《對數函數》（四）

考查內容：主要涉及對數函數的定義域

選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

函數（））的定義域為

1./x=jlogjx-l()

A.(1,2)B.(1,2]C.D.[2,+co)

1

2.函數f(x)—r-----------：-的7E義域為（)

JlOg2%一

A.(0,2)B.(0,2]

C.(2,+oo)D.[2,+oo)

ln(x+1)

3?圖繳〉/-；---------mJTE乂物力k)

A/-X2-3X+4

A.(—4,—1)B.(-4,1)c.(-1,1)D.(-1,1]

I2—》］的定義域為（）

4.函數/0）=而1-炮

A.[1,2]B.[2,+8)c.[1,2)D.(1,2]

5.函數〃x)=logLsin|

2x-的單調增區間為（)

(,3兀B.［左乃+—,^+網]keZ

A.KTtH------,K7TH------keZ

I88)88)

(1?7r5萬7/兀\7

C.kjr-----,kjtH------\kE.ZD.左”■十——,K7TH------KGZ

I88J88J

6.已知函數/■（力=3［（/-1）尤2一（1“卜+1］的定義域為氏，則實數a的取值范

圍是（）

C.—00,—#(1，+8)D.

7.若函數y=1（）82（如2-23+3）的定義域為R,則實數m的取值范圍是（）

A.(0,3)B.[0,3)C.(0,3]D.[0,3]

8.已知函數y=/(3)的定義域為[-1/，則函數y=/(log3%)的定義域為().

A.[-1,1]B.1,2C.[1,2]D,[^3,27]

9.函數/(%)=皿_%2：4工_3)的定義域是()

A.(-oo,l)0(3,+co)B.(1,3)

C.(f),2)!_(2,y)D.(1,2)o(2,3)

10.已知函數y=log.(3-奴)在[0,1]上是x的減函數，則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(0,l)U(l,3)D.[3,+00)

11.已知函數/(力=]]的定義域為R,則實數冽的取值范圍是

1g(25)-4.5+m

()

A.(5,+00)B.,5)C.(4,+co)D.,4)

12.設函數/(x)=Ja—Igx的定義域為(0,10],則實數。的值為()

1

A.0B.10C.1D.—

10

二.填空題

13.函數,=唬(6-1211%)的定義域為.

14.函數y=5/9-X2+1g(2cos2x-1)的定義域是.

',5一

15.若函數y=lg(k+2)x2+(k+2)x+-的定義域為R,則實數人的取值范圍是

16.函數/(x)=log.(2—依)在[0』上是x的減函數，則實數a的取值范圍是一

三.解答題(解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知函數/(x)=logaL^,(a>0且awl).

x+1

(1)求fM的定義域及/(log2x)的定義域.

(2)判斷并證明了(x)的奇偶性.

18.已知函數/（x）=log2（—尤2—2%+8）.

（1）求“尤）的定義域和值域；

（2）寫出函數/（尤）的單調區間.

19.已知函數/（x）=log2（x2一如一刈＞.

2

⑴若m=1,求函數的定義域.

（2）若函數/（尤）的值域為民求實數m的取值范圍.

⑶若函數/（另在區間卜”,1-6）上是增函數，求實數機的取值范圍.

20.已知函數=坨（依2+2x+l）.

（1）若函數/（尤）的值域為H,求實數。的取值范圍;

（2）若函數/（尤）的定義域為R,求實數。的取值范圍.

y1

2i.已知函數y(x)=iog2——-)

X-1

(1)求函數y=/(力的定義域;

(2)證明：y=/(x)是奇函數;

(3)設/z(x)=4/(x)+求函數y=〃(x)在［3,7］內的值域;

22.對于'=/(%)=log/%2_2ia+3).

2

(1)/(X)的定義域為H和值域為R時a的取值范圍一樣嗎？若不一樣，請分別求出

。的取值范圍.

(2)實數。取何值時人元)在［-1,+8)上有意義？實數。取何值時/(x)的定義域為

(3,-H?)?

(3)實數a取何值時〃無)的值域為(-8,-1］?

