2020-2021學年北京市東城區高三（上）期末數學試卷

一、選擇題（共10小題）.

1.（4分）已知集合A={尤|尤-120},B={0,1,2},貝（）

A.{0}B.{1}C.{2}D.{1,2}

2.（4分）已知{3}是公差為d的等差數列，S”為其前a項和.若S3=3m+3,則d=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（4分）下列函數中，既是奇函數，又在區間（0,1）上單調遞增的是（）

A.y=2~xB.y—lnxC.v=—D.y=siru

-x

4.（4分）將正方體去掉一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側（左）視圖

為（）

一

Z_J

5.(4分)與圓N+。-1)2=5相切于點(2,2）的直線的斜率為（）

A.-2B.——C.—D.2

22

TT

6.(4分)函數f(x)=2sin(cox+(p)(oo>O,|（p|<—）的部分圖象如圖所示，?]f（ir）

=()

A.-VsB.-亨C.喙D.M

7.（4分）設之，4是兩個不共線向量，則'■與芯的夾角為銳角”是“之，（a-P”的

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（4分）十二生肖，又叫屬相，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、

豬.現有十二生肖的吉祥物各一個，甲、乙、丙三名同學從中各選一個，甲沒有選擇馬，

乙、丙二人恰有一人選擇羊，則不同的選法有（）

A.242種B.220種C.200種D.110種

9.（4分）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點尸到準線的距離為2,過焦點F的直線與拋

物線交于A,B兩點、,JL|AF|=3|FB|,貝U點A至y,山的星巨離為)

A.5B.4C.3D.2

10.（4分）某公園門票單價30元，相關優惠政策如下：

①10人（含）以上團體購票9折優惠；

②50人（含）以上團體購票8折優惠；

③100人（含）以上團體購票7折優惠；

④購票總額每滿500元減100元（單張票價不優惠）.

現購買47張門票，合理地設計購票方案，則門票費用最少為（）

A.1090元B.1171元C.1200元D.1210元

二、填空題（共5小題）.

11.復數出金=.

1

12.函數f（x）=，乂-廿底的定義域是

1OTT

13.已知sin8=-k，0e(7i,,則cosB=,cos20=

32

22

14.已知雙曲線M：9-%=1(a>0,b>0),ZVIBC為等邊三角形.若點4在》軸上,

點、B,C在雙曲線M上，且雙曲線"的實軸為△ABC的中位線，則雙曲線"的離心率

為

15.已知函數/(x)=23同+33叫xe[O,2n],其中國表示不超過x的最大整數.例如：[1]

=1,[0.5]=0,[-0.5]=-1.

?f(等)=;

O

②若/(x)>x+a對任意冊[0,22都成立，則實數。的取值范圍是.

三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

16.(13分)如圖，在四棱錐P-4BC。中，PD_L平面ABC。，PD=4,底面ABCD是邊

長為2的正方形，E,尸分別為尸2,PC的中點.

(I)求證：平面平面PCD；

(II)求直線BP與平面ADE所成角的正弦值.

17.(13分)已知函數g(x)=sin(x-?L),h(x)=cosx,再從條件①、條件②這兩

6

個條件中選擇一個作為已知，求:

(1)/(%)的最小正周期;

(II)f(x)在區間[0,3]上的最大值.

條件①：f(x)=g(%)?"(%)；

條件②：f(x)=g(尤)+h(x).

18.(14分)為了解果園某種水果產量情況，隨機抽取10個水果測量質量，樣本數據分組

為[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](單

位：克)，其頻率分布直方圖如圖所示:

(I)用分層抽樣的方法從樣本里質量在［250,300),［300,350)的水果中抽取6個,

求質量在［250,300)的水果數量;

(II)從(I)中得到的6個水果中隨機抽取3個，記X為質量在［300,350)的水果數

量，求X的分布列和數學期望;

(III)果園現有該種水果約20000個，其等級規格及銷售價格如表所示,

質量加(單m<200200^m<加2300

位：克)300

等級規格二等一等特等

價格(元/4710

個)

19.2,0),B(2,0),且離

ab

心率為工.

