2023-2024學年安徽省馬鞍山市高二下冊開學考試數學

模擬試題

一、單選題

1.已知空間向量〃=(一1,2,-1),b=(x,-Ly),若a1/b,則()

A.x-y=\B.x+y=[

C.x+y=0D.x+y=-2

【正確答案】B

【分析】根據空間向量平行的坐標運算，即可進一步求解.

【詳解】根據題意，由。〃》，

設〃=S,

即(加一1,y)=，(-l,2,-D=(T2,T)

解得：/=-1，

2

貝!)有x=y=],

由此得x+y=l.

故選：B.

2.已知直線(〃?+l)x+3y+l=O與直線4x+my+l=0平行，則〃?的值為()

A.3B.-4C.3或-4D.3或4

【正確答案】B

【分析】根據直線平行的判定得見，"+1)72=0即可求相值，注意驗證兩直線是否平行,

而非重合.

【詳解】由題設，〃?(〃?+1)-12=機；!+機-12=(〃?+4)(〃?-3)=0,可得m=T或機=3,

當機=Y時，3x—3y-l=O、4x-4y+l=0平行，符合題設；

當“7=3時，4x+3y+l=0、4x+3y+l=0重合，不合題設；

m--A.

故選：B.

3.已知等差數列｛勺｝,其前〃項和是S〃，若§5=25,則%+4=()

A.8B.9C.10D.11

【正確答案】C

【分析】由已知可得6+%=10,根據等差數列的性質即可得出結果.

【詳解】由已知可得，$5（4+%）=25,所以q+q=10.

2

又“1+火=々+%,所以4+4=1°.

故選：C.

4.設等比數列｛叫的首項為《，公比為q,則“4＜0,且0＜4＜1”是"對于任意N*都有

”,用＞%”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要

條件

【正確答案】A

【分析】根據充分條件和必要條件的定義，結合等比數列的性質分析判斷即可

【詳解】若4＜0,且。＜”1,則.-。"二府-討--《尸―,

所以4用＞4，

反之，若則%+|-。“=。聞"-《＜72=4/1（4-1）＞0,

所以《＜0,且。＜q＜l或q＞0,且4＞1,

所以“％＜0,且0＜夕＜「是"對于任意N*,都有。向＞4”的充分不必要條件.

故選：A

5.已知直線/交橢圓?+q=1于A,B兩點，且線段AB的中點為（-1/），則直線/的斜率

為（）

A.-2B.—C.2D.」

22

【正確答案】D

【分析】設出4,8坐標，列出坐標所滿足的方程，將兩方程相減得到/的斜率與線段AB

中點坐標的關系，由此求解出直線/的斜率.

【詳解】設A（x”y）,3（孫%），因為A,B都在橢圓上,

<

X22

.1

.-+22L

2邑2

14X2

所y

以■

河Z

<2I+I

一

，--22

2必-4X22

-4

5.4.+2n

%1

芭+

y--

得-X-

X-占2y+

又因為線段A8中點坐標為（一1,1）,xt+x2=-lx2=-2,y,+y2=1x2=2,

故選：D.

6.若直線匕-y-2=0與曲線"1一(尸1)2=-1有兩個不同的交點,則實數〃的取值范圍是

()

44

A.(-?2]B.(—,4]

444

C.[-2,--)U(-,2]D.(-,+(?)

【正確答案】A

【分析】分析曲線的形狀，在同一坐標系內作出直線與曲線，利用數形結合方法求解作答.

【詳解】方程履-'-2=0是恒過定點P(0,-2),斜率為k的直線，

曲線一(y_l)2=x_l，即(x-l)2+(y-l)2=l(xZl),是圓心為半徑r=l在直線x=l及

右側的半圓，

半圓弧端點41,0),8(1,2),在同一坐標系內作出直線履-y-2=0與半圓C：

|1-2|,4

當直線丘->-2=0與半圓C相切時，由JT+I』得切線PT的斜率％=.

當直線PT繞點P逆時針旋轉到過點4的直線的過程中的每一個位置的直線與半圓C均有兩

個公共點，

包含直線以，不包含直線P7,旋轉到其它位置都沒有兩個公共點，直線出的斜率%,=2,

所以直線"7-2=0與曲線Jl_(y_l)2=x_]有兩個不同的交點,則實數火的取值范圍是

專2].

故選：A

7.已知雙曲線C:4-A=I4>0b>0的離心率為晅，則C的漸近線方程為()

a2b23

A.y=±-xB.y=±LC.y=±-xD.y=±x

432

【正確答案】B

【分析】由雙曲線的離心率，得到“，。關系，從而得到。，b關系，從而得到雙曲線的漸

近線方程.

【詳解】因為c：￡-￡=i的離心率為典，

a2b23

所以￡=回，

a3

^b2=c2-a2=^a2-a2=^a2,

解得匕=%，

所以雙曲線C:=-2=l的漸近線方程為產土石=土

ab'a3

故選：B.

8.如圖，在棱長為6的正方體ABC。-A4GR中，0是底面正方形A8CO的中心，點〃在

。。上，點N在A片上，若則Z)M=()

D.3

【正確答案】D

【分析】以點。為坐標原點，DA.DC,0A所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐

標系，設點N（6,〃,6）,M（O,O,/n）,其中04m46,（）W"V6,由ON-AM=0求出”?的值,

即可得解.

【詳解】以點。為坐標原點，D4、DC,所在直線分別為x、）、z軸建立如下圖所示

則4(6,0,0)、0(3,3,0),設點N(6,〃,6),M(0,0,/n),其中04m46,0<n<6,

AM=(-6,0,m),ON=(3,〃-3,6),

因為QV_LAM,則ON-AM=3*(-6)+6機=0,解得根=3,故3M=3.

故選：D.

二、多選題

9.等差數列｛4｝的前”項和為5.，若4>0,公差dx（）,則（）

A.若其>&，則兀<0B.若邑=縱，則臬是5“中最大的項

C.若S5>S6，貝”4>$5D.若S3>S”，則邑>S$

【正確答案】ABD

【分析】根據邑>既可推得0+%<0,利用等差數列的性質以及前〃項和公式，可判斷A；

由54=既可推出&+%=0,進而判斷外>0,a7<0,則"<0,即可判斷B；由既>$6可

得&<0,“<0,無法判斷出的正負，可判斷C；由S3>S<推出2<0,d<0,

則%=4+〃<0,由此判斷D.

【詳解】由S4>Sx，得$8一邑=%+4+%+火=2(%+%)<。，

所以4+%<。，

則5J23；%)=6(4+%)<0,A正確；

因為$4=$8,

所以Sg-Sa=仁+。6+%+%=2(6+%)=°，即％+。7=0，

因為q>0，d彳0,

所以%>0,%<。,則d<(),等差數列｛“"｝為遞減數列，

則則4是S“中最大的項，B正確；

若$5>56,則&-S5<0,即為<。，

因為q>0，dwO,則d<0,故。5=%-4，無法判斷處的正負，

故$5=54+4,不能判斷3>S5,C錯誤；

因為SJAS”，所以S4-S3=/<0，

因為q>0,4二0,所以d<0,則%=%+d<0,

則S5=S4+a5<S4,D正確,

故選：ABD

10.下列結論正確的是()

A.直線(3+〃7)》+4)」3+3加=0(〃2€/?)恒過定點(-3,-3)

B.直線6x+y+l=0的傾斜角為120。

C.圓x、y2=4上有且僅有3個點到直線/:x-y+&=0的距離都等于1

D.與圓(x-2)?+y2=2相切，且在x軸C軸上的截距相等的直線有兩條

【正確答案】BC

【分析】求出直線(3+m)x+4y-3+3機=0(/neR)過的定點，即可判斷A；

根據斜率與傾斜角的關系求出直線的傾斜角，可判斷B;

計算圓心到直線的距離，即可判斷C的對錯:

求出與圓（x-2?+y2=2相切，且在X軸、＞軸上的截距相等的直線，看有幾條即可判斷D

的對錯.

