2014年第一學期《電磁場與電磁波》復習題_.已知矢量A=ex2+exy2+ez2，貝"V-A=2x+2xy+2z,注：SASA+—+SySAS^=2x+2xy+2z VxA=d.x Syx VxA=d.x Syx2xy2=e =ey2TOC\o"1-5"\h\zz Sx z.矢量A、B垂直的條件為A-B=0。.理想介質的電導率為o=0，理想導體的電導率為0-8，歐姆定理的微分形式為J=。E。.靜電場中電場強度E和電位中的關系為E=-Vp,此關系的理論依據為VxE=0；若已知電位_-T )p=2xy2+3z2,在點(1,1,1)處電場強度E=—e2+e4+e6<X y z；主：E；主：E=—Vp=—JSP-SP「SPe—+e—+e—、XSx ySy zSz)'=—e2y2+e4xy+e6z).恒定磁場中磁感應強度B和矢量磁位A的關系為B=VxA;此關系的理論依據為V?B=0。.通過求解電位微分方程可獲知靜電場的分布特性。靜電場電位泊松方程為V2P=-P/e，電位拉普拉斯方程為V2p=0。B1-B)=0和e.x」1一/「0。eeeB1-B)=0和e.x」1一/「0。eeej?-D2乙0;B、H邊界條件為：屋?空氣與介質(e=4)的分界面為z=o的平面，已知空氣中的電場強度為E=e+e2+e4，則介質r2 1xyz中的電場強度e=e+e2+e12 x y z_.主：因電場的切向分量連續，故有e=_+e2+-e，又電位移矢量的法向分量連續，即

2xyz2zex4=eeEnE=1所以E2=e+e2+11。TOC\o"1-5"\h\z■Xy z.有一磁導率為以半徑為a的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，柱外是空氣（之），則柱內半徑為p處磁感應強度B=eJ-；柱外半徑為P處磁感應強度B=e*。1 1 。2兀p 2 2 92^p\o"CurrentDocument"1 2.已知恒定磁場磁感應強度為B=ex+emy+e4z，則常數m=-5 。xy z注:因為V-B二竺^+竺^+竺^=0，所以1+m+4=0nm=—5。d.x dy dz.半徑為a的孤立導體球，在空氣中的電容為C0=4^/；若其置于空氣與介質(無)之間，球心位于分界面上，其等效電容為C1=2兀Q+￡ 。1 01解：(1)E義4兀r2=旦E=—--U=fEdr=Q,C=Q=4虺ar er4ker2 r 4虺a U00 0 a 0(2)D2兀r2+D2兀r2=Q,幺=D^,D=-(0Q、 ,D=—(1Q、,r 2r 8 8 1r 2兀匕 +8 %2 ' 2r 2兀匕 +8 %20 1 0 1 0 1E—E——f———4—,U=fEdr= - ,C=—=2兀(8+8)ar 2r 2兀9 +8 %2 1r 2兀(8+8 )a U0 10 1 a 0 1.已知導體材料磁導率為u，以該材料制成的長直導線單位長度的內自感為上。8兀.空間有兩個載流線圈，相互平行 放置時，互感最大；相互垂直放置時，互感最小。?兩夾角為aW⑺為整數）的導體平面間有一個點電荷q，則其鏡像電荷個數為（2n-1）.空間電場強度和電位移分別為E、D，則電場能量密度w『1E-De2.空氣中的電場強度E—e20cos（2兀t_kz），則空間位移電流密度J=—N4械sin（2兀[IdDdL注：JD————e208cos(2Kt-kz)——e40K8sin(2兀t-kz)(A/m2)。dt dtX0 注：JD.在無源區內，電場強度E的波動方程為V2E+k2E—0。c18.頻率為300MHz的均勻平面波在空氣中傳播，其波阻抗為120K（。）,波的傳播速度為