(4)實數。取何值時〃無)在(-oo,T］上是增函數？

《對數函數》(四)解析

1.【解析】要使函數有意義，則logj無T)N。，則。<x—

故函數的定義域是(1,2],故選B.

x>0

2.【解析】要使函數有意義，則<1八解得x>2.

log2x-1>0

x+1>0x〉—1

3.【解析】要使函數有意義’需使｛一￡一31+4〉。,即｛

-4<x<1

所以—1<X<1.故選C

(x+2)(2—x)〉0

4.【解析】根據函數“尤)解析式，有｛x>Q,解得xe[l,2),

Inx.0

所以函數/(*)的定義域為xe[l,2),故選：C.

5.【解析】由對數函數的定義域可知sin2x—7〉0

結合對數型復合函數單調性的性質“同增異減”可知，y=sin2x-(為單調遞減區間

2k兀<2x---<萬+2k兀

4

所以o(kwZ)

—F2k兀<2x---<----F2k?i

〔242

無、5萬,

--FK71<X<---71+K71

88

化簡不等式組可得<(左eZ)

3兀17萬7

---FK71<%<-----FK7T

[88

所以不等式組的解集為---Hki<x<—71+k兀(kE.Z)

88

(1)(345TZ-\

即函數/(%)=1。815詁12%-1)的單調增區間為[左乃+9,左乃+9)左右2

故選:A

6.【解析】由題意，函數/'(x)=Ig[(a2—1卜~1—辦+”的定義域為R,

即(/—1)尤2—(i—a)x+]>。在尺上恒成立，由々2—「0,解得a=±L

當。=1時，不等式可化為1〉0在尺恒成立;

當a=—1時，不等式可化為2x+l>0,解得x〉-L,不符合題意，舍去;

2

tz2-l>0

當I。。時，即時，則滿足〈

A<0

tz2-l>05

即《,,解得a<—或

3/+2。—5>03

綜上可得，實數°的取值范圍是1-s,-g］u［L+s).故選：D.

7.【解析】函數y=log「的定義域是R,貝ij有〃發_2〃箕+3>0恒成立.

設/z(x)=儂之-2MX+3,當加=0時，/z(x)=3>0恒成立；當加。0時，要使得

m>0

M%)>0恒成立，貝情｛z筌，解得0VMV3.

A=(-2m)-3x4xm<0

所以實數加的取值范圍是［。,3),選B.

8.【解析】由得371,3,所以logsXe1,3,所以無e［班,27］.

故選：D.

一%2+4%—3〉0

9.【解析】依題意〈7,解得1<%<3且.故選D.

-X2+4X-3^1

10.【解析】Vy=loga(3-ax)在［0,1］上是x的減函數,

.,.0<3-a<3-ax<3,即a<3①

又：y=loga(3-ax)在［0,1］上是X的減函數，且3-ax是減函數，；.a>l②

綜上所述：l<a<3,故選B.

11.【解析】函數〃x)=,「人…［［的定義域為R,

1g(25)-4.5+m

(25)*-4.5"+m>0且(25丫-4.5X+1

即加〉—(5'1+4.5*且機w—(5x1+4.5'+l,5工>0，/.-(51)2+4.5"<4

又一(5,2+4.5*+1<5,.?.加〉5,則實數機的取值范圍是(5,+8),故選A

12.【解析】由a—lgx..O得lgx<a,，0<x<10".

???函數f(x)=Ja_lgx的定義域為(。,1。］，/.10a=10,:.a=1,故選：C.

13.【解析】由題可知：-tanx>0，/.tanX<A/3?

所以----1-k7r<X<——Fk7T,kGZ,

23

函數的定義域是（X一?+左"<x<g+左〃，左eZ

?Ji71

故答案為：lx\--+k7i<x<—+k兀,keZ

9-%2>0

14.【解析】因為y=，9一%2+Ig(2cos2%—11所以<

2cos2x-l>0

-3<x<3-3<x<3

所以《

1,所以<7兀1TC1r

cos2x>—K71-----<X<K7l~\——,KGZ

266

._57r?7i7i?57r/_

斛行—3V犬<----或---<x<——或—<%V3.

