2024/4/191第六章

連續系統的離散相似法仿真“離散相似法”——將一個連續系統進行離散化處理,然后求得與它等價的離散模型(差分方程)的方法.2024/4/192獲取離散相似模型的兩個途徑:（1）對傳遞函數作離散化處理得離散傳遞函數——稱為“頻域離散相似模型”；（2）基于狀態方程離散化——稱為“時域離散相似模型”；6.2狀態方程的離散化6.1傳遞函數的離散化本章介紹:6.3典型環節的離散化模型6.4常用非線性環節的仿真6.5離散相似法仿真的特點2024/4/1936.1傳遞函數的離散化對連續系統進行數字仿真可以先在系統加入虛擬的采樣器和保持器，如圖6-1所示，然后利用Z變換的方法求出系統的脈沖傳遞函數，再從脈沖傳遞函數求出對應于系統G(s)的差分方程。保持器TTuy圖6-1連續系統離散化結構圖

2024/4/194如此處理的理由是：（1）由采樣定理可知：當采樣頻率和信號最大頻率滿足：（6-2）的條件時，可由采樣后的信號唯一地確定原始信號。

（2）把采樣后的離散信號通過一個低通濾波器，即可實現信號的重構。常用的濾波器是零階保持器和一階保持器等。

因此，研究系統G(s)

，在一定的條件下可能等效地研究圖6-1所示的系統。注意：圖6-1所示系統的采樣開關和保持器實際上是不存在的，而是為了將(6-1)式離散化而虛構的。2024/4/195根據圖6-1,有脈沖傳遞函數:其中Gh(s)是保持器的傳遞函數。若選擇不同的保持器，則可得不同的G(z)，見表6-1。（6-1）保持器的傳遞函數Gh(s)

脈沖傳遞函數G(z)零階：

一階：

三角形：

表6-1不同保持器的G(z)2024/4/196表6-1中的G(z)還要求對或等進行Z變換，這樣做有時不太方便，如果能對G(s)直接進行Z變換就方便多了。

因此，對表6-1中的各式還可以進一步加以簡化，得出二次加入虛擬采樣器和保持器的脈沖傳遞函數。例如:

當采用零階保持器時需要對進行Z變換，它相當于G(s)與1/s串聯，如圖6-2所示的模型。TT圖6-2若在積分環節之前再加一個采樣器和保持器，如圖8-3所示:TT圖6-3T2024/4/197那么就可以對G(s)及1/s分別求出脈沖傳遞函數，然后相乘，即:

因此,二次加入采樣器、零階保持器后的脈沖傳遞函數為:（6-2）（6-3）從上述可看出，虛擬采樣器和保持器可以不止一次地使用。在必要的地方加入，可為求脈沖傳遞函數帶來方便。但須注意，由于保持器的頻譜特性并非理想矩形，所以每加一次采樣器和保持器都會帶來誤差。因此(6-3)式較之表6-1中的式子誤差要大些，所以要盡量減少虛擬采樣器和保持器的使用。

2024/4/198下面舉例說明其使用方法。若:則根據表6-1，當加零階保持器時，可得:所以得差分方程為:也可根據(6-3)式來求G(z)：

其對應差分方程為:（6-4）（6-5）2024/4/199以上(6-4)式或(6-5)式是按一次和二次加入虛擬采樣器和保持器時分別求得的差分方程。后者較前者誤差要大些。有了上面的知識，不難將其推廣應用到結構圖表示的系統，求其等效的差分方程。在此不再多敘。2024/4/19106.2狀態方程的離散化假設連續系統的狀態方程為:

若人為地在系統的輸入端及輸出端加上采樣開關，同時為了使輸入信號復原為原來的信號，在輸入端還要加一個保持器，如圖所示。

保持器TTux假定為零階保持器:——輸入向量的所有分量在任意兩個依次相連的采樣瞬時為常值。例如:對第n個采樣周期u(t)=u(nT)。

T為采樣間隔(周期)（6-6）圖6-4采樣控制系統結構圖

2024/4/1911若對方程(6-6)式兩邊進行拉普拉斯變換，得：故對(6-7)式反變換可得：即：以(sI-A)-1左乘上式的兩邊可得：（6-7）考慮到：（6-8）（6-9）此為(6-6)式的連續解，由此可推導出系統的離散解。

注意：圖6-4所示系統的采樣開關和保持器同樣是為了將(6-6)式離散化而虛構的。2024/4/1912根據上式，n及n+1兩個相連的采樣瞬間，有：將(6-11)式減去(6-10)式后乘以eAT，得：（6-10）（6-11）（6-12）將(6-12)式右邊積分進行變量代換，即令：則得：（6-13）（6-14）求解方程右邊的卷積積分困難。2024/4/1913但由圖6-4可知：

若系統采用零階保持器時，則兩個采樣點之間輸入量可看做常數，即u(nT+t)=u(nT)，這樣(6-14)式可寫為：式中：（6-15）（6-16）（6-15）是在假定輸入量U(t)在兩個采樣時刻之間保持不變（即如圖6-5中矩形近似）的前提下導出的。而實際輸入量在兩個采樣時刻之間是變化的，這樣近似會引進誤差。為減小誤差，可假定兩個采樣時刻之間輸入量U(t)為一斜坡函數，即如圖6-5中梯形近似。u(t)t0kT(k+1)TT實際值梯形近似矩形近似圖6-52024/4/1914此時,在兩個采樣點之間輸入量有一個增量存在,可表示為：（6-17）這樣,相對于(6-14)式可寫為：對應于,X[(k+1)T]引起的變化量為:（6-18）（6-19）2024/4/1915——稱為系統的離散系數矩陣

上式中：（6-20）同上(6-15)式或(6-19)式便是所要求轉換成的差分方程。如果已知系統的A、B矩陣，則可求出系統的各離散系數矩陣，就可以依(6-15)式或(6-19)式差分方程進行系統仿真。

2024/4/19166.3典型環節的離散化模型由前可知，如果我們在每一個典型環節之前都加一個虛擬的采樣器及保持器，那么每個典型環節都可用（6-19）式:所表示的差分方程來求解，這樣數字仿真的問題就變成了如何事先求出各個典型環節的離散狀態方程的系數矩陣的問題了。

2024/4/1917則積分環節的差分方程為：（1）積分環節：

uy對應的狀態空間表達式為：由此可知，狀態空間表達式的A=0,B=K，故：2024/4/1918由此可知，狀態空間表達式的A=0,B=1，故：則比例積分環節的差分方程為：（2）比例加積分環節

uy對應的狀態空間表達式為：x12024/4/1919（3）慣性環節uy對應的狀態空間表達式為：x-由此可知，狀態空間表達式的A=-a,B=K，故：2024/4/1920同上理，可得其它典型環節的離散化模型——差分方程。則慣性環節的差分方程為：2024/4/19216.4常用非線性環節的仿真常用的非線性環節包括：飽和非線性、死區非線性、回環非線性等，此處介紹它們的特性及其仿真子程序。（1）飽和非線性環節-ccc-cuoui0斜率為1飽和環節特性返回飽和環節仿真子程序框圖yy2024/4/1922（2）死區非線性環節-ccuoui0斜率為1死區環節特性返回死區環節仿真子程序框圖yy2024/4/1923（3）回環非線性環節-ccuoui0斜率為1回環環節特性設：分別為上一步的輸入、輸出信號。1）當（輸入增加）時：若滿足：則：若滿足：則：上升段由左向右過渡段若滿足：則：若滿足：則：下降段由右向左過渡段2）當（輸入下降）時：2024/4/1924返回死區環節仿真子程序框圖Nyyy記下本