【詳解】（3+〃z）x+4y-3+3〃z=0（〃zw7?）可變形為根（x+3）++3x+4y-3=0,

A[x+3=0,[x=-3

令2/QC，得2，

[3x+4y-3=0[y=3

即（3+加）工+——3+36=0（m￡/?）直線過定點（一3,3）,故A錯；

直線Gx+y+l=O的斜率為-石，故其傾斜較為120,故B正確;

圓/+丫2=4的圓心到直線/：》一?；+0=0的距離為〃=吧=1,

5/2

圓的半徑為2,故圓f+V=4上有且僅有3個點到直線l:x-y+y/2=0的距離都等于1,

故C正確；

設直線x+y=a與圓（x-2y+y2=2相切，則?g?=&,

解得a=4或a=0,則x+y=4,x+y=0滿足題意，

由此顯可知x-y=0與圓（x-2y+y2=2相切，且在x軸、y軸上的截距相等,

故D錯誤，

故選：BC

11.已知四面體ABCD的所有棱長都是2,￡￡G分別是棱的中點，則（）

A.ABAC=2B.EFFG=\

C.ABEG=0D.GEGF=\

【正確答案】ACD

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量數量級的坐標運算計算即可.

【詳解】以8為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則8（0,0,0）,C（l,G,0）,￡＞（-1,石,0）,A（0,苧,乎），G（O,75,O）,Eg,#,當），

哈手當，……

所以A8=（0,-苧，一半）,AC=（1,*,—苧），

3333

EF=（總孚0）,FG=（；用，-凈>EG=（。，半-g）

2QII

ABAC=一一十—=2,EFFG=一一+-=0,

3344

A"一4_2G\[61V3限12

/lR/jbG---+--0,GE-GF=（0,=-+—=1?

333326333

故選：ACD

12.過拋物線V=3x的焦點尸的直線與拋物線交于44y)(y>0),3(私當)兩點，點A3

在拋物線準線上的射影分別為A，%AO交準線于點M(O為坐標原點)，則下列說法正確的是

（）

A.OAOB=0B.=90

C.直線MB〃x軸D.|4十|所|的最小值是》

【正確答案】BCD

【分析】選項A設直線方程代入拋物線方程中化簡寫出韋達定理，

再利用向量數量積的坐標表示運算0408即可；選項C利用A,O,M

三點共線找出關系式來說明即可；選項B利用FA「FB1數量積即可說明；

選項D設直線A3的傾斜角為伙，H0),則表示出忸尸|利用函數的

性質求出最值即可.

【詳解】由題意可知，拋物線>2=3x的焦點廠的坐標為("0),

4

3

準線方程為-彳，易知直線A8的斜率不為0,

4

設直線A8的方程為1=%，+=,

4

o

代入y2=3x,得/_3my_：=o,

4

_9

所以y+%=36,％%=

3399927

則-=(S+N(吵+/記，所以。4。8=(7).而％)=痞+”2=而一廠一記肛

所以A不正確，

因為,y),。(0,0),M,)")二點共線,

--0-%一00

所以近_0一—3一0,所以y加=得，

34

9

又乂%=一^，所以加=%

所以直線MB〃無軸，所以C正確,

由題意可得4,用的坐標分別為（-；乂），（-1必），

44

3333999

所以E4,?FB[=（----,.y）-（----,y）=-+yy=7-7=0?

4414424I244

所以N4/用=90,所以B正確;

33

設直線AB的傾斜角為0（0豐0）,則|AF|=2M=5

l-cos。'1+cos0

3399

所以IAF[.忸曰=―-----2—=—=—4—>-'

l-cos。1+cos01-cos'0sin'04

當且僅當A82x軸時取等號，所以D正確，

故選：BCD.

三、填空題

13.若拋物線y2=，nx的準線與直線x=l間的距離為3,則拋物線的方程為.

【正確答案】y2=-16x^y2=8x

【分析】先求出拋物線的準線，再根據距離列方程求解即可.

【詳解】拋物線的準線為》=-：,

4

tn

則一"："-1=3,解得%=-16或a=8,

4

故拋物線的方程為y2=-16x或丁=8x.

故y?=-16x或V=8x.

