2/2專題07點、線、面位置關系（幾何法）（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎考點】 6【基礎考點一】點、線、面位置關系概念的判斷 6【基礎考點二】異面直線所成的角 7【基礎考點三】三線共點 8【基礎考點四】線面、面面平行判定與性質 10【基礎考點五】線面垂直判定與性質 12【綜合考點】 13【綜合考點一】等體積法 13【綜合考點二】面面垂直的判定與性質 15【綜合考點三】線面角幾何法 16【綜合考點四】面面角幾何法 18【培優考點】 20【培優考點一】動點、動直線問題 20【培優考點二】折疊問題 21【總結提升】 23【專項檢測】 24備考指南備考指南考點考情分析考頻空間幾何體的表面積、體積2023年新高考Ⅰ卷T142023年新高考Ⅱ卷T92023年新高考Ⅱ卷T142023年全國乙卷T32023年全國乙卷T82022年新高考Ⅰ卷T42022年新高考Ⅱ卷T112022年全國甲卷T42022年全國甲卷T92021年新高考Ⅰ卷T32021年新高考Ⅱ卷T42021年新高考Ⅱ卷T53年12考球與多面體的切接2023年全國乙卷T162022年新高考Ⅰ卷T82022年新高考Ⅱ卷T72022年全國乙卷T92021年全國甲卷T113年5考線面位置關系2023年全國乙卷T92022年新高考Ⅰ卷T92022年全國甲卷T72022年全國乙卷T72021年新高考Ⅱ卷T102021年全國乙卷T53年6考空間角與線面位置關系綜合2023年新高考Ⅰ卷T182023年新高考Ⅱ卷T202023年全國甲卷T182023年全國乙卷T192022年新高考Ⅰ卷T192022年新高考Ⅱ卷T202022年全國甲卷T182022年全國乙卷T182021年新高考Ⅱ卷T192021年全國甲卷T192021年全國乙卷T183年11考立體幾何綜合2023年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T202年3考最短距離、截面、截線2023年新高考Ⅱ卷T142023年全國甲卷T151年2考預測：以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關系的判定與性質定理，對命題的真假進行判斷，屬基礎題.空間中的平行、垂直關系的證明也是高考必考內容，多出現在立體幾何解答題中的第(1)問.立體幾何中的折疊問題是歷年高考命題的一大熱點與難點，主要包括兩個方面：一是平面圖形的折疊問題，多涉及到空間中的線面關系、體積的求解以及空間角、距離的求解等問題；二是幾何體的表面展開問題，主要涉及到幾何體的表面積以及幾何體表面上的最短距離等.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線面關系或空間角存在的條件，計算量較大，一般以解答題的形式考查，難度中等偏上.從近三年全國卷的考察點、線、面位置的關系情況看，客觀題的處理上優先考慮的是幾何法，在主觀題的第一問也多用幾何法處理.建議在二輪復習時，空間點、線、面的位置關系要掌握好幾何法，加強對學生空間想象能力的訓練.能做到舉一反三，充分利用好常見的模型.真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國·統考高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．32．（2023·全國·統考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·統考高考真題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為二、多選題4．（2023·全國·統考高考真題）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為5．（2022·全國·統考高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．6．（2022·全國·統考高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為7．（2021·全國·統考高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．三、解答題8．（2023·全國·統考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設，求四棱錐的高．9．（2022·全國·統考高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．10．（2022·全國·統考高考真題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．11．（2021·全國·高考真題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.12．（2021·全國·統考高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．基礎基礎考點【考點一】點、線、面位置關系概念的判斷【典例精講】（多選）（2023·全國·模擬預測）已知m，n，l是三條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是（

）A．若，，則B．若m，，，，則C．若，，，則D．若，，則【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）設為不同的平面，為不同的直線，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．（2023·全國·校聯考模擬預測）已知直線兩兩異面，且，，下列說法正確的是（

）A．存在平面，使，，且，，B．存在平面，使，，且，，C．存在唯一的平面，使，且與所成角相等D．存在平面，使，，且二、多選題3．（2023·全國·校聯考二模）已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則至少有一條與直線垂直D．若，則4．（2023·河北秦皇島·校聯考二模）已知表示空間內兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（

）A．存在平面，有 B．存在平面，有C．存在直線，有 D．存在直線，有【考點二】異面直線所成的角【典例精講】（多選）（2023·安徽黃山·統考三模）在棱長為的正四面體中，過點且與平行的平面分別與棱交于點，點為線段上的動點，則下列結論正確的是（

）A．B．當分別為線段中點時，與所成角的余弦值為C．線段的最小值為D．空間四邊形的周長的最小值為【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）如圖，在圓錐中，軸截面的頂角，設是母線的中點，在底面圓周上，且，則異面直線與所成角的大小為（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°2．（2023·寧夏石嘴山·統考一模）在長方體中，，，，則異面直線和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·重慶·校聯考一模）已知正方體，P是棱的中點，以下說法正確的是（）A．過點P有且只有一條直線與直線AB，都相交B．過點P有且只有一條直線與直線AB，都平行C．過點P有且只有一條直線與直線AB，都垂直D．過點P有且只有一條直線與直線AB，所成角均為45°三、填空題4．（2023·全國·模擬預測）已知球O的表面積為，A，B，C，D為球O的球面上的四個點，E，F分別為線段AB，CD的中點．若，且，則直線AC與BD所成的角的余弦值為．【考點三】三線共點【典例精講】（多選）（2022上·湖北·高三襄陽五中校聯考階段練習）已知分別是三棱錐的棱上的點（不是端點），則下列說法正確的是（

）A．若直線相交，則交點一定在直線上B．若直線異面，則直線中至少有一條與直線相交C．若直線異面，則直線中至少有一條與直線平行D．若直線平行，則直線與直線平行【變式訓練】一、單選題1．（2022·四川廣安·統考二模）如圖，長方體中，點E，F分別是棱，上的動點（異于所在棱的端點）.給出以下結論：①在F運動的過程中，直線能與AE平行；②直線與EF必然異面；③設直線AE，AF分別與平面相交于點P，Q，則點可能在直線PQ上.其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（2022·陜西安康·統考二模）如圖，在四面體中，分別為的中點，分別在上，且.給出下列四個命題：①平面；②平面；③平面；④直線交于一點.其中正確命題的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（2023下·河北·高一校聯考期中）在正方體中，分別為棱上的一點，且，是的中點，是棱上的動點，則（）A．當時，平面B．當時，平面C．當時，存在點，使四點共面D．當時，存在點，使三條直線交于同一點三、解答題4．（2023·四川瀘州·校考三模）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點．

(1)求證：直線、、交于一點；(2)若，求多面體的體積．【考點四】線面、面面平行判定與性質【典例精講】（2023·四川南充·模擬預測）如圖所示，在圓錐中，為圓錐的頂點，為底面圓圓心，是圓的直徑，為底面圓周上一點，四邊形是矩形．

(1)若點是的中點，求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積．【變式訓練】1．（2023·四川成都·統考二模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，是邊長為2的正三角形，平面平面，為的中點，點在上，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.2．（2023·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，且，，，G為的重心．

(1)證明：平面PCD．(2)若，求點C到平面PAE的距離．3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）如圖所示，在四棱錐中，側面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動點.

(1)當是棱的中點時，求證：平面；(2)若，，求點到平面距離的范圍.4．（2023·陜西安康·統考三模）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．

(1)求證：平面；(2)若，求點到平面的距離.【考點五】線面垂直判定與性質【典例精講】（2023·河南·校聯考模擬預測）如圖，在三棱錐中，，，，平面，D為上一點，且.(1)證明：平面；(2)若E為上一點，，求三棱錐的體積.【變式訓練】一、解答題1．（2023·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，平面平面ABC，.

(1)求證：平面PBA；(2)若，，求點B到平面PAC的距離.2．（2023上·上海閔行·高三上海市文來中學校考期中）正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點．(1)求證：平面；(2)求四面體的體積．3．（2023·四川宜賓·統考二模）圓柱中，四邊形為過軸的截面，，，為底面圓的內接正三角形，.

(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.4．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，，，平面平面，，分別為，的中點.

(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.綜合考點綜合考點【考點一】等體積法【典例精講】（2023·甘肅定西·統考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．【變式訓練】1．（2023·四川·校聯考一模）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，平面平面，，，，.

