易錯點14統計與統計案例

易錯題［oil利用隨機數表確定樣本忘記去掉重復數字

抽簽法和隨機數表法都是簡單隨機抽樣的方法，但是抽簽法適合在總體和樣本都較少，容易

攪拌均勻時使用，而隨機數表法除了適合總體和樣本都較少的情況外，還適用于總體較多但

是需要的樣本較少的情況，這時利用隨機數表法能夠快速地完成抽樣.在使用隨機數法時，

如遇到三位數或四位數，可從選擇的隨機數表中的某行某列的數字計起，每三個或四個作為一個

單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍去.

易錯題［02］對頻率分步直方圖理解不準確致誤

1.解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點

(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.

(2)直方圖中縱軸表示磊，故每組樣本的頻率為組距x磊,即矩形的面積.

(3)直方圖中每組樣本的頻數為頻率x總體數.

2.用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數的方法

(1)眾數為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點橫坐標；

(2)中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；

(3)平均數等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和。

易錯題【03】求回歸直線方程計算錯誤

1.回歸直線方程

(1)通過求Q=*(y-。一4七)2的最小值而得出回歸直線的方法，即使得樣本數據的點到

1=\

回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.該式取最小值時的a,夕的值即分

別為，，b.

(2)兩個具有線性相關關系的變量的一組數據：(石，,)，(々，%)，…，(Z，券)，其回歸方

￡(毛一君(方一刃

"b=-------------------=---------------

程為正法+a,則￡(%-守2x”應2

1=11=1

a=y-bx

2.求回歸直線方程運算量一般比較大，求解時運算要格外細心，防止運算失分，此外還要注

意題中有無參考數據，防止重復運算。

易錯題【04】求解獨立性檢驗問題對K?的值理解不準確

（1）像下表所示列出兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表.假設有兩個分類變量x和丫，它

們的可能取值分別為（％,々）和（,，火），其樣本頻數列聯表（稱為2x2列聯表）為

yiy2總計

芍aba+b

X2cdc+d

總計a+cb+da+h+c+d

（2）對2X2列聯表的說明

在2X2列聯表中,如果兩個分類變量沒有關系，則應滿足ad-bcY）,因此|ad-bc|越小,關系越

弱;|ad-bc|越大，關系越強.

（3）構造一■個隨機變量K?-----「"（"IJ，）------,其中”=a+8+c+d為樣本

［a+b）（c+d）［a+c）［b+d）

容量.如果K2的觀測值左./0，就認為“兩個分類變量之間有關系“；否則就認為“兩個分類

變量之間沒有關系我們稱這樣的幻為一個判斷規則的臨界值.按照上述規則，把“兩個

分類變量之間沒有關系”錯誤地判斷為“兩個分類變量之間有關系”的概率不超過

2

P（K..kn）.上面這種利用隨機變量K?來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢

驗.

易錯題01

某工廠為了對40個零件進行抽樣調查，將其編號為00,01,…38,39.現要從中選出5個,利用下

面的隨機數表，從第一行第3列開始，由左至右依次讀取，選出來的第5個零件編號是（）

064743738636964736614698637162332616804560111410

957774246762428114572042533237322707360751245179

A.36B.16C.11D.14

【警示】前面有2個36,忽略去掉重復數字，誤選B

【答案】C

【問診】從第一行第3列開始，由左至由一次讀取，即47開始讀取,在編號范圍內的提取出來,

可得36,33,26,16,11.則選出來的第5個零件編號是11.故選C.

【叮囑】在使用隨機數法時，要注意把超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍去.

支式練習）〉

1.天氣預報說，在今后的三天中，每三天下雨的情況不完全相同，每一天下雨的概率均為

40%.現采用隨機模擬試驗的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率：用1,2,3,4表示

下雨，從下列隨機數表的第1行第2列開始讀取直到末尾從而獲得N個數據.據此估計，

這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（）

19079661919252719328124585691916

83431257393027556488730113537989

A.—B.-C.—D.不確定

2373

【答案】B

【解析】每3個數為-組讀取，則有：907,966,191,925,271,932,812,458,569,

191,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989共21組數據，其中滿足

條件的有191,271,932,812,191,393共有6組，.?.這三天中恰有兩天下南的概率近似

2

為,?故選B

2.（2021屆江西省贛州市高三二模）某口罩生產工廠為了了解口罩的質量，現利用隨機數表對

生產的50只口罩進行抽樣檢測，先將50個零件進行編號為01,02,03,50,從中抽

取10個樣本，下圖提供隨機數表的第2行到第4行，若從表中第3行第4列開始向右讀取

數據，則得到的第5個樣本編號是.