14.已知點4(-平面a經過原點。，且垂直于向量3=(1,-1,3),則點A到平面a的

距離為.

【正確答案】8叵##三而

1111

【分析】根據點到平面距離的向量求法求解即可.

uu/1U111

【詳解】由題意，04=(-1,2,-1),〃=(1,-1,3),故.〃=-1-2-3=-6，所以點A到平面

\0A-n|-6|6717

a的距離為a=」

|?|TH-H

故處

11

15.在等比數列｛〃“｝中，若％+〃2+/+。4=[91111

詠二R則「二/￡"

O

【正確答案】一3

【分析】根據等比數列下標和性質計算可得;

1111a.+a,a^+a.

【詳解】解：-+_+_+_=」_￡+二_1

aaaa，a

qa2%4\423

?在等比數列｛4｝中，q?%=%,%，

.，原式=3蓑乜若干如q.

故一彳

本題考查等比數列的性質的應用，屬于基礎題.

22

16.已知雙曲線C:鼻-2=l,(a>0方>0)的左右焦點分別為入，F2,若C與直線丁=%有

交點，且雙曲線上存在不是頂點的P,使得/尸心耳=3/P耳心，則雙曲線離心率取值范圍

范圍為.

【正確答案】(應,2)

【分析】由直線5與雙曲線有交點，得在一三象限的漸近線的斜率大于1,得出e的一個

范圍.雙曲線上存在不是頂點的P,使得NPK耳=3/「耳用，尸耳與y軸交于點。，由平面

幾何的知識及雙曲線定義得|。制=勿，在直角三角形2Ko中由邊的關系得不等式，得出e的

范圍，同時由NPKK的范圍又是一個不等關系，從而得出離心率范圍.

【詳解】雙曲線c與直線y=x有交點，則2>1,4=匕￡>1,解得e=￡>女,

aaa?

雙曲線上存在不是頂點的P,使得/P用耳=3/PE",則P點在右支上，

設尸片與y軸交于點Q,由對稱性|Q間=|。閭，所以N。耳K=

所以ZPF2Q=4PF[F\-NQBR=24PF、F?=NPQF”

|叫=|明,

所以|P不一歸閭=|防|一歸。=|0周=勿，由|。照<|。制得加<c,所以e=?<2,

又△2/:；用中，NP4&+NP乙-=4NPE乙<180。，NP￡E<45。，

所以/_=cosNP耳用〉也，即e=￡>夜，

2a122“

綜上，^2<e<2-

故(夜,2).

四、解答題

17.已知圓C的圓心在直線y=x上，且圓C經過點M(—2,0)和點N0,一6).

(1)求圓C的標準方程；

(2)求經過點0(2,1)且與圓C相切的直線方程.

【正確答案】(l)》2+y2=4

(2)x=2或3x+4y-10=0

【分析】(1)根據題意設圓C的標準方程為(x-of+b-6)2=/(廠>0),進而待定系數法

求解即可

(2)分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論求解即可

【詳解】(1)設圓C的標準方程為(x-a)2+(y-a2=/(r>o),

(—2-a)'+b2-r2

由已知得(l-ay+卜6-4=心

h=a

解得。=0力=0/=2,

所以圓C的標準方程為f+y2=4;

(2)當直線的斜率存在時，設直線的方程為yT=Z(x-2),即"一y—2%+1=0,

由直線與圓C相切，得匕4=2,解得A=-：,

收+14

此時直線的方程為y-l=-：(x-2)即3x+4y-10=0；

當直線的斜率不存在時，直線為x=2,顯然與圓C相切.

所以所求直線的方程為x=2或3x+4y-10=0

18.已知等比數列｛叫的前"項和S,=2"+4,幾為常數.

⑴求2的值與｛??｝的通項公式；

⑵設bn=anlog,an+i,數列出｝的前"項和為7；,求7“.

【正確答案】(1)4=-1；。，=2"—(〃€武)

⑵7；=(“-1)x2"+1

【分析】(1)利用遞推關系與等比數列的通項公式即可得出;

（2）利用錯位相減法求數列出』的前”項和為I即可.