2

(I)求橢圓C的方程;

(II)設直線/與橢圓C有且僅有一個公共點E,且與x軸交于點G(￡,G不重合)，

軸，垂足為T.求證：瑞-=僵卜.

2

20.(15分)已知函數/(x)=1-=—,flGR.

e

(I)若曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線平行于直線y=x,求該切線方程;

(II)若a=l,求證：當x>0時，f(x)>0;

(III)若/(x)恰有兩個零點，求〃的值.

21.(15分)給定正整數利tQmMt),若數列A：ai,〃2,…，斯，…滿足：(0,1),

ai=ai+t,m+〃2+…+勾=根，則稱數列A具有性質E(e,m).

對于兩個數列8：bl,bl,???,bn,…；C：Cl,C2,Cn,…，

定義數列B+C：bl+Cl9b?+C2,…，bn+Cn,….

(I)設數列A具有性質E(4,2),數歹4B的通項公式為bn=n(及CN*),求數列A+B

的前四項和；

(II)設數列A?(記N*)具有性質E(4,m),數歹4B滿足切=1,歷=2,加=3,九

=4且勿=仿+4OWN*).若存在一組數列4,A2,……,Ak,使得A1+A2+…+4+B為常

數列，求出機所有可能的值；

(III)設數列Ai(氾N*)具有性質E(t,t-1)(常數。2),數列B滿足歷=1,fa

=2,…，瓦=/且%=M(JcN*).若存在一組數列Ai,A2,…，Ak,使得A1+A2+—+4+3

為常數列，求k的最小值.(只需寫出結論)

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項。

1.（4分）已知集合4=*仇-120},B=[Q,1,2],則AAB=（）

A.{0}B.{1}C.{2}D.{1,2}

解：：A={x|x》l},B={0,1,2）,

/.AnB={l,2}.

故選：D.

2.（4分）已知{3}是公差為d的等差數列，S”為其前〃項和.若S3=3m+3,貝4d=（）

A.-2B.-1C.1D.2

解：\"S3=3tzi+3,3a\+3d=3a\+3,

則d=1.

故選：C.

3.（4分）下列函數中，既是奇函數，又在區間（0,1）上單調遞增的是（）

A.y=2~xB.y—hixC.v=—D.y=sinx

"x

解：對于A,y=21為非奇非偶函數，不符合題意；

對于8,叱為非奇非偶函數，不符合題意；

對于C,y=」為奇函數，但在區間（0,1）上單調遞減，不符合題意；

x

對于。，y=sinx為奇函數，由正弦函數的圖象可知，y=sinx在區間（0,1）上單調遞增，

符合題意.

故選：D.

4.（4分）將正方體去掉一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側（左）視圖

為（）

解：將幾何體補充為正方體，如圖1所示:

則該正方體去掉這個四棱錐，得到的幾何體的側（左）視圖如圖2所示:

故選：B.

5.（4分）與圓N+（y-1）2=5相切于點（2,2）的直線的斜率為（）

A.-2B.--C.—D.2

22

解：根據題意，圓N+（y-1）2=5,其圓心為（0,1）,設圓心為C,切點（2,2）為

2-11

則Kpc=

則切線的斜率k=-2,

故選：A.

（）〈言）的部分圖象如圖所示，則（）

6.(4分)函數f(x)=2sin(o)x+(p)3>0,|q|/TT

C.亨

b-4D.M

T5兀/冗）兀

解：由圖可知,（F）則T=n,.*.0)=2,

212

兀.71

又2X梟■+(p=T，.*.(p=--

/o

則/(x)=2sin(2x-,

7TJT

.*./(it)=2sin(2ir-^-)=2sin(-—

33

故選：A.

7.（4分）設:，誕兩個不共線向量，則“二與石的夾角為銳角”是（之-E）”的

)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：若汽」■（了h>），

則a?(a-b)=a?Ta||b|cos<a,b>

=Ia|(|aITb|cos<a,b>)=。

E是兩個不共線向量，，之聲萬，即|之|盧0,

|a|=|b|cos<a,b>，

**?cos<a，b>>。，,；<a,b>卉C;?a與b的夾角為銳角，

而彳與E的夾角為銳角，不妨設a=（l,0）,b=（2,2）,

此時（之-4）=-1#。，故之與（之-己）不垂直，

???與E的夾角為銳角”是（1-b）”的必要不充分條件.