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421553313457860136253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

【答案】28.

【解析】從表中第3行第4列開始向右讀取數據，依次為：21,33,13,45,28,所以得到的第

5個樣本編號是28

易錯題02

（2017年高考數學課標H卷理科）（12分）淡水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的

產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）某頻率直

方圖如下：

付率/出即

ks03540455055M>6570Ri*

(1)設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件：舊養殖法的箱產量低于50kg,新養

殖法的箱產量不低于50kg,估計A的概率;

(2)填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關:

箱產量V50kg箱產量至0kg

舊養殖法

新養殖法

(3)根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值(精確到0.01)

0.0500.0100.001

n(ad-be)2

k3.8416.63510.828

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【警示】本題出錯主要原因是把高看作頻率，導致運算錯誤

【問診】(I)舊養殖法的箱產量低于50kg的頻率為

0.012x5+0.014x5+0.024x5+0.034x5+0.040x5=0.62,由于兩種養殖方法的箱產量相

互獨立，

于是P(A)=0.62x0.66=0.4092

(H)舊養殖法的箱產量低于50kg的有100x0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新養殖法

的箱產量不低于50kg的有100x0.66=66箱，低于50kg的有34箱,得到2x2列聯表如下:

箱產量<50kg箱產量N50kg合計

舊養殖法6238100

新養殖法3466100

合計96104200

一一“2200x(62x66-34x38)21225

所以K-=--------------------------------—=-------?15.705

96x104x100x10078

K2>6.635,所以有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關。

(HI)根據箱產量的頻率分布直方圖，新養殖法的箱產量不低于50kg的頻率為

0.038x5+0.046x5+0.010x5+0.008x5=0.66>0.50,不低于55kg的頻率為

0.046x5+0.010x5+0.008x5=0.32<0.50,于是新養殖法箱產量的中位數介于50kg到

55kg之間，設新養殖法箱產量的中位數為x,則有

（55-x）x0.068+0.046x5+0.010x5+0.008x5=0.50

解得x=52.3529因此，新養殖法箱產量的中位數的估計值52.35。

【叮囑】頻率分別直方圖中矩形的高是整，矩形的面積表示頻率

組距

支式練習〉）

1.（2022屆江蘇省南京市高三上學期期中）從某小區抽取100戶居民進行月用電量調查，發

現其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示.在這些用戶中，用電量落在區

間［150,250）內的戶數為（）

D.70

【答案】B

【解析】由頻率分布直方圖的性質，可得

（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）x50=1,

解得x=0.0044,

所以用電量落在區間［150,250）內的頻率為（0.0060+0.（X）44）x50=0.52,

用電量落在區間［150,250）內的戶數為100x0.52=52戶.故選C.

2.（2022屆廣東省茂名市五校聯盟高三上學期聯考）2021年9月以來，多地限電的話題備受

關注，廣東省能源局和廣東電網有限責任公司聯合發布《致全省電力用戶有序用電、節約用

電倡議書》，目的在于引導大家如何有序節約用電.某市電力公司為了讓居民節約用電，采用

“階梯電價''的方法計算電價，每戶居民每月用電量不超過標準用電量口千瓦時）時，按平價

計費，每月用電量超過標準電量千瓦時）時，超過部分按議價計費.隨機抽取了100戶居民

月均用電量情況，已知每戶居民月均用電量均不超過450度，將數據按照[0,50),[50,100),…

[400,450]分成9組，制成了頻率分布直方圖(如圖所示).

(1)求直方圖中機的值；

(2)如果該市電力公司希望使85%的居民每月均能享受平價電費，請估計每月的用電量標準x

(千瓦時)的值；

(3)在用電量不小于350(千瓦時)的居民樣本中隨機抽取4戶，若其中不小于400(千瓦時)的有

X戶居民，求X的分布列.