c33.0義108m/s)，波長為 1m ，相位常數為2兀(rad/m);當其進入對于理想介質信=c33.0義108m/s)，波長為 1m ，相位常數為2兀(rad/m);當其進入對于理想介質信=4,尸M0),在該介質中的波阻抗為60K(。)，傳播速度為1.5義108(m/s),波長為0.5m ,相位常數為4兀(rad/m)。注：有關關系式為1 J[波阻抗n=：—(Q)，相速度v= (m/s),1A=v,k=；(rad/m)e 四 九空氣或真空中，叩=120兀(Q),v=c氏3義108(m/s)。 ?19.已知平面波電場為E=E(e-je)e-赧，其極化方式為右旋圓極化波i0xy注：因為傳播方向為+z方向，且E=E，。=0，。二—xmymxK K—，40=。-0=--<0，故為右旋2 yx2圓極化波。20.已知空氣中平面波E(x,z)—eEe-j(6kx+8kz),則該平面波波矢量k—

ym3二3kx109(rad/s)，對應磁場H(x,z)——m—(6e+3e^)-j(6加+8兀z)(A/m)。解：因為kx+ky+kz=6兀x+8兀Z，所有k=6兀，k=0，k=8兀，k=i'k2+k2+k2=10K,xyz2K從而k―e6K+e8K 入————0.2(m),1—v—c―3x108(m/s),f=1.5x109(Hz),xz k3=2對=3兀義109(rad/s)。相伴的磁場是- 1, _ 1-- 1H——exE———kxE― nnnke(——m-—6e+3e600k xz120kx10kx)-j(6kx+8kz))6k+e8KxeEe-j(6kx+8kz)21海水的電導率。=4S/m相對介電常數e二21海水的電導率。=4S/m相對介電常數e解：因為4 72 1 =——<11 812KX1X109X X10-9X818136K所以現在應視為一般導體。

22.導電媒質中，電磁波的相速隨頻率變化的現象稱為小葭。23.頻率為f的均勻平面波在良導體（參數為。、小￡）中傳播，其衰減常數a=（加3，本征阻抗相位為兀/4，趨膚深度b=-L-。TOC\o"1-5"\h\z一 河324.均勻平面波從介質1向介質2垂直入射，反射系數「和透射系數T的關系為1+r=工。25.均勻平面波從空氣向￡=2.25,從=從的理想介質表面垂直入射，反射系數「二-0.2 ，在空氣r 0 中合成波為行駐波 ，駐波比5= 1.5，r=上'=—0.2，行駐波，n+n21解隼：“二"=120兀，r=上'=—0.2，行駐波，n+n211 0 2M2 、￡r2 '2251+1+rs=——1-26.均勻平面波從理想介質向理想導體表面垂直入射，反射系數r=-1，介質空間合成電磁波為駐波。.均勻平面波從理想介質1向理想介質2斜入射，其入射角為斗，反射角為er,折射角為斗，兩區的TOC\o"1-5"\h\z相位常數分別為I、k2,反射定律為6=8，折射定律為ksin6=ksin6。ri 1i2 1.均勻平面波從稠密媒質（、）向稀疏媒質⑸）以大于等于6=arcsin號斜入射，在分界面產生全反射，1 c_匕該角稱為臨界角；平行極化波以6=arctan:i2斜入射，在分界面產生全透射，該角稱為布儒斯特b 葭角。.TEM波的中文名稱為橫電磁波。.電偶極子是指幾何長度遠小于波長的載有等幅同相電流的線元 ，電偶極子的遠區場是指—kr?1或r>>九_。二．簡答題1．導電媒質和理想導體形成的邊界，電流線為何總是垂直于邊界？

