（挑戰壓軸）專項27.2相似三角形種A字型（2種類型）【方法技巧】有一個公共角（圖①、圖②）或角有公共部分（圖③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此時需要找另一對角相等，另外若題中未明確相似三角形對應頂點，則需要分類討論，如圖③中可找條件∠D＝∠C或∠D＝∠B.1.如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴S△ADE∽S△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值為，故選：B．2.如圖，在△ABC中，點E、F分別在AB、AC上，EF∥BC，＝，四邊形BCFE的面積為21，則△ABC的面積是（）A． B．25 C．35 D．63【答案】B【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2，∵＝，∴＝，∴＝（）2＝（）2＝，∵四邊形BCFE的面積為21，S△ABC＝S△AEF+S四邊形BCFE，∴S△ABC＝4+21＝25，故選：B．3.如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，若△ADE的面積是4cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【答案】C【解答】解：∵點D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面積是4cm2，∴△ABC的面積是16cm2，∴四邊形BDEC的面積＝△ABC的面積﹣△ADE的面積＝16﹣4＝12（cm2），故選：C．4．（2019?梁平區模擬）如圖，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故選：B．5．（2021?綏化）兩個相似三角形的最短邊分別為5cm和3cm，它們的周長之差為12cm，那么大三角形的周長為（）A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm【答案】D【解答】解：根據題意得兩三角形的周長的比為5：3，設兩三角形的周長分別為5xcm，3xcm，則5x﹣3x＝12，解得x＝6，所以5x＝30，即大三角形的周長為30cm．故選：D．6．（2022?漳州模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，若△ADE的面積是4cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【答案】C【解答】解：∵點D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面積是4cm2，∴△ABC的面積是16cm2，∴四邊形BDEC的面積＝△ABC的面積﹣△ADE的面積＝16﹣4＝12（cm2），故選：C7．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC，DF分別交l1，l2，l3于點A，B，C和點D，E，F，連結AF，作BG∥AF，若＝，BG＝6，則AF的長為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解答】解：∵l1∥l2∥l3，＝，∴＝＝，∴＝，∵BG∥AF，∴∠CGB＝∠CFA，∠CBG＝∠CAF，∴△CBG∽△CAF，∴＝，∴＝，∴AF＝10，故選：C．8.如圖，有一塊三角形余料ABC，BC＝120mm，高線AD＝90mm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，點P、M分別在AB，AC上，若滿足PM：PQ＝2：1，則PQ的長為（）A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm【答案】A【解答】解：如圖，設AD交PN于點K．∵PM：PQ＝2：1，∴可以假設MP＝2kmm，PQ＝kmm．∵四邊形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝36，∴PQ＝36mm．故選：A．9.已知：如圖，在△ABC中，∠ADE＝∠C，則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【解答】解：∵在△ABC中，∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴．故選：B．10．（2022?館陶縣模擬）如圖，有一塊等腰三角形材料，底邊BC＝80cm，高AD＝120cm，現要把它加工成正方形零件，使其一邊在BC邊上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，則這個正方形零件的邊長為（）A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm【答案】C】【解答】解：設正方形的邊長為xcm，則AK＝（120﹣x）cm，∵四邊形HEFG是正方形，∴HG∥EF，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48，故選：C．11．（2022春?任城區校級期末）如圖，有一塊三角形余料ABC，BC＝120mm，高線AD＝90mm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，點P、M分別在AB，AC上，若滿足PM：PQ＝2：1，則PQ的長為（）A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm【答案】A【解答】解：如圖，設AD交PM于點K．∵PM：PQ＝2：1，∴可以假設MP＝2kmm，PQ＝kmm．∵四邊形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝36，∴PQ＝36mm．故選：A．12.已知：如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，點D位于邊AB上，過點D作邊BC的平行線交邊AC于點E，過點D作邊AC的平行線交邊BC于點F，設AE＝x，四邊形CEDF的面積為y，則y關于x的函數關系式是．（不必寫定義域）【答案】y＝﹣x2+8x【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DECF是平行四邊形，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝x，∴矩形CEDF的面積＝DE?CE，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+8x，故答案為：y＝﹣x2+8x．13．（2021?鎮江）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點，若＝，則＝．【答案】【解答】解：∵M，N分別是DE，BC的中點，∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案為：．14．如圖，E為?ABCD的邊CD延長線上的一點，連結BE交AC于點O，交AD點F．（1）求證：△AOB∽△COE；（2）求證：BO2＝EO?FO．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COE；（2）∵△AOB∽△COE，∴，∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴，∴，即OB2＝OF?OE．15．如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）若＝，△EFC的面積為9，求△ABC的面積．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）∵EF∥AB，∴△ABC∽△FEC，∴，∵，∴，∴＝，又∵△EFC的面積為9，∴△ABC的面積為49．16．（2022秋?宜興市月考）有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設HE的長為ycm、EF的長為xcm．（1）寫出y與x的函數關系式；（2）當x取多少時，EFGH是正方形．【解答】解：（1）∵BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的長為ycm、EF的長為xcm，四邊形EFGH是矩形，∴AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x；（2）由（1）可知，y與x的函數關系式為y＝8﹣x，∵四邊形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y，∴x＝8﹣x，解得x＝，答：當x＝時，四邊形EFGH是正方形．17．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延長線于點E，連結AE交BD于點F，交CD于點G，連結CF．（1）求證：AF＝CF；（2）求證：AF2＝EF?GF；（3）若菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，求FG的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF．（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，∴∠DAF＝∠FEC，∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF，∴∠DAF＝∠DCF，∴∠GCF＝∠CEF，∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC