2022-2023學年上海重點大學附中高一（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共4小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知向量蒼=（2=）,4=（一3,2），且五JLa則;I的值是（）

A.-3B.—C.3D.號

2.一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是弧度（）

A.2B.3C.4D.5

3.若如圖所對應的是某個函數的一部分圖象，則此函數解析

式為()

A.y=?sin(3x-π)+?

B.y=?sin(3x-g)+?

C.y=^sin(3x+≡)+^

D.y=?sin(3x++?

4.我們在享受經濟增長帶來的喜悅時，也無法忽視垃圾增長引發的煩惱.某區至2022年底生

活垃圾堆積量達100萬噸，估計今后平均每年增加8萬噸.在實施性活垃圾管理例/之后，清

運公司處理垃圾的效能得到明顯改觀，預估2023年能處理垃圾5萬噸，今后每年還需提高10%

的處理能力，則該區生活垃圾堆積量達到最大的年份是（）

A.2026年B,2027年C.2028年D,2029年

二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.函數f（x）=cos2x—SiMx的最小正周期為.

6.若2/7成等比數列，則X=.

7.若五=（1,-1）,b=（4,3），則（方花＞=.

8.己知向量蒼、8滿足IkI=1,∣K∣=2.?b-2a?=3＜則。B=.

9.已知復平面上有點4和點B,向量函與向量用所對應的復數分別為-1-2?與4-3則點

B的坐標為.

10.已知α,be.R,且2+山，b+i（i是虛數單位）是實系數一■元二次方程/+pχ+q=0的

兩個根，那么p+q的值為.

11.若數列｛αn｝滿足,a1=2,an+1=3an+2(n≥l,n∈/V),則數列｛αrι｝的前n項和Sn

12.已知∕c∈N,ft≥1,則笈雪2∕c=.

13.已知數列5｝是公比為q的無窮等比數列，且九^∞(α1+α2+?■■+αn)=?.則2%+q=

14.若復數zi、Z2滿足IZIl=IZ2∣=1,且∣Z1+Z2∣=1,則|三不|的值為____

ZLZ2

15.用數學歸納法證明等式1+2+3+???+(2n+l)=(n+l)(2n+l)(n∈N*)時，從H=

/^∣Jn=k+1時，等式左邊需要增加的項是.

16.“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統詩歌文化和現代奧林匹克運動聯系在一

起，天衣無縫，讓人們再次領略了中國悠久的歷史積淀和優秀傳統文化恒久不息的魅力.順

次連接圖中各頂點可近似得到正六邊4BCDEF.若正六邊形的邊長為1,點P是其內部一點(包

含邊界)，則正?衣的取值范圍為.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知3=(1,1),B=(2,m).

(1)若蒼〃a求實數ni的值；

(2)若方與石夾角為銳角，求實數Tn的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

設復數z=α-i,其中i為虛數單位，a€R.

(1)若z(l+i)是純虛數，求實數ɑ的值;

(2)若α=2,求復數七+i的模.

19.(本小題12.0分)

??ABCtP,角A,B,C對應的邊分別是α,b,c,且αsinB=—√~5bcos4?

(1)求角A的大小；

(2)若b=4,△ABC的面積S=2，？，求AABC的周長.

20.(本小題12.0分)

已知函數y=/(x)=sin2x+?∕-3sinxcosx-?.

(1)求函數y=/(x)的嚴格單調遞增區間；

(2)求函數y=/(x)在區間［0,多的值域；

⑶已知函數九(X)=/(x若不等式COSX-■∕ι(x)-m>0在［0,勺上恒成立，求實數m的取

值范圍.

21.(本小題12.0分)

30.設數列｛arι｝的前n項和是右,且滿足SJI=10-9αn.

(1)求知的值；

(2)求證：數列｛a71｝是等比數列，并求數列｛ajl｝的通項公式；

(3)若數列｛%｝的通項公式是％=焉(其中常數k是整數)，對于任意n6N,n≥1都有%>

即成立，求整數％的最小值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：向量Z=(2,4),B=(-3,2),且21.3，

a-b=-6+2λ=0>

解得;I=3,

故選：C.