（）c）TOC\o"1-5"\h\z答：在兩種不同導電媒質交界面兩側的邊界條件為e?J-J=0,exE-E=0，即j=Jn1 2 n1 2 1n 2nE11二E21，因此tan6 E/E o/J o 1=-1 1n-=-1 1n-=-1tan6 E/E o/J o2 2t2n2 2n2顯然，當。「8時，可推得62T0，即電流線垂直于邊界。2．寫出恒定磁場中的安培環路定律并說明：磁場是否為保守場？答：恒定磁場中的安培環路定律為JH?dl=\J?dS，由斯托克斯定理可得JH,dlJH,dl=JVxH,dS=JJ,dS，因此VxH=J不恒為零，故不是保守場。CS S3．電容是如何定義的？寫出計算雙導體電容的基本步驟。答：電容是導體系統的一種基本屬性，是描述導體系統儲存電荷能力的物理量。孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位j的比值；對于兩個帶等量異號電荷（士q）的導體組成的電容器，其電容為q與兩導體之間的電壓U之比。計算雙導體的步驟為：①根據導體的幾何形狀，選取合適的坐標系；②假定兩導體上分別帶電荷+q和-q；③根據假定的電荷求出E;④由U=J2E-dl求出電壓；⑤由C=q求出電容C.1U4．敘述靜態場解的惟一性定理，并簡要說明其重要意義。答：靜態場解的惟一性定理：在場域V的邊界面S上給定①或四的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在dn場域V具有惟一值。惟一性定理的重要意義：給出了靜態場邊值問題具有惟一解的條件；為靜態場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據；為求解結果的正確性提供了判據。5．什么是鏡像法？其理論依據是什么？如何確定鏡像電荷的分布？答：在適當的位置上，用虛設的電荷等效替代分布復雜的電荷的方法稱為鏡像法。鏡像法的理論依據是唯一性定理。鏡像法的原則為：①所有的鏡像電荷必須位于所求場域之外的空間中；②鏡像電荷的個數、位置及電

荷量的大小以滿足原邊界條件來確定。6．分別寫出麥克斯韋方程組的積分形式、微分形式并做簡要說明。答：積分形式：第一方程說明：磁場強度沿任意閉合曲線的環量，等于穿過以該JHJH.dl」J.dS+/吧.dSC s.sStJE.dl=-\SB.dSCsStJBds=0JD.dS=JpdV〔S V第二方程說明：電場強度沿任意閉合曲線的環量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意曲面的磁通量變化率的負值。第三方程說明：穿過任意閉合曲面的磁感應強度的通量恒等于0。第四方程說明：穿過任意閉合曲面的電位移的通量等于該閉合面包含的自由電荷的代數和。HHJSDVxHHHJSDVxH=J+ StEE SBVxE=-StV-B=0V-D=p第一方程對安培環路定理進行修正，表征電流與變化的電場都是磁場的漩渦源；第二方程為電磁感應定律，說明變化的磁場產生電場；第三方程說明磁場為無散場；第四方程說明電荷為電場的源。7．寫出坡印廷定理的積分形式并簡要說明其意義。答：坡印廷定理的積分形式為—— —d1—— 1—— ff-J(ExH)-dS=J(—E-D+—H-B)dV+JE-JdVs dtV2 2 V物理意義：單位時間內，通過曲面S進入體積V的電磁能量等于d^V中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。坡印廷定理是表征電磁能量守恒關系的定理。

—J(1E-DD+1山BB)dV——單位時間內體積V中所增加的電磁能量。dtv2 2JEJdV——時間內電場對體積V中的電流所作的功；在導電媒質中，即為體積V內總的損耗功率。—?率。—?—? —?（E義H）?dS通過曲面S進入體積V的電磁功率。8．什么是波的極化？說明極化分類及判斷規則。答：電磁波的極化是指在空間給定點處，電場矢量的端點隨時間變化的軌跡，分為線極化、圓極化和橢圓極化三類。電磁波的極化狀態取決于Ex和Ey的振幅Exm、Eym和相位差D^^By-^x,對于沿+z方向傳播的均勻平面波：線極化：D①=0、±p,D①=0,在1、3象限，D①=±p，在2、4象限；圓極化：Exm=Eym,Db=±p/2,取“+”，左旋圓極化，取“-”，右旋圓極化；橢圓極化：其它情況，D①>0,左旋，D①<0,右旋。9．分別定性說明均勻平面波在理想介質中、導電媒質中的傳播特性。答：均勻平面波在理想介質中的傳播特性：①電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波；②電場與磁場振幅不衰減；③波阻抗為實數，電場磁場同相位；④電磁波的相速與頻率無關，無色散；⑤平均磁場能量密度等于平均電場能量密度。均勻平面波在導電媒質中的傳播特性：①電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波；②電場與磁場振幅呈指數衰減；③波阻抗為復數，電場與磁場不同相位；④電磁波的相速與頻率有關，有色散；⑤平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。.簡要說明行波、駐波、行駐波之間的區別。答：行波是其振幅不變的波，反射系數「二。，駐波系數s=1；駐波的振幅有零點（駐點），在空間沒有移動，只是在原來的位置振動，反射系數|r1=1,駐波系數s=8；而行駐波則是其振幅在最大值和不為零的最小值之間變化，反射系數o<ir|<1,駐波系數1<s<8。.簡要說明電偶極子遠區場的特性。答：電偶極子遠區場的特性：①遠區場是橫電磁波，電場、磁場和傳播方向相互垂直；②遠區場電場與磁場振幅比等于媒質的本征阻抗；③遠區場是胴均勻球面波，電磁場振幅與1/r成正比；④遠區場具有方向性，按sine變化。三、分析計算題①=0p<a1.電場中有一半徑為a的圓柱體，已知圓柱體內、外的電位函數為：J1a2①=A（p ）cos^ p>a[2P求①圓柱體內、外的電場強度；②柱表面電荷密度。（提示：柱坐標vu=e至+e巴+石電）pdp 巾p加 z&解：①圓柱體內的電場強度為E=—Vp=01 1圓柱體外的電場強度為