(1)證明；；(2)求三棱錐的體積.2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，四棱臺的底面是菱形，且，平面，，，.

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.3．（2023·內蒙古呼和浩特·統考二模）如圖；在直三棱柱中，，，，點D為AB的中點．

(1)求證；(2)求三棱錐的體積．4．（2023·廣西·統考模擬預測）如圖，在四棱臺中，底面四邊形為菱形，，，平面.(1)證明：；(2)若是棱上一動點（含端點），求三棱錐的體積.【考點二】面面垂直的判定與性質【典例精講】（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）如圖，四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E為PD中點.

(1)證明：；(2)若F為棱PB上的點，求點F到平面ACE的距離.【變式訓練】1．（2023·全國·模擬預測）如圖，在圓臺中，上底面的半徑為1，下底面的半徑為3，母線長為3.在截面與截面中，，.

(1)求證：截面截面；(2)求四棱臺的體積.2．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內接正三角形，且邊長為，點在母線上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(3)若點為線段上的動點．當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離．3．（2023·海南·統考模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，將沿向上折起，使得平面與平面所成的銳二面角的平面角最大．

(1)求該幾何體中任意兩點間的距離的最大值；(2)若，垂足為，點是上一點，證明：平面平面．4．（2023·河南·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，分別是的中點，平面經過點，且與棱交于點．

(1)試用所學知識確定在棱上的位置；(2)若，求多面體的體積．【考點三】線面角幾何法【典例精講】（2023·全國·鎮海中學校聯考模擬預測）如圖，在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，，.

(1)證明：與平面的交點為的重心；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：面與面所成角的正切值為.【變式訓練】1．（2018·安徽·校聯考一模）如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，.(1)求的長度；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.2．（2023·海南海口·海南華僑中學校考二模）如圖，在多面體中，平面平面，底面是等腰直角三角形，，側面是正方形，平面，且，.

(1)證明：．(2)若是的中點，平面，求直線與平面所成角的正弦值．3．（2023·上海虹口·華東師范大學第一附屬中學校考三模）已知圓錐的頂點為S，底面圓心為O，半徑為2，母線SA?SB的長為，且M為線段AB的中點．

(1)證明：平面SOM平面SAB；(2)求直線SM與平面SOA所成角的正切值．4．（2023·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，且，，分別為，的中點．(1)證明：．(2)求與平面所成角的正弦值．【考點四】面面角幾何法【典例精講】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）如圖所示，已知三棱臺中，，，，，.

(1)求二面角的余弦值；(2)設分別是棱的中點，若平面，求棱臺的體積.參考公式：臺體的體積公式為.【變式訓練】一、解答題1．（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）如圖，在圓錐中，是底面的直徑，且，，，是的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值．2．（2023·陜西渭南·統考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面，是的中點．(1)求證：平面；(2)設正方形的邊長為，求側面與底面夾角的余弦值．3．（2023·陜西漢中·校聯考模擬預測）如圖，在三棱柱中，平面為正三角形，側面是邊長為2的正方形，為的中點.

(1)求證：平面平面；(2)取的中點，連接，求二面角的余弦值.4．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知三棱錐的四個頂點均在半徑為的球面上，且，，N為的中點．

(1)證明:平面(2)若M是線段上的點，且平面與平面的夾角為．求與平面所成角的正弦值．培優考點培優考點【考點一】動點、動直線問題【典例精講】（2022·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）如圖，在矩形中，，.四邊形為邊長為2的正方形，現將矩形沿過點的動直線翻折，使翻折后的點在平面上的射影落在直線上，若點在折痕上射影為，則的最小值為．【變式訓練】一、單選題1．（2023·江蘇鹽城·統考三模）動點在正方體從點開始沿表面運動，且與平面的距離保持不變，則動直線與平面所成角正弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021·河南鄭州·鄭州一中校考模擬預測）在正方體中，點在線段上，若直線與平面內的動直線所成角的最小值為，則A． B． C． D．二、多選題3．（2023·全國·東北師大附中校聯考模擬預測）已知正方體的棱長為，點，是棱，的中點，點是側面內運動（包含邊界），且與面所成角的正切值為，下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．存在點，使得C．存在點，使得平面 D．所有滿足條件的動線段形成的曲面面積為三、填空題4．（2023·河北石家莊·統考一模）長方體中，，平面與直線的交點為，現將繞旋轉一周，在旋轉過程中，動直線與底面內任一直線所成最小角記為，則的最大值是.【考點二】折疊問題【典例精講】（2023·廣東深圳·統考模擬預測）在正三角形中，、、分別是、、邊上的點，滿足：：：：如圖將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結如圖

