易錯點04導數及其應用

易錯分析

易錯點1：導數與函數的單調性

導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對

導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微

積分相聯系.(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數.(3)利用

導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題.(4)考查數形結合思想的應用.

易錯點2：導數與函數的極(最)值

求函數F(x)在［a,6］上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數在(a,6)內的極值；

(2)求函數在區間端點的函數值f(a),fS；

(3)將函數f(x)的各極值與f(a),F(6)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。

易錯點3：對“導函數值正負”與“原函數圖象升降”關系不清楚

1f(x)>0oxwAUBU…。/(幻增區間為4,8和...

f\x)<0oxeCUDU…o/(幻增區間為C,。和…

xem/'(x)>0=>/(尤)在區間。上為增函數

xe。時「(x)<0n/(x)在區間。上為減函數

xw。時f(x)=On/(x)在區間。上為常函數

討論函數的單調區間可化歸為求解導函數正或負的相應不等式問題的討論.

易錯點4：導數與函數的零點

研究函數圖像的交點、方程的根、函數零點，歸根到底是研究函數的性質，如單調性、極值等。

用導數研究函數的零點，一方面用導數判斷函數單調性，借助零點村子性定理判斷；另一方面,

也可將零點問題轉化為函數圖像的交點問題，利用數形結合來解決。

錯題糾正

1.對任意的王,々?1,3］,當4<三時，恒成立，則實數。的取值范圍是

()

A.[3,+co）B.（3,-KO）C.[9,+oo）D.（9,+oo）

【答案】C

xx

【詳解】依題意，\~2—>0<=>x]—^Inx,-(x2--1lnx2)>0,令f(x)=*-=lnx,xe(l,3|,

3x2333

則對任意的再再€(1,3],當不<毛時，f(X])>f(x2),即有函數/(x)在(1,3]上單調遞減，

因此，Vxe(l,3],尸(x)=l-*40oa23x,而(34”=9,則/9,

所以實數。的取值范圍是[9,y).

故選：C

2.若函數/(x)=x2+?xe，_aeRae/?)有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是

()

【答案】D

【詳解】由M+ore'-aeZ'O得=令g(x)=j,

由/(加M=。，得E因此函數g(x)在(5)上單調遞增,在(…)上單調遞減，且

g(O)=O,當x>0時，g(x)=￡>0,則g(x)=￡的圖像如圖所示：

即函數g(x)的最大值為g6=:,

令"三,41)，則咐)=r+S-a=0,

由二次函數的圖像可知，二次方程的一根工必在(0，)內，另一-根或12=°或“(fO)匕

當右=工時，。=」一,則另一根乙=二匚，不滿足題意，

ee~-e1-e

當3=0時，a=0,則另一根”0,不滿足題意，

2

02+。0—。<0

le

當2(一8,0)時，由二次函數刈/)=/+)-。=0的圖像可知,1T+”M>0'

⑴e

解得0<〃<^5——，

e--e

則實數。的取值范圍是(0,J—

Vl-e

故選：D.

3.已知函數/(x)=：d+cosx,尸(x)是函數，(x)的導函數，則尸(x)的圖像大致是

【詳解】/(x)=(x2+cosx則/'(x)=；x-sinx,則函數/'(x)為奇函數，排除BD；

=排除A；

故選：C.

4.已知函數f(x)=-3(lnx)2+以，若上￡口,/]時，/3)在x=l處取得最大值，則實數的取值

范圍是()

A.18,/B.(-8,0]C.(。假

【答案】B

【詳解】根據題意得fM<AD當x￡[1,，]時恒成立

3

貝Ij-3(lnx)2+tzxKa,即a(x-l)43(lnx)2

.?.當xw[l,e[時，y=a(x—1)在g(x)=3(lnx『圖像的下方

g〈x)=等，則g'(l)=0,貝ij“vo

故選：B.

J?...鼠…?????，?

I?;、.e*

5.已知尸(x)是定義在"上的函數f(x)的導數，且〃x)-f'(x)<0,則下列不等式一定成立的

是()

A.e3/(-2)>/(l)B./(-2)<e3/(l)

C.d〃2)D./(l)<eA(2)

【答案】C

【詳解】設8(“=冬，則g，⑺/“丁力

因為f(x)—/'(x)<0,所以g'(x)>0,則g(x)在月上單調遞增.