【解析】(1)由題得50x(0.0008+0.0016+0.0040+0.0052+0.0012+0.0008+0.0004+2⑼=1

解得加=().(X)3().所以直方圖中機的值為〃?=().(X)30.

(2)由頻率分布直方圖得月均用電量小于250(千瓦時)的居民家庭所占百分比為：

50x(0.0008+0.0016+0.0030+0.0040+0.0052)=0.73,

同理，88%的居民用電量小于300(千瓦時)

所以250Vx<300,

所以0.73+(x-250)x0.0030=0.85,解得x=290(千瓦時).

所以若使85%的居民每月均能享受平價電費，請估計每月的用電量標準290(千瓦時)的值

(3)根據頻率分布直方圖，樣本中用電量不小于350(千瓦時)的居民共有

(0.0008+0.0004)x50x100=6(戶)，

不小于400(千瓦時)的有X戶居民0.0004x50x100=2(戶)，

所以隨機變量X的可能取值為01,2,

P—。)系心尸=等小=管士|,

所以隨機變量X的分布列為：

X012

182

p

1515I

易錯題03

（2020年高考數學課標II卷理科）某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物

數量有所增加.為調查該地區某種野生動物數量，將其分成面積相近的200個地塊，從這

些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區，調查得到樣本數據（如y）（i=l,2,

20）,其中X,和y,?分別表示第i個樣區的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數量,

20202020

并計算得?>,=60,Z“=1200,￡(七一君2=80,Z(K—刃2=9000,

i=li=li=li=l

20

Z(七一元)(y,—歹)=800.

i=l

（1）求該地區這種野生動物數量的估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物

數量的平均數乘以地塊數）；

（2）求樣本⑶，2,20）的相關系數（精確到0.01）；

（3）根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地

區這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

f（玉-亍）（％-9）

附：相關系數片不^.414.

叵（毛―元茂方

V/-=!/=1

【警示】求解本題失分的一個主要原因是運算失誤，二是沒有注意題中提供數據，重復計數,

導致時間不夠用

1201

【答案】⑴樣區野生動物平均數為/\＞，=而＞1200=60,

地塊數為200,該地區這種野生動物的估計值為200x60=12000

（2）樣本（七,乂）《=1,2,20）的相關系數為

20

Z(x,-幻(y-刃,8。。=迪=0.94

==20'

780x90003

￡(X,.-X)2￡(J,.-7)2

V/=1i=\

(3)由(2)知各樣區的這種野生動物的數量與植物覆蓋面積有很強的正相關性，

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構得以執行，提高了樣本的代表性，

從而可以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計.

【叮囑】求解回歸分析問題一般方法容易尋找，基本是代入公式求解，故一定要注意運算的

準確性。

變式練習

1.某品牌汽車4s店對2021年該市前幾個月的汽車成交量進行統計，用》表示2021年第x月

份該店汽車成交量，得到統計表格如表：

1234567

必28323545495260

(1)求出y關于X的線性回歸方程?=寶+右，并預測該店8月份的成交量；(&,。精確到整

數)

(2)該店為增加業績，決定針對汽車成交客戶開展抽獎活動，獎項設“一等獎”、“二等獎''和"祝

您平安”三種，若抽中“一等獎'’獲5千元獎金；抽中“二等獎”獲2千元獎金；抽中“祝您平安”

則沒有獎金.已知一次抽獎活動中獲得“二等獎”的概率為g,沒有獲得獎金的概率為現

有甲、乙兩個客戶參與抽獎活動，假設他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲獎金總額X(千

元)的分布列及數學期望.

7￡(若一工)(y-沙

參考數據及公式：Z(X,-T)(Y-5)=150,3=^F----------------,a=y-bx.

I之(一)2

i=l

■An&L■,ctH+_1+2+3+4+5+6+7

【解析】(1)由題意可得，-v=---------------------------=4,

_28+32+35+45+49+52+60C

y=---------------------------------------=43,

^'一')150人-150

/.b=-----------------=—?5,a=y-bx=43-------x4。21.57*22,

2828

i=l

故線性回歸方程為9=5X+22,

當x=8時，夕=5x8+22=62,

故預計8月份的成交量為62輛.