②柱表面電荷密度為5(p-e——2-l②柱表面電荷密度為5(p-e——2-lpdp=—eA1+p〃2P27+e——2-+e。p5(pzcosd)+e.A1-

*P2；&)sin。ps2-5)2 1ps2-5)2 1p=ae-￡E7=-2Acosd)P0 2p=q.同心球形電容器的內導體半徑為a、外導體半徑為b,其間填充介電常數為的勺均勻介質。已知內導體球均勻攜帶電荷q。求：①介質內的電場強度E②該球形電容器的電容。解：①高斯定理q三-____,E=e471r解：①高斯定理q三-____,E=e471r2 r右（3分）②內外導體間電壓：U=\bEdr=aU=\bEdr=a47Eabb-a4718ab由電容的定義C= ，得到Ub-a.空氣中有一磁導率為以半徑為a的無限長均勻導體圓柱，其軸線方向電流強度為I,求圓柱內外的磁感應強度B和磁場強度Ho解：由J〃.㈤=/可得圓柱內外的磁場強度都是H—e *271P而圓柱內外磁感應強度是02沖rI0-02中4.矩形線圈長與寬分別為a、b，與電流為i的長直導線放置在同一平面上，最短距離為d，如圖。①已知i=I，求：長直導線產生的磁場；線圈與導線間的互感。②已知導線電流i(t)=I0cos3t,求：導線產生的磁場；線圈中的感應電動勢。解：①電流i=I產生的磁場:-_NIB=e o—02邛穿過矩形線圈的磁通量是dfbN1Nd+b

o—?adp=—o—In 2陰 2兀 dd故線圈與導線間的互感為￥ Na、d+b—=—o—In I 2兀d②導線電流i(t)=I0COS3t產生的磁場：=e o_o_cos3t02Kp穿過矩形線圈的磁通量是￥=JB.dS=d『Ucos3t.adp=NLalnjcos3t

2印 2兀 d

線圈中的感應電動勢線圈中的感應電動勢? 3￥ d+b8=- =00 ln sincotdt 2兀 d上式中約定感應電動勢的方向是順時針。5.一點電荷q放置在無限大的導體平面附近，高度為h。已知空間介質的相對介電常數4二2，求①點電荷q受到的電場力；②高度為4h的P點的電場強度與電位。解：鏡像法，確定鏡像電荷q’的位置如圖和大小q’=-q。q4兀q4兀8(4h一h)2

0一q4兀8(4h+h)20一4q=e y225兀8h20q 一q qp=p+p= + + = = 1 2 4兀8(4h一h) 4兀8(4h+h) 30兀8h0 0 06.已知半徑為a的導體球帶電荷量為Q，距離該球球心f=4a處有一點電荷q,求q受到的電場力。則q受到的電場力為Q+(—q/)也「F=e +eqx 4K8f2 x04的(fQ+(—q/)也「F=e +eqx 4K8f2 x04的(f-d/)2Qq31q264的a257600K8a27海水的電導率。=45m相對介電常數8=81。設海水中電場大小為E=Ecos3t求頻率f=1MHz時，①海水中的傳導電流密度J；②海水中的位移電流密度JD。J=oE=4Ecos3t解：① mD=8E=88Ecos①斤=818Ecos①看0mad __ . 1——=—818E3sin3t=-81x x10-9x2kx1x106Esin3t=-1.458Esin3t36兀8'在理想介質(8=225,日=1)中均勻平面波電場強度瞬時值為：E(z,t)=e40cos(3t-kz)。已知x該平面波頻率為10GHz，求：①該平面波的傳播方向、角頻率、波長、波數k;②電場強度復矢量；③磁場強度瞬時值；④平均能流密度矢量S。av解：①傳播方向：+z；3=2對=2兀義10x109=2兀*1010(rad/s);.一口8 J口88J’800r r- r3x108 v2x108—=2x108；K=一= =0.02(m)<2.25 f10x109,2兀 2兀k=--= =100K(rad/m)o入0.02②E(z)=ex40e-jkz(V/m)③”=r\,8串：口