(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的大小．【變式訓練】一、單選題1．（2023·山東·模擬預測）如圖1，在平面四邊形中，，當變化時，令對角線取到最大值，如圖2，此時將沿折起，在將開始折起到與平面重合的過程中，直線與所成角的余弦值的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯考三模）如圖，矩形中，為邊的中點，沿將折起，點折至處（平面），若為線段的中點，二面角大小為，直線與平面所成角為，則在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個位置，使得B．面積的最大值為C．當為銳角時，存在某個位置，使得D．三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為三、填空題3．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）如圖，菱形ABCD的邊長為2，.將沿AC折到PAC的位置，連接PD得三棱錐.①若三棱錐的體積為，則或3；②若平面PAC，則；③若M，N分別為AC，PD的中點，則平面PAB；④當時，三棱錐的外接球的體積為.其中所有正確結論的序號是.四、解答題4．（2019上·河北張家口·高三統考階段練習）如圖，等腰梯形中，，，，為中點，為中點.將沿折起到的位置，如圖．

(1)證明：平面；(2)若平面平面，求點到平面的距離．總結提升總結提升1.判斷空間線、面位置關系的常用方法(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題.(2)利用直線的方向向量、平面的法向量判斷.(3)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷.2.直線、平面平行的判定及其性質(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.3.直線、平面垂直的判定及其性質(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.4.解答折疊問題的關鍵是分清翻折前后圖形的位置和數量關系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決.專項專項檢測一、單選題1．（2023·黑龍江大慶·統考二模）已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則可以用來判斷的條件有（

）①，②，③，，④，，A．①② B．①③ C．②③ D．①④2．（2023·上海·統考模擬預測）如圖，在正方體中，點是線段上的動點，下列與始終異面的是（

）

A． B． C． D．3．（2023·河南·校聯考模擬預測）正三棱錐的各棱長均為2，D為的中點，M為的中點，E為上一點，且，平面交于點Q，則截面的面積為（

）

A． B． C． D．4．（2023·全國·模擬預測）在正方體中，點，，，分別為，，，的中點，則下列說法錯誤的是（

）A．平面平面 B．平面平面C． D．異面直線與所成角的余弦值為5．（2023·福建·校聯考模擬預測）在三棱錐中，為正三角形，點在底面投影為點，點在內（不含邊界），設二面角、、的大小分別為、、，，則的值為（

）A．1 B． C． D．無法確定6．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱上的動點（點不與點重合）．若，則下列說法正確的個數是（

）

①存在點，使得點到平面的距離為；②直線與所成角為；③平面；④用平行于平面的平面去截正方體，得到的截面為六邊形時，該六邊形周長一定為.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）在中，是邊的中點，是邊上的動點（不與重合），過點作的平行線交于點，將沿折起，點折起后的位置記為點，得到四棱錐，如圖所示.給出下列四個結論：

①平面；②不可能為等腰三角形；③存在點，使得；④當四棱錐的體積最大時，.其中所有正確結論的序號是（

）A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③8．（2022上·山東青島·高二青島二中校考期中）已知大小為的二面角棱上有兩點，，，，，，若，，，則的長為（）

A．22 B．49 C．7 D．二、多選題9．（2023·河南·校聯考模擬預測）如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體，且該八面體的各棱長均相等，則（

）

A．異面直線AE與BC所成的角為 B．C．平面平面CDE D．直線AE與平面BDE所成的角為10．（2023·山西呂梁·統考二模）已知正方體的棱長為4，為上靠近的四等分點，為上靠近的四等分點，為四邊形內一點（包含邊界），若平面，則下列結論正確的是（

）A．線段長度的最小值為 B．三棱錐的體積為定值C．平面 D