1.1

集合的概念第2課時

集合的表示自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑思想方法

自主預習·新知導學一、列舉法1.設集合M是小于6的正整數組成的集合,集合M中的元素能一一列舉出來嗎?提示:能.1,2,3,4,5.2.上述集合M除了用自然語言描述外,還可以用什么方式表示呢?如何表示?提示:列舉法.{1,2,3,4,5}.3.把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.4.方程x2-4x+3=0的所有實數根組成的集合為(

)A.{1,3} B.{1}C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3}解析:因為方程x2-4x+3=0的實數根為1,3,所以用列舉法表示為{1,3},故選A.答案:A二、描述法1.“大于-2且小于2的整數”組成的集合,能用列舉法表示嗎?如果能,如何表示?提示:能.{-1,0,1}.2.“大于-2且小于2的實數”組成的集合,能用列舉法表示嗎?為什么?提示:不能.因為大于-2且小于2的實數有無數多個,用列舉法是列舉不完的,所以不能用列舉法表示.3.設x為“大于-2且小于2的實數”組成的集合的元素,x有何特征?提示:x∈R,且-2<x<2.4.一般地,設A是一個集合,我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.有時也用冒號或分號代替豎線,寫成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}.5.下列用描述法表示的集合,錯誤的是(

)A.奇數集可以表示為{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}B.“小于10的整數”組成的集合可以表示為{x|x<10}C.“被3除余2的正整數”組成的集合可以表示為{x|x=3k+2,k∈N}解析:項B,{x|x<10}表示“小于10的實數”組成的集合.“小于10的整數”組成的集合應該表示為{x∈Z|x<10}.答案:B【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)用列舉法表示集合{x|x2-2x+1=0}為{1,1}.(×)(2)集合{(0,1)}中的元素是0和1.(×)(3){x|x>3}與{y|y>3}是同一個集合.(√)(4)集合{x∈N|x<5}與集合{0,1,2,3,4}表示同一個集合.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

用列舉法表示集合【例1】

用列舉法表示下列集合:(1)方程x2-4x+4=0的所有實數根組成的集合;(2)由單詞“look”的字母組成的集合;(3)由不大于8的所有非負偶數組成的集合;(4)直線y=2x-1與y軸的交點組成的集合.解:(1)方程x2-4x+4=0的實數根為x=2,所求集合為{2}.(2)單詞“look”有三個互不相同的字母,分別為“l”“o”“k”,所求集合為{l,o,k}.(3)不大于8的非負偶數有0,2,4,6,8,所求集合為{0,2,4,6,8}.(4)直線y=2x-1與y軸的交點坐標為(0,-1),所求集合為{(0,-1)}.反思感悟1.用列舉法表示集合,要分清是數集還是點集,如本例(1)是數集,本例(4)是點集.2.使用列舉法表示集合時應注意以下幾點:(1)在元素個數較少或較多(無限)但有規律時用列舉法表示集合,如集合:{1,2,3},{1,2,3,…,100},{1,2,3,…}等.(2)“{}”表示“所有”的含義,不能省略;元素之間用“,”隔開,而不能用“、”;元素無順序,滿足無序性.【變式訓練1】

用列舉法表示下列集合:(1)由所有小于10的既是奇數又是素數的自然數組成的集合;(2)絕對值小于3的所有整數組成的集合;解:(1)滿足條件的數有3,5,7,所求集合為{3,5,7}.(2)絕對值小于3的整數有-2,-1,0,1,2,所求集合為{-2,-1,0,1,2}.探究二