= !限=120K=80兀(。)，弋8 %，225rr、 1?小、,40 1 /一、H(z)=—exE(z)=e e—jkz=e—e—jkz(A/m)?nz y80K y2K ；-/、 .1 / H(z,t)=ecos(3t—kz)(A/m)y2兀ReEx甘2ReEx甘2Ree40e-jkzxeXL-j/*y2兀 7f10/,、-eW/m2)z兀9.已知自由空間中均勻平面波磁場強度瞬時值為：—cos[3t-兀(3x+4z)]A/m,求①y39.已知自由空間中均勻平面波磁場強度瞬時值為：該平面波角頻率3、頻率f、波長②電場、磁場強度復矢量③瞬時坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。角隼：①kx+ky+kz=3兀X+4兀z；k=3兀，k=0,k=4兀；一匚 — 2 兀 ? 2兀….、k—:k2+k2+k2-(3兀)2+(4兀)2-5兀(rad/m);k-,入-——-0.4(m)'Xyz 九 kc分-v-c（因是自由空間），f-Y人3義108-7.5x108(Hz);3-2對-15c分-v-c（因是自由空間），f-Y人②H(x,z)-e—e-j兀(3x+4z)(A/m)；y3兀~/ 、— —■7/ 、k 1 e3兀+e4兀E(x,z)="H(x,z)xe="H(x,z)x--120Kxe——e-j兀(3x+4z)x jn k y3兀 5兀-(e32-e24)e-j兀(3X+4z)(V/m)③E(x,z,t)-e32-③E(x,z,t)-e32-e24"cos—兀(3x+4z)](V/m)XH(X,z,t)=e—y3p-cos[wt-兀(3X+4z)](A/m)32-e24losbt-兀(3X+X z13k24+e3210s23t-兀(3x+X zXe_Lcos[3t-兀(3X+4z)]y3兀(W/m2)一) —132—e24e-j冗(3x+4z),H(x,z)-ee-j兀(3X+4z)Xz y3兀S-^RelEXH

av2k1=—Re

2”j) 「-32-e24e-j兀(3x+4z)xeX z1 e-j兀(3X+4z)y3兀24+e32?W/m2)

X z10.均勻平面波從空氣垂直入射到某介質（a*0，尸u0）,空氣中駐波比為3，分界面為合成電場最小點，求該介質的介電常數LS-13-1，ri=在I=371-0.5；分界面為合成電場最小點,r<0，r--0.5

1—c81—c8 r.1+V8r=—0.5,8eEe-淞,由z<0區域垂直入射于2>=0區域的理想介質中，已知該理想介質與二4"印0，求①反射波的電場強度、磁場強度；②透射波電場強度、磁場強度。③z<0區域合成波的電場強度、磁場強度并說明其性質。-E二e—-E二e—0e—jPzyn0解：①，H=—exeEe—jPz解：①inzx00n1，n2—n1，n2—n—1+n1n.—n20石202n 2+n01_rEejP1_rEejPz=—e EejPz0 x301 1 1= (—e)xE=—(—e)nzr0'—eIE——0—ejPz360兀=2p1/=——(e)xEnz1/=——(e)xEnz21 /■X=—(e.)xE―0-e—j2Pz90k=eEe—jPz

x0—exE-e-ejPz3=exE0e一祁zeEx01ejpz32e—jPz一3—cosPz3120K120K3e—j—jpz+—ejpzE-E-E——0—e—jPz+e——0—ejPz=e——0120k y360k y120k22—e—jPz+j—sinPz120k3 3

.—— 1+r1+o