因為一2<1,所以g(—2)<g⑴，即與'<#,

所以e3/(-2)</(1),則A錯誤；

因為〃-2),/(1)的大小不能確定，所以〃-2),e"(l)的大小不能確定，則B錯誤；

因為1<2,所以g⑴<g⑵，則所以y⑴</(2),則C正確；

ee

因為〃1),/(2)的大小不能確定，所以/(1),寸(2)不能確定，則D錯誤.

故選:C

4

舉一反三?

1.若直線/與曲線片石和/+都相切，則/的方程為()

A.片2廣1B.產2A+/C.片/爐4DC.y=—1^-―1

J22

【答案】D

【詳解】設直線/在曲線y=4上的切點為后)，則％>0,

函數y=?的導數為卜'=大，則直線/的斜率%=東，

設直線/的方程為丫-后=E^(x-x0),即X-26y+M=O,

ce1Xn1

由于直線/與圓*+y-=g相切，則正+4.'=百

兩邊平方并整理得5年-4%-1=0,解得%=1,x0=-1(舍),

則直線/的方程為x-2y+l=0,即y=；x+g.

故選：D.

2.設a*0,若x=a為函數〃x)=a(x—a)2(x-/>)的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a1D?ab>cT

【答案】D

【詳解】若a=b，則〃X)=“(》-”為單調函數，無極值點，不符合題意，故/b.

.??/(X)有x=a和x=b兩個不同零點，且在x=a左右附近是不變號，在x=b左右附近是變號的.

依題意，x=a為函數/(x)=a(x-0)'(x-b)的極大值點，二在x=a左右附近都是小于零的.

當"0時，由x>b,/(x)<o,畫出f(x)的圖象如下圖所示：

5

當。>0時，由x>b時，，/(%)>0,畫出“X)的圖象如下圖所示:

由圖可知人〃，a>0,故出>>/.

綜上所述，.:成立.

故選：D

3.設「一|是函數,的導函數，將，和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不

6

y

【答案】D

【詳解】解析：檢驗易知A、B、C均適合，不存在選項D的圖象所對應的函數，在整個定義域

內，不具有單調性，但y=f(x)和丫=廣(x)在整個定義域內具有完全相同的走勢，不具有這

樣的函數，故選D.

4.已知|,設函數若關于H的不等式1—恒成立,

則.的取值范圍為

-

【答案】C

【詳解】???，即［一

(1)當廠時,

當L1時,二

故當［I時,二在匚一〔上恒成立;

若

令

當匚二口函數單增，當函數單減,

故,所以匚二.當廠一I時,］在1一I上恒成立;

綜上可知，口的取值范圍是1,

故選C.

5.已知正四棱錐的側棱長為1,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且

則該正四棱錐體積的取值范圍是(

二B.C.D.

【答案】C

7

【詳解】V球的體積為匚1,所以球的半徑匚二1，

設正四棱錐的底面邊長為口,高為口,

則

所以

所以正四棱錐的體積

所以

當時，匚二］,當時，一,

所以當時，正四棱錐的體積口取最大值，最大值為，

時，口

又口時,

故選：C.

)

8

A.

C.D.

【答案】D

［詳解］_____________,則―

當匚二］時，匚口，

所以切線方程為I,即

故選：D.

2.已知［一且.則實數&的值為（)

A.口B.口C.口

D.

【答案】D

【詳解】：

故選：D.

3.設函數一在定義域內可導，,二的圖象如圖所示，則其導函數的圖象可能是

9

【答案】A

【詳解】解：由口的圖象可知，當時函數單調遞增，則，故排除C、D；

當「|時「先遞減、再遞增最后遞減，所以所對應的導數值應該先小于匚再大于口,

最后小于白，故排除B；

故選：A

4.已知函數恒

成立，則實數A的取值范圍是（

A._____B.

C.D.

【答案】D

【詳解】

當時,

若匚I，f1>[1恒成立,則|即「-I，

所以廠所以實數在的取值范圍是.

故選:D.

5.已知函數「一若「1時，處取得最大值，則實數a的取

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值范圍是（)

D.

【答案】B

故選：B.

6.已知函數,，則不等式的解集為（）

【詳解】］r的定義域為廠:

因為廠|口,所以廠＞「"|上單調遞減,

7.如圖所示為某“膠囊”形組合體，由中間是底面半徑為1,高為2的圓柱，兩端是半徑為1

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的半球組成，現欲加工成一個圓柱，使得圓柱的兩個底面的圓周落在半球的球面上，則當圓柱

)

C.。?口

【詳解】設該幾何體的內接圓柱的底面半徑為,則其高為

該內接圓柱的體積為

因為

所以當時體積有最大值;

故選：A.

所以單調增區間為］_單調減區間為