6666

5%nn

故答案為：-3,--—~6,~6

95

15?【解析】函數y=lg(k+2)/+(左+2)%+:的定義域為R,

_4_

令g(x)=(左+2)/+(左+2)x+],則g(x)>。恒成立，

當化+2=0即左=—2時，g(x)=；大于零恒成立，滿足條件；

>+2>0

當Z+2/0,貝I々小2/5々小八解得一2<%<3

(左+2)-4x-x(^+2)<0

綜上可得—2W左<3,即左e[—2,3),故答案為：[—2,3)

16.【解析】函數〃x)=log。(2-ar),

所以真數位置上的2—依>0在xe[0』上恒成立，

由一次函數保號性可知，a<2,

當0<a<l時，外層函數y=log/為減函數，

要使/(x)=loga(2-or)為減函數，則/=2-依為增函數，

所以一。>0,即。<0,所以ae0,

當時，外層函數y=log/為增函數，

要使/(x)=logfl(2-ar)為減函數，則t=2-ax為減函數，

所以一。<0,即。>0,所以

綜上可得a的范圍為(1,2).

1—Y1—Y

17.【解析】(1)函數=————>0

x+lX+1

xe(-l,l)函數〃無)的定義域為(-1,1)

-l<log2x<l函數/(log2%)的定義域是

(2)/(%)是奇函數

證明：函數Ax)的定義域為(一口)，二定義域關于原點對稱

x)=log〃尸=log/p］=-log?|—^=/(x)

1-xyl+xJ1+x

(或/(x)+/(-x)=0證明)，九)是奇函數

22

18.【解析】(1)Q/(x)=log2(-%-2%+8),：.-x-2x+8>0>

解得—4<x<2,二/(幻的定義域為(Y,2).

設〃(x)=—x~—2x+8=—(x+1)2+9,—4<x<2,

.,.〃(x)e(O,9],二/(x)的值域為(—cojog?"

(2)Qy=log2X是增函數，而"(%)在(T,-1］上遞增，在［—1,2)上遞減,

二/(x)的單調遞減區間為［-1,2),單調遞增區間為(T-1］.

19.【解析】⑴若機=1廁4》)=四1(爐-龍T),

2

要使函數有意義，需f

函數八％)的定義域為

(2)若函數/(%)的值域為民則爐—3-m能取遍一切正實數,

A=m2+4m>0,SPmw(―oo,-4]D[0,+”),

實數m的取值范圍為(—8,T]D[0,+");

（3）若函數/（x）在區間卜8/-6）上是增函數,根據復合函數的同增異減，

設t=X?——772在區間卜℃」一6）上是減函數，且V—如；—m>0在區間

卜00/一行）上恒成立,...121—石,且（1—也）2—〃?1—6）—"20,

即加22-2^3且加W2,...根e12—273,21.

20.【解析】（1）???/（尤）的值域為區，

要求〃=依2+2%+1的值域包含（0,+。）.

當avO時，顯然不可能；

當〃=0時，〃=2%+1￡尺成立；

當。>0時，若"=以2+2%+1的值域包含（0,+8）,

則A=4-4a?0,解得0<aW1.

綜上所述，可知。的取值范圍是OWaWl.

（2）由題意，知〃=依2+2%+1的值恒為正，

a>0

..八，解得Q>1,故a的取值范圍是Q>1.

A=4-4a<0

龍+[

21.【解析】(1)由——〉0得：x>l或x<—1,

x-1

.??/(%)的定義域為(f,—l)U(l,y)；

z

⑵f(-x)=log2^-=log2^-=-log2^-=-f(x),

—x—1x+1X—1

，/（九）為奇函數;

⑶/(x)=log|1+^-

2在［3,7］上單調遞減，令/=〃%）,

kX-i

則felog21,l,而人（/）=布+1在單調遞減，在上單調遞增,

又小。g22〈”（；）="⑴=5