【詳解】(1)解：當〃=1時，S[=q=2+/lw0,

當〃22時，a.=S“-Si=2"T,

.｛%｝是等比數列，

11

at=2+2=2-=1,即q=1,所以/=—1,

???數列｛〃”｝的通項公式為q=2"'〃eN")；

⑵解:由(1)得〃=%log???+1=2'-'log,2"=nx2"T

7；=1'2。+2*21+3*22+...+5-1)*2"-2+"2"',

27；,=1x2'+2x2?+…+("-1)x2"-'+"*2",

貝iJ-7；=l+2i+22+…+2"T-〃X2"=岑=

*=("-1)X2”+1.

19.如圖，PAJ_底面ABC。，ED_L底面ABC。，四邊形ABCD是正方形，AP=AD=2DE=2.

⑴證明：OE〃平面ABP；

（2）求直線CP與平面QCE所成角的正切值.

【正確答案】（1）證明見解析；

⑵叵

2

【分析】（1）利用線面垂直的性質、線面平行的判定推理作答.

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦即可求解作答.

【詳解】（1）因為底面A3C￡>,ED,底面ABC。，則R4〃DE,A4u平面4?P,DEu

平面ASP,

所以Z）￡7/平面ABP.

（2）依題意，AB,AD,AP兩兩垂直，

以A為坐標原點，48,4￡>,4尸所在的直線分別為工軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖,

則仇0,2,0）,C（2,2,0）,E（0,2,1）,P（0,0,2）,CP=（-2,-2,2）,AD=（0,2,0）,

而OEJ_A。,OC_LAD,DEcDC=D,DE,DCu平面DCE,即AD±平面DCE,

則平面DCE的一個法向量為AD=（0,2,0）,

設直線CP與平面DCE所成角為。，則sin0=卜os〈AO,CP〉卜1Aoe尸］=—,

11\AD\\CP\2x2V33

則cos/=Jl-sin」?=Jl--=—>tan0=S*n^=—,

Nl3J3cos62

所以直線CP與平面DCE所成角的正切值為也.

2

22

20.已知雙曲線C:三-/■=1（。〉0/>0）的漸近線方程為丫=環實軸長2立

（1）求C的方程；

⑵若直線/過C的右焦點與C交于A（XI,y）,3（々,%）兩點，X,X2=6,求直線/的方程.

22

【正確答案】（1）C:二-匕=1

22

⑵2x+y-4=0或2x-y-4=0.

【分析】（1）根據雙曲線的漸近線方程求出小b即可求解.

（2）根據直線和雙曲線的聯立以及占々=6即可求解.

【詳解】（1）根據題意,

2a=2&，2=1，

a

所以〃=b=^2，

所以c：E-￡=i.

22

(2)雙曲線C的半焦距C=7717=2,顯然直線/不垂直于y軸,

設直線/方程為X=%，+2,

聯立直線方程和橢圓方程：

卜)27

,22,

x=my+2

所以。%2-1)y2+4〃7)，+2=0,

4；??2

所以

nV-1m"-1

所以不%=6,

所以(%+2)(啾+2)=6,

所以機2yly2+2皿,+為)-2=0,

解得機=±2.

所以直線/的方程為：

x=±gy+2.

即2x+y-4=0或2x-y-4=0.

21.已知數列｛4｝滿足4=：,??+l+y^j=l.

⑴設證明：也｝是等差數列；

an

(2)設數列｛半｝的前〃項和為S“，求5,.

【正確答案】(1)證明見解析

_32〃+3

(2)，，=4~2(H+1)(ZI+2)

【分析】（1）通過計算或=1來證得｛〃｝是等差數列.

(2)先求得然后利用裂項求和法求得S”.

,,111111a+\1

b.—b-.............=----------------=-------------=-----------

【詳解】⑴因為”a?+1??]_??qa?a?a?

4+14,+1

所以數列｛〃｝是以1為公差的等差數列.

(2)因為伍='=3,所以勿=3+("-1)*1=〃+2,

a\

由—="+2得4=一^.

an〃+2

故嘰捫-與

n+2\nn+2)

所以S“=?+g+…+組,