用描述法表示集合【例2】

用描述法表示下列集合:(1)不等式3x-6≥0的解集;(2)所有偶數組成的集合;(3)函數y=2x-1的圖象上的點組成的集合.解:(1)不等式3x-6≥0的解是x≥2,所求集合用描述法表示為{x|x≥2}({x:x≥2}或{x;x≥2}).(2)因為x=2k(k∈Z)是所有偶數的一個共同特征,所以所有偶數組成的集合可以表示為{x|x=2k,k∈Z}.(3)函數y=2x-1的圖象上的點的坐標為(x,y),所求集合為{(x,y)|y=2x-1}.1.把本例(2)換成小于10的所有正偶數組成的集合,用描述法怎樣表示?解:小于10的正偶數有2,4,6,8,用式子表示為x=2k,1≤k<5,且k∈Z,所求集合用描述法表示為{x|x=2k,1≤k<5,且k∈Z}.2.把本例(3)換成在平面直角坐標系中,第一、第三象限的點組成的集合,如何求解?解:第一、第三象限中的點(x,y)滿足xy>0,所求集合可以表示為{(x,y)|xy>0}.反思感悟用描述法表示集合的具體步驟如下(1)寫代表元素,分清楚集合中的元素是數還是點或是其他的元素.(2)明確元素的共同特征P(x),將P(x)寫在豎線(冒號或分號)的后面.【變式訓練2】

用描述法表示下列集合:(1)直線y=x上去掉原點的所有點組成的集合;(2)被5除余2的所有正整數組成的集合;(3)所有的正方形組成的集合.解:(1){(x,y)|y=x,x≠0}.(2)被5除余2的正整數可以表示為x=5k+2,k∈N,所求集合用描述法表示為{x|x=5k+2,k∈N}.(3)用描述法表示為{x|x是正方形}.探究三

集合的表示【例3】

用適當的方法表示下列集合:故該集合用列舉法表示為{(4,-2)}.(2)集合的代表元素是數x,共同特征是x∈R,|x|≤3,故該集合用描述法表示為{x∈R||x|≤3}.(3)反比例函數

的自變量x∈R,且x≠0,故該集合用描述法表示為{x∈R|x≠0}.(4)拋物線y=x2-2x與x軸相交于點(0,0)和(2,0),故該集合用列舉法表示為{(0,0),(2,0)}.反思感悟當集合的元素個數很少(很容易寫出全部元素)時,常用列舉法表示集合;當集合的元素個數較多(不易寫出全部元素)時,常用描述法表示.對一些元素有規律的無限集,也可以用列舉法表示,如正偶數集也可寫成{2,4,6,8,10,…}.【變式訓練3】

用適當的方法表示下列集合:(1)24的所有正因數組成的集合;(2)在平面直角坐標系中,兩坐標軸上的點組成的集合;(3)三角形的全體組成的集合.解:(1)24的正因數有1,2,3,4,6,8,12,24,故該集合用列舉法表示為{1,2,3,4,6,8,12,24}.(2)集合的代表元素是(x,y),共同特征是x=0或y=0,即xy=0,故該集合用描述法表示為{(x,y)|xy=0}.(3)集合的代表元素是x,共同特征是x是三角形,故該集合用描述法表示為{x|x是三角形}.思想方法分類討論思想在集合表示中的應用【典例】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一個元素,試求實數k的值,并用列舉法表示集合A.審題視角:集合A中只有一個元素,說明關于x的方程kx2-8x+16=0只有一個或兩個相等的實數根,此方程不確定為一元二次方程,需要對系數k分為k=0和k≠0討論.解:當k=0時,原方程變為-8x+16=0,解得x=2.此時集合A={2}.當k≠0時,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有兩個相等的實數根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此時方程的解為x1=x2=4,集合A={4},滿足題意.綜上所述,實數k的值為0或1.當k=0時,A={2};當k=1時,A={4}.將本例改為“若集合A中至少有一個元素,求實數k的取值范圍”,如何求解?解:由集合A中至少有一個元素可知,關于x的方程kx2-8x+16=0至少有一個根,分兩種情況討論:①方程kx2-8x+16=0只有一個根,由例題的解答過程可知k=0或k=1;②方程kx2-8x+16=0有兩個不相等的根,需滿足k≠0,且Δ=64-64k>0,解得k<1,且k≠0.