故選:B.

8.（4分）十二生肖，又叫屬相，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、

豬.現有十二生肖的吉祥物各一個，甲、乙、丙三名同學從中各選一個，甲沒有選擇馬，

乙、丙二人恰有一人選擇羊，則不同的選法有（）

A.242種B.220種C.200種D.110種

解：根據題意，分3步進行分析：

對于甲，不選馬和羊，有10種選法，

對于乙和丙，有1個人選擇羊，有2種選法，

剩下1人在剩下10個生肖中任選1個，有10種選法,

則有10X2X10=200種不同的選法，

故選：C.

9.（4分）已知拋物線儼=23（p>0）的焦點尸到準線的距離為2,過焦點廠的直線與拋

物線交于A,B兩點,且|AF|=3尸8],則點A到y軸的距離為（）

A.5B.4C.3D.2

解:焦點F到準線的距離為0=2,

過點A作A。垂直于準線/于點。，過點B作BE垂直于/于點E,延長A3交/于點C,

則△BCEsZ\ACD,

訴,、,BCBEBF1

ACADAF3

記8。=尤，則AC=3x,

因為|AQ=3|/3],

112

所以AF=3BF=VX,

422

因為CF=BC+BF=言x，尸為AC的中點,

所以AO=2PG=4,

即點A至Iy軸的距離為4差=3.

故選：C.

10.（4分）某公園門票單價30元，相關優惠政策如下：

①10人（含）以上團體購票9折優惠；

②50人（含）以上團體購票8折優惠；

③100人（含）以上團體購票7折優惠；

④購票總額每滿500元減100元（單張票價不優惠）.

現購買47張門票，合理地設計購票方案，則門票費用最少為（）

A.1090元B.1171元C.1200元D.⑵0元

解：由于需要購買47張門票，所以不能享受優惠政策中的②和③，

若只按優惠政策①購買，則門票費用為47X30X90%=1269元；

若將47分為17+17+13,則可享受兩次優惠政策④，一次優惠政策①,

門票費用為（17X30-100）X2+13X30X90%=1171元，

因為1269>1171,所以門票費用最少為1171元.

故選：B.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.復數支生=4-3i.

i

解：復數^^-="10+,）=4-3i.

i-i*i

故答案為：4-3z.

12.函數/（x）=A/X-1+/HX的定義域是［1,+8）

解：由題意得:

(x-1^0

解得：

[x>0

故函數的定義域是［1,+8）,

故答案為：口，+8）.

13.已知sin8=-工，0e（K,兀）,則cos6=__--,cos20=—.

32----3一—9一

解：因為sin8=-a，0E（IT,吊二）,

o乙

可得cose=-Vl-sin20=-4卜昌）2=-當2，

Voo

可得cos29=2cos-1=2X（-義三_）2-1=—.

39

故答案為：-2返，L

39

22

14.已知雙曲線M：￡k_上5=1（?>0,b>0）,ZkABC為等邊三角形.若點A在y軸上，

a

點、B,C在雙曲線M上，且雙曲線M的實軸為△ABC的中位線，則雙曲線"的離心率

為

解：?.?雙曲線M■的實軸為△ABC的中位線，

，等邊AA8C的邊長為4a,

假設點8在第一象限，則點8的坐標為（2a,?。?/p>

A2Q2

將其代入雙曲線/的方程有，%當1=1,

15.已知函數/（x）=2回回+3[。麗，xG[0,2n],其中國表示不超過x的最大整數.例如：[1]

=1,[0.5]=0,[-0.5]=-1.

&f（等）=-4-；

OO

②若/（x）>%+〃對任意尤[0,2冗]都成立，則實數〃的取值范圍是（-8,~1-2汨.