直接利用向量的數量積和向量垂直的充要條件的應用求出;I的值.

本題考查的知識要點：向量的坐標運算，向量的數量積，向量垂直的充要條件的應用，主要考查

學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

2.【答案】A

f/÷2r=4

【解析】解：設扇形半徑九弧長，，則，)=2，

解得r=1,/=2,

所以圓心角為'=2.

r

故選:A.

結合扇形面積公式及弧長公式可求r,然后結合扇形圓心角公式可求.

本題主要考查了扇形面積公式及弧長公式，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：設函數為y=4sin(<υx+a)+k,

由函數圖像可知A=手=?,4=審=?,

函數周期為7=萬冶=等所以3=竽=3,

所以y=?sin(??+尹)+?，

當x=g+∕=h"?=弼，函數取得最大值q,即函數過(果C),

所以=?sin(?X]+租)+

解得3X]+9=2kττ+/,(k∈Z)即0=2kτr—兀，(fc∈Z),∕c=O時，φ=—ττ,

所以y=?sin(??-π)+?-

故選：A.

設出函數表達式，根據其圖像，依次求出4,k,ω,計算可得函數圖像過點G，O,代入函數表

達式可得0=-兀，進而得到答案.

本題主要考查由y=4sin(3x+w)的部分圖象確定其解析式，考查運算求解能力，屬于中檔題.

4.【答案】C

n1

【解析】解：從2023年起第n年處理生活垃圾的量為即=5×1.l~,n€N*,顯然On單調遞增，

而5X1.14=7.3205,5×1.1s=8.05255,生活垃圾堆積量平均每年增加8萬噸，

則從第6年起處理生活垃圾的量超過每年增加的量，

故該區生活垃圾堆積量達到最大的年份是2023+5=2028.

故選：C.

從2023年起第n年處理生活垃圾的量為αn=5XLIn-1,n∈jv?,而生活垃圾堆積量平均每年增

加8萬噸，通過數據比較可得結果.

本題主要考查根據實際問題選擇函數類型，考查運算求解能力，屬于中檔題.

5.【答案】π

【解析】解：丫f(X)=cos2x—sin2x=cos2x,

—2π

?T=—=πf

二函數∕^(X)=Cos2X-Sin2%的最小正周期為兀，

故答案為：π.

利用三角函數的倍角公式先化簡，再利用三角函數周期公式求解即可.

本題主要考查三角函數周期的計算，考查了二倍角公式的應用，屬于基礎題.

6.【答案】±2

【解析】解：由等比中項定義可得：

X2=yj~^2.2√-2=4,

解得X=±2,經驗證符合題意.

故答案為：±2.

直接由等比中項概念可得χ2=/22/2,即可求解.

本題考查等比中項的概念，屬簡單題.

7.【答案】arccos

【解析】解:因為向量H=(L-I),1=(4,3),

所以COS色石)=氤y=1×4-3×1<2

2222

y∣l+(-l)×J4+3~ιδ~?

因為0,E)∈[0,π]，所以位,3〉=arccos—.

故答案為：arccos

利用向量的夾角公式直接求解.

本題主要考查向量的夾角公式，屬于基礎題.

8.【答案】一)

4

【解析】解：因為|1-2引=3，

所以(另一2a)2=fe2-4α?h+4α2=4-4α??÷4=9,

解得方?K=—?.

1

故答案為:4-

根據G-2a)2=b-4a-b+4a2=9求解即可.

本題考查平面向量數量積的運用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

9.【答案】(3,-3)

【解析】解：?.?OB=OA+AB>

：.亍不對應的復數為—1—2i+4—i=3—3i,

故點B的坐標為(3,-3),

故答案為：(3,-3).

由向量的運算知麗=E+而，從而可得相對應的復數為一l-2i+4-i=3-3i,從而求得.

