關于實對稱矩陣的特征值和特征向量由于，對最后一式取復數轉置，得到兩邊再右乘，得到所以有特征值都是實數。這樣，是實數。由的任意性，實對稱矩陣的特征向量都是實數向量。附注：進一步地有，實對稱矩陣的屬于特征值的一、實對稱矩陣特征值的性質定理4.12實對稱矩陣的特征值都是實數。第2頁,共16頁，2024年2月25日，星期天對上面第一式兩邊左乘，的特征向量。

定理4.13實對稱矩陣的屬于不同特征向量相互正交。證明：特征值的設，是實對稱矩陣的不同特征值，，分別是屬于特征值，于是，得到

（4.12）而于是有這樣，由得到是正交的。，即與第3頁,共16頁，2024年2月25日，星期天特征向量相互正交的線性無關組。【注】實對稱矩陣的屬于不同特征值的向量和對應特征向量

在§4.1中里4中，例1矩陣是實對稱矩陣，特征值（二重）對應特征都正交。把它們化為標準正交組。當然，彼此不正交，但可以通過標準正交化方法第4頁,共16頁，2024年2月25日，星期天為矩陣。

把分塊為，也是的屬于的定理4.14設是階實對稱矩陣,則存在正交陣,使為對角陣.下面證明對于階實對稱矩陣來說定理成立。證明：對矩陣的階數用數學歸納法。當時,定理結論顯然成立.假設對于所有階實對稱矩陣來說定理成立。故不妨設是單位向量，

設是的一個特征值，是屬于特征值的特征向量,顯然單位向量特征向量.第一列任意正交矩陣。記是以為其中第5頁,共16頁，2024年2月25日，星期天則

及與的各列向量都正交，注意到根據歸納法假設，其中為階實對稱矩陣。使得

對存在階正交矩陣所以第6頁,共16頁，2024年2月25日，星期天并且令，則均為階正交矩陣，這表明階實對稱矩陣定理結論成立。為對角矩陣。根據數學歸納法原理，對任意第7頁,共16頁，2024年2月25日，星期天對每個,其中為重的，二、

實對稱矩陣對角化方法具體步驟如下:根據定理4.14，任意一個實對稱矩陣都可以對角化。求出的所有特征值,第一步對給定實對稱矩陣，解特征方程，設的所有不同的特征值為；第二步解齊次線性方程組求出它的一個基礎解系；得到正交向量組，

第三步利用施米特正交化方法，把正交化，第8頁,共16頁，2024年2月25日，星期天再把單位化，得到一個標準正交組，；注意：它們都是屬于的線性無關特征向量！！且第四步令，則是正交陣,為對角陣，與中正交列向量組（特征向量！）排列順序相對應。

附注：矩陣主對角線元素（特征值！）排列順序（實對稱矩陣A的標準形！！）在不計排列順序情況下，這種對角化形式是唯一的。第9頁,共16頁，2024年2月25日，星期天例2對矩陣求一正交陣,使成對角矩陣。的特征多項式為解：矩陣解特征方程得特征值（二重），。第10頁,共16頁，2024年2月25日，星期天即求解對于，解齊次線性方程組得到一個基礎解系，。

對于，即求解解齊次線性方程組，得到一個基礎解系。第11頁,共16頁，2024年2月25日，星期天把正交化：得到將單位化，構造矩陣

第12頁,共16頁，2024年2月25日，星期天的屬于0的特征向量為。則為正交矩陣，并且使得矩陣對角化為：，求矩陣。例3．設三階實對稱矩陣的特征值為，（二重），而解：因三階實對稱矩陣必可對角化，本題中對應于二重特征值1的線性無關向量應有兩個特征向量組成，設為。根據定理4.13,它們都與正交，故是齊次線性方程組的基礎解系，所以，可取

（彼此正交）第13頁,共16頁，2024年2月25日，星期天將它們單位化：則，是正交組，構造矩陣

則為正交矩陣，