解：@f（2"）=2[sin-^r—]+3[COS-^T—]=2[^^-]+3[-z-]=2°+3-|=-^-;

②若/（%）>%+〃對任意xC[0,2n]都成立，

即為a<f（x）-工=2圖時+3歸。網-x對任意％6[0,2冗]都成立，

當x=0或％=2冗時，f(%)-I=1+3=4或4一2n;

當-時，f(x)-x=2+l-^-=3-

222

i4.

當x=n時，f(x)-x=l+--n=--n;

33

3兀

當%=3j時,f(x)

當OVxV~^-時，sinxe(0,1),cosxG(0,1),

可得。＜2。+3?！?=2--;

22

同理可得當‘-VxVn時，可得4Z^2°+3-1-ii=--ii;

23

當itVxvS^L時，可得aW2-i+3-i-2L=5-

2262

當支L<xV2Tt時，可得aW2r+30-2ir=』-2TT.

22

綜上可得，〃的取值范圍是（-8,^--2n].

故答案為：—；（-8,三-如].

32

三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

16.（13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PO_L平面ABC。，PD=4,底面ABCZ）是邊

長為2的正方形，E,F分別為PB,PC的中點.

（I）求證：平面AOEJ■平面PC￡>；

（II）求直線與平面AOE所成角的正弦值.

【解答】（I）證明：因為PD_L平面4BC。,

所以PD.LAD,

因為底面ABC。是正方形，

所以AZ）_LC。，

因為PDHCD=D,

所以A￡)_L平面PCD,

又AZ)u平面AOE,

所以平面AOE_L平面PCD;

(II)解：因為PZ)_L平面ABC。,

所以P￡)_LA。，PD-LCD,

因為底面ABC。是正方形,

所以A￡>_LC￡),

如圖建立空間直角坐標系￡>-xyz,

因為PD=4,底面是邊長為2的正方形，

所以「(0,0,4),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E

(1,1,2),F(0,1,2),

貝'1X=(2,0,0),DE=(1,1,2),BF=(-2,-1,2),

設平面的法向量為'=(x,y,z),

,m-DA=0(2x=0

則n有＜______，可承occ，

,m'DE=0lx+y+2z=o

所以孟=(0,2,-1),

設直線BF與平面AOE所成的角為9,

則sine=|cos〈而，含卜叵弓：始,

IBFIImIV9XV515

所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為今醇.

17.(13分)已知函數g(無)=sin(x-?L),h(x)=cosx,再從條件①、條件②這兩

6

個條件中選擇一個作為已知，求:

(1)/(%)的最小正周期；

TT

(II)/(x)在區間[0,虧]上的最大值.

條件①：f(x)=g(x)?/l(x)；

條件②：f(x)=g(x)+h(x).

解：選擇條件①：f(x)=g(x)?/?(%),

(I)f(x)=sin(x-cosx=-^cosx)cosx

622

V3.12V3、，1.cl+cos2x

=--sinxcosx---coszx=--X—sin2x----------

22222

M.01011.z兀、1

=—_sin2x--cos2x----=-sin(02x-----)---,

444264

所以/(%)的最小正周期T=2；=TT.

(II)因為xC[0,—T—],可得2x—e―],

2666

所以sin(2x-e[--,1],可得工in(2x---G[--,—],

6226424

當2x-7?1=g7,1即7-r時，/(x)有最大值;1.

6234

選擇條件②：f(x)=g(x)+h(x),

(I)f(x)=sin(x-+cos%=(Y^sinx-工osx)+cosx

622

V3.1.,兀、

=—~~sinx+—cosx=sin(x+),

226

所以/(x)的最小正周期T=2p-=2n.

(Il)因為撫[0,《],可得等],

2663

TT1

所以sin(xH—；—)￡[—,1],

62

當x+^-=-^-,即苫=?-時，f(X)有最大值1.