本題考查了復數的幾何意義的應用，屬于基礎題.

10.【答案】1

【解析】解：分別將2+αi,b+i代入方程得：(2+αi)2+p(2+αi)+q=0①

(b+i)2+p(b+j)+<7=0②對①②整理得：

2p+q-a2+4=0

(p+4)Q=0

pb+q+爐-I=0'

{p+2&=0

解得：P=-4,q=5.

本題也可以用“韋達定理”求解：

2+ai+b+i=—p③，(2+αi)(h+i)=q④對③④整理得：

2+b=-pp=-l

α+1=0^?b=2

2b-a=qIp=-4,

{Qb+2=0Iq=5

???p+q=1

故答案為：1：

把根代入方程，利用復數相等列出方程組，可解出結果.

本題方法較多，考查復數實系數方程虛根成對，韋達定理，復數相等的條件，是中檔題.

IL【答案】"嚴

【解析】解：???&l+ι=3αn+2,

λa

n+l+1=3(Qn+1)?

??.數列｛的l+1｝是以3為公比的等比數列，其中首項的÷1=3,

n1n

.?.αn+l=3×3"=3,

n

αn=3—1，

nn+1

c,/?i1O21.?n?3×(l-3)3-3-2π

l1zn

???Sn=a1+α?+@3"---Fɑn=(3+34------F3)-n=-二一九二----------------

故答案為：”尹

根據數列的遞推式an+ι=3即+2構造新數列，使所構造的新數列是等比數列，從而可得αn,再

根據分組求和法可得

本題考查等比數列的定義，等比數列的通項公式與求和公式的應用，分組求和法的應用，屬中檔

題.

12.【答案】IOlOO

【解析】解：羽"2k=2+4+6+…+200="型斐幽=IOIO0.

故答案為:10100.

利用等差數列的前n項和公式求解.

本題考查等差數列的求和公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題.

13.【答案】1

,l

【解析】W：??n→∞(α1+a2+???+αn)=?=?,

2a1=l-<∕,BP2a1+q=L

故答案為：L

由無窮遞縮等比數列極限的求法直接構造等式，整理即可得到結果.

本題考查無窮遞縮等比數列的極限，是基礎題.

14.【答案】?

【解析】解：復數與、Z2滿足IZll=?z2?=1，IZI+z2∣=1，

???可設Zi=1,Z2=%+yi,X,y∈R?

?|1+x+yi∣=1,可得：J(1+χ)2+y2=1，即(l+χ)2+y2=ι

又/+y2=l,聯立解得％=y=+∏.

J2J—2

1,>Λ1.

--?Z2=-2±-1-

3.√^3.

--Z1-Z2=-+-1.

.I1I--1

ZLZ2J(獷+(±苧)23.

故答案為：￡3.

復數Zi、N2滿足IZIl=?z2?=1，IZl+z21=1,可設Zl=1,z2=%+yi,%,y∈R.可得|1+%÷yi∣=

1,7(1+x)2÷y2=1,BP(1+%)2+y2=l.Xx2+y2=1,聯立解得％,y,進而得出.

本題考查了復數的模的計算公式、復數的運算性質、方程的解法，考查了推理能力與計算能力,

屬于基礎題.

15.【答案】(2k+2)+(2k+3)

【解析】解：???用數學歸納法證明等式1+2+3+???+(2n+l)=(n+l)(2n+1)時，

當n=1左邊所得的項是1+2+3；

假設n=Zc時，命題成立，左端為l+2+3+???+(2k+l);

貝IJ當？1=k+1時，左端為1+2+3+…+(2k+1)+(2fc+2)+[2(fc+1)+1],

.?.從“k-k+1”需增添的項是(2k+2)+(2k+3).

故答案為：(2k+2)+(2k+3).

由數學歸納法可知n=k時，左端為l+2+3+???+(2k+l),到n=k+l時，左端1+2+3+

???+(2fc+3),從而可得答案.

