第3章章末小結【知識導圖】【題型探究】圓錐曲線的定義及應用例1(1)(2022年全國乙卷)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=().A.2B.22C.3D.32(2)(2021年全國甲卷)已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為().A.72 B.132 C.7小結涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構成的三角形問題時,常用定義結合解三角形的知識來解決;在求有關拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離,結合幾何圖形,利用幾何意義去解決.運用定義解題時應注意圓錐曲線定義中的限制條件.本題滲透了數(shù)學運算、邏輯推理的素養(yǎng).圓錐曲線的方程例2(2021年北京卷)雙曲線C:x2a2-y2b2=1的離心率為2,過點(2,3),A.x23-y2=1 B.x2-yC.x2-3y23=1 D.3x小結一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.本題考查了數(shù)學運算的素養(yǎng).圓錐曲線的幾何性質例3(1)(多選題)(2022年新高考全國Ⅰ卷)已知O為坐標原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點,則().A.C的準線方程為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2(2)(2022年新高考全國Ⅰ卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,離心率為12.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點,|DE|=小結應用圓錐曲線的性質時,要注意與數(shù)形結合、方程思想等結合運用.本題考查了數(shù)學運算、直觀想象以及邏輯推理的素養(yǎng).直線與圓錐曲線的位置關系例4(2021年新高考全國Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦點為F((1)求橢圓C的方程.(2)設M,N是橢圓C上的兩點,直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=3.小結直線與圓錐曲線的位置關系,涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識,形成了求軌跡、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題.解決此類問題應注意數(shù)形結合,以形輔數(shù)的方法,還要多結合圓錐曲線的定義,根與系數(shù)的關系以及“點差法”等.本題滲透了數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象的素養(yǎng).與圓錐曲線有關的最值和范圍問題例5(2022年全國甲卷)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.(1)求C的方程.(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時,求直線AB的方程.【小結圓錐曲線中的最值問題通常有兩類:一類是有關長度、面積的最值問題;一類是圓錐曲線中有關幾何元素的最值問題.這兩類問題的解決往往需要回歸定義,結合所學平面幾何知識,建立目標函數(shù),利用函數(shù)的性質或不等式知識,以及數(shù)形結合,設參,轉化,代換等途徑來解決.本題考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理的素養(yǎng).圓錐曲線中的定點、定值問題例6(2020年全國Ⅰ卷)已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點,G為E的上頂點,AG·GB=8,P為直線x=6上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E(1)求E的方程.(2)證明:直線CD過定點.小結對于圓錐曲線中的定點、定值問題,有以下兩種求法:(1)從特殊情況入手,先求含變量的定點(定值),再證明這個點(值)與變量的關系.(2)直接推理、計算,并在計算的過程中消去變量,從而得到定點(定值).【拓展延伸】圓錐曲線的光學性質及應用圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓,通過平面直角坐標系,它們又與一元二次方程對應,所以圓錐曲線又叫作二次曲線.圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一,在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線.一、圓錐曲線的光學性質1.橢圓的光學性質從橢圓的一個焦點發(fā)出的光,經(jīng)過橢圓反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上,如圖所示.橢圓的這種光學性質,常被用來設計一些照明設備或聚熱裝置,例如點F1處放置一個熱源,那么紅外線也能聚焦于點F2處,對F2處的物體加熱.電影放映機的反光鏡也是這個原理.2.雙曲線的光學性質從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上,如圖.雙曲線的這種反向虛聚焦性質,在天文望遠鏡的設計等方面,也能找到實際應用.3.拋物線的光學性質從拋物線的焦點發(fā)出的光,經(jīng)過拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的對稱軸,如圖所示.拋物線的這種聚焦性質,成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇.例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線,把光源置于它的焦點處,經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束,使照射距離加大,并可通過轉動拋物線的對稱軸方向,控制照射方向.衛(wèi)星通信像碗一樣接收或發(fā)射天線,一般也是以拋物線對稱軸旋轉得到的,把接收器置于其焦點,拋物線的對稱軸跟蹤對準衛(wèi)星,這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號射線最大限度地集中到接收器上,保證接收效果;反之,把發(fā)射裝置安裝在焦點,讓對稱軸跟蹤衛(wèi)星,則可以使發(fā)射的電磁波訊號射線能平行地到達衛(wèi)星的接收裝置,同樣保證接收效果.最常見的太陽能熱水器,它也是以拋物線鏡面聚集太陽光,以加熱焦點處的儲水器的.二、圓錐曲線光學的應用例1如圖所示,橢圓有這樣的光學性質:從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點,根據(jù)橢圓的光學性質解決下題:已知曲線C的方程為x24+y23=1,其左、右焦點分別是F1,F2,直線l與橢圓C相切于點P,且|PF1|=32,過點P且與直線l垂直的直線l'與橢圓長軸交于點M,則|F1M|∶|F例2雙曲線的光學性質為:如圖①,從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”,就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分,如圖②,其方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2分別為其左、右焦點,若從右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后,滿足∠BAD=90°,tan∠ABC=-34A.52 B.5 C.102例3拋物線具有以下光學性質:從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸.該性質在實際生產中的應用非常廣泛.如圖,從拋物線y2=4x的焦點F發(fā)出的兩條光線a,b分別經(jīng)拋物線上位于第一象限的A,B兩點反射,已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60°,則兩條反射光線a'和b'之間的距離為().A.233C.433三、總結我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運行,太陽系其他行星也如此,太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運行速度增大到某一程度,它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就是遵照了這個原理.由拋物線繞其軸旋轉,可得到一個叫作旋轉拋物面的曲面.它也有一條軸,即拋物線的軸.在這個軸上有一個具有奇妙性質的焦點,任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以后,都成為平行于對稱軸的直線.這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉拋物面的道理.由雙曲線的一支繞其虛軸旋轉,可以得到雙曲面,它又是一種直紋曲面,由兩組母直線