18.(14分)為了解果園某種水果產量情況，隨機抽取10個水果測量質量，樣本數據分組

為[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](單

位：克)，其頻率分布直方圖如圖所示：

(I)用分層抽樣的方法從樣本里質量在[250,300),[300,350)的水果中抽取6個，

求質量在[250,300)的水果數量；

（II）從（I）中得到的6個水果中隨機抽取3個，記X為質量在［300,350）的水果數

量，求X的分布列和數學期望；

（III）果園現有該種水果約20000個，其等級規格及銷售價格如表所示，

質量”Z（單m<200200^m<加2300

位：克）300

等級規格二等一等特等

價格（元/4710

個）

解：（I）質量在［250,300）,［300,350）的該種水果的頻率分別為0.008X50=0.4,

0.004X50=0.2,其比為2：1,

所以按分層抽樣從質量在［250,300）,［300,350）的這種水果中隨機抽取6個，質量在

[250,300)的該種水果有4個;

（II）由（I）可知，6個水果中有2個質量在［300,350）,所以X的所有可能取值為

0,1,2,

3

r1C4C31

P(X=0)-4*,P(X=l)9P(X=2)=-^=9,

Cb「J3

6^6

所以X的分布列為:

X012

131

P

555

1Q1

所以E(X)=0X-^+lX-^-+2X-^=l；

555

(Ill)二等品的頻率為(0.002+0.002)X50=0.2,

一等品的頻率為(0.003+0.008)X50=0.55,

特等品的頻率為(0.004+0.001)X50=0.25,

則20000個水果中共有二等品4000個，一等品11000個，特等品有5000個，

則銷售收入約為4000X4+11000X7+5000撐10=143000元.

22

19.(15分)已知橢圓C:二亍十'=1(a>b>0)過點A(-2,0),B(2,0),且離

心率為工.

2

(I)求橢圓C的方程；

(II)設直線/與橢圓C有且僅有一個公共點E,且與x軸交于點G(￡,G不重合)，

|TA|,|GA|

軸，垂足為T.求證:

|TB||GB|

a=2

c1

解:(i)由題意可得《革解得：a~—4,b2=3,

222

ta=b+c

22

所以橢圓的方程為：A_+y_=i；

43

(II)由題意可得直線/的斜率存在且不為0,設直線/的方程為：y=kx+m("Z手0),

y=kxtm

22,整理可得：(3+4R)尤2+8初a+4"於-12=0,

—+^—=1

I431

由題意可得△=€>,即646〃2-16(3+4R)(/?2-3)=0,解得：加2=3+4/

設G(xi,0),E(xo,yo)則xi=--xo—o'—

k3+4km

因為ET_Lx軸，所以T(-9，0),

m

I一曲+2I

_TA|_1m1_|-4k+2m|_irr2kl

TBIIz4ksI12m+4kIm+2kI

ITT2kI

又因為w上也

m+2kI

|TA|,|GA|

所以可證:

|TB||GB|'

2

20.(15分)已知函數/(x)=1-gF，

e

(I)若曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線平行于直線y=x,求該切線方程;

(II)若4=1,求證：當x>0時，f(X)>0;

(III)若/(%)恰有兩個零點，求〃的值.

Az、一，，,、ax(x-2)

解：(?)因為尸(%)=—--,

e

所以(1)=--=1,故〃=-e,

e

所以7(1)=1--=2,

e

所以切線方程為y-2=x-1,即y=x+l.

-

Y2x(x2)

=

(II)當4=1時，Jf(X)1----,f(X)--

exeX

當(0,2)時，f(x)<0,f(x)單調遞減，

當xe(2,+8)時，f(x)>0,f(x)單調遞增，

4

所以/(%)的最小值為/(2)=1--y>o,

e

故x>0時，f(x)>0.

2

(III)對于函數/(x)=1--J；—,tzeR,

e

①當時，f(x)>0,f(x)沒有零點，

三、,,、ax(x-2)

②當tz>0時，f(x)=",

e

當在(-8,0)時，f(x)>0,所以/(%)在區間(-8,0)上單調遞增,

當XE(0,2)時，f(x)<0,所以/(%)在區間(0,2)上單調遞減，

當(2,+8)時，f(%)>0,所以/(x)在區間(2,+8)上單調遞增,

4a

所以7(0)=1是函數的極大值，f(2)=1--5是/(x)的極小值,

e

1

因為/(-_J_=l-e-U<0,

e叮e

所以/(x)在(-8,0)上有且只有一個零點,

由/■⑵=1--,

e

2

①若/(2)>0,即f(x)在區間(0,+8)上沒有零點.

4