本題考查數學歸納法，著重考查理解與觀察能力，考查推理證明的能力，屬于中檔題.

16.【答案】[0,3]

【解析】解:如圖：由正六邊形的性質可知,NB4C=?BCA=30°,

故AC=2×1×cos30o=√~3.

所以NCAF=120°-30°=90°,所以P點的位置在直線AF的右側

的六邊形內(包括邊界)或落在線段AF上，

又Q?前表示的是I前t∣與而在左上的投影的乘積，故當P落在

線段AF上時，而在正上的投影最小為0,當P落在線段DC上時，

存在而上的投影最大為IACI=O)

故0≤而?而≤尼2=3,

故答案為：[0,3].

根據數量積的幾何意義可知，麗?前表示的是I而I與存在而上的投影的乘積，顯然NB4C=30。,

所以NcaF=120°-30°=90°,所以P點的位置在直線AF的右側的六邊形內(包括邊界)或落在線

段AF上，則由此易求得結論.

本題考查平面向量數量積的幾何意義和運算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)若蒼〃石，則Ix?n=2x1,解得m=2?

(2)若五與了夾角為銳角，設該夾角為。，則COS位花〉=cosθ=-7?7>0，

回I勿

故只需有?6=l×2+l×m>0,解得M>—2,

且有與E不同向共線，即mH2,

所以實數Tn的取值范圍為{m∣m>一2且TH≠2}.

【解析】(1)根據向量共線的性質，列式計算即可；

(2)設夾角為仇則COS位花〉=cosO=磊>0,得到五方>0,計算可得m的范圍，注意五與加不

∣α∣?∣b∣

同向共線.

本題主要考查平面向量共線的性質，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)%,Z(I+O=(α-0(1÷i)=(α+1)+(α-l)i是純虛數,

Γα÷1=O

tα—1≠O解得Q=-1;

/C、HClThlZ,.2-i,.(2T)(1T)+,l.l-3i,l.11l.

(2)右α=2,則|+ι=-+l=(i+;(iτ)=-+=2~2'

復數1?+?的模為J(y+(-/)2=苧.

【解析】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，考查復數模的求法，是基礎

題.

(1)利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為O且虛部不為0,列式求解a值；

(2)把α=2代入白+i,利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式求解.

19.【答案】解：⑴在AABC中，由正弦定理號=芻=三=2R得:

''SinASinBSinC

a=2RsinAfb=2RsiτιB代入式子αsi;IB=-y∕~^bcosA?

化簡得，SinAsinB=-yΓ~3sinBcosAy

VsinB≠0,

??.SinA=-V-3cos?,即tcm4=—V-3,

A∈(0,π),?4=(.

(2)VS=?bcsinA=?×4csin^γ=√-3c=2V-3,

?c=2,

由余弦定理得=b2÷C2-2bccosA=42+22—2×4×2×(―?)=28,

?a=2√-7

?α÷e÷c=2?Γ~7÷4+2=6÷2√-7，

??.△4BC的周長為6+2c.

【解析】(1)利用正弦定理化邊為角即可求解；

(2)根據三角形的面積公式和余弦定理即可求解.

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)/(%)=sin2x+y∣~3sinxcosx—?=1~c^2x-∣-??sin2x—?=sin(2x—??

令2?ττ-]≤2%—牌2?ττ+],kEZ,

得∕στ—聿≤%≤∕σr+*k∈Z,

故嚴格單調遞增區間為阿-≡Λτr+≡]Λ∈Z.

(2)當％∈[0,等時，2x-∣∈[-∣,?],

所以/(%)=sin(2x-∈[-?,1],

故值域為[―

⑶由題意得?n<Cosx—sin(2x-])=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2{cosx+?)2一

、?9

設g(x)=2(cosx+-)2-

當Xe[0,芻時，則COSX∈[0,1]>則g(χ)mm=里)=2×(?)2-1=-1,

所以rn<-l,即實數m的取值范圍是(-8,-1).

【解析】(1)首先化簡/^(x)