一3尸+—.

22

整理，得2>-7帆+3=0.

因式分解，得（2加一1）（加-3）=0.

解得根=’,或加=3（與點3重合，舍去）.

2

當機=，時，2機—3=1—3=—2,—m+3=——+3=—.

222

所以點C的坐標是

【點評】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數解析式的確定，等腰直角三角形的性質，一元二次方

程的解法，熟練掌握待定系數法，靈活用解析式表示點的坐標，熟練解一元二次方程是解題的關鍵.

25.如圖，在梯形ABCD中，4。//3。,/48。=90。,4。=8,。是對角線4。的中點，聯結8。并延

長交邊CD或邊于￡.

(1)當點E在邊CO上時，

①求證：DAC^OBC-,

②若BELCD,求吆的值；

BC

(2)若DE=2,OE=3,求CO的長.

2

【答案】(1)①見解析；②];(2)1+J歷或3+J歷

【詳解】(1)①由AD=C。，得N1=N2.

由AD//BC,得N1=N3.

因為8。是RtZkABC斜邊上的中線，所以。8=0。.所以/3=N4.

所以/1=N2=N3=N4.

所以D4csOBC.

②若BELCO,那么在RtBCE中,由N2=N3=N4.可得N2=/3=/4=30。.