⑵獲得“一等獎”的概率為1-=：，

326

X的所有可能取值為0,2,4,5,7,10,

P(X=0)=—x—=P(X=2)=—x—+—x—=—,

22432233

p(X=4)=-x-=-,P(X=5)=LWLL

33926626

P(X=7)=—x—+—x—=—,P(X=10)=—x—=—,

633696636

故X的分布列為:

X0245710

j_1111

p

4396936

故E(X)=0x；+2xg+4xg+5x\+7x]10x*3.

2.（2022屆陜西省商洛市高三上學期聯考）一機器按不同的速率運轉，其生產的產品中均可

能出現次品，每小時生產的產品中含有的次品數（單位：件）隨機器運轉速率的變化而變化,

用x表示轉速（單位：轉/秒），用y表示每小時生產的產品中含有的次品數，現得到關于（x,y）

的四組數據如下表:

X46810

y2356

⑴求每小時生產的產品中含有的次品數y關于機器運轉速率x的回歸方程￥=匹+機

（2）若實際生產中所容許的每小時生產的產品中含有的次品數不超過11件，則機器的運轉速

率不得超過多少轉/秒？

〃__

參考公式：線性回歸方程是學=院+機其中八月-----—,%=》-荻.

Yxf-nx

i=l

-1-1

【解析】⑴由表中數據可得X=W(4+6+8+10)=7,y=*(2+3+5+6)=4,

4_

=4x2+6x3+8x5+10x6-4x7x4=14,

/=1

4

=42+62+82+102-4x72=20,

劃

所以人與--------=—=0.1,

Zf20

三I

所以a=i-江=4-0.7x7=-0.9.

所以y關于x的線性回歸方程為§=0.7X-0.9.

(2)由y=0.7x-0.9Wll,得xW牛，即E7,

即機器的運轉速率不得超過17轉/秒.

易錯題04

(2021年高考全國甲卷理科)甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級

品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況

統計如下表：

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【警示】根據K2>6.635,得出沒有有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有

差異，是本題失分主要原因

【問診】對岸理解不準確，導致判斷失誤，

【答案】（I）甲機床生產的產品中的一級品的頻率為受=75%,

200

120

乙機床生產的產品中的一級品的頻率為——=60%.

200

⑵4009gx8匕1吵5嘰理〉心6635.

270x130x200x20039

故能有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有差異.

【叮囑】在實際問題中，獨立性檢驗的結論僅是一種數學關系表述，得到的結論有一定的概率

出錯.在利用2x2列聯表計算K?的值之前，先假設兩個分類變量是無關的，最后再利用心的

值的大小對二者關系進行含概率的判斷

變式練習

1.（2020年高考數學課標III卷理科）某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質

量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到下表（單位：天）:

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,6001

空氣質量等級

1（優）21625

2(良)51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代

表）；

（3）若某天的空氣質量等級為1或2,則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或

4,則稱這天“空氣質量不好根據所給數據，完成下面的2x2列聯表，并根據列聯表，判

斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？

人次“00人次＞400

空氣質量好

空氣質量不好

n(ad-bc)2

附:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K*)0.0500.0100.001

k38416.63510.828

【解析】(1)由頻數分布表可知，該市一天的空氣質量等級為1的概率為"3士”=0.43,

100

等級為2的概率為5+10+12=O.27,等級為3的概率為9+7+8=0.21,等級為4的概

100100

率為需=°。9；

(2)由頻數分布表uj■知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數為

100x20+300x35+500x45…

---------------------------=350

100

(3)2x2列聯表如下:

人次4400人次＞400

空氣質量不好3337

空氣質量好228

K?_100x(33x8-37x22/

?5.820>3.841-

55x45x70x30

因此，有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.

2.(2022屆廣西玉林市、貴港市高三12月模擬)2021年8月份，義務教育階段“雙減”政策出

臺，某小學在課后延時服務開設音樂、科技、體育等特色課程，為進一步了解學生選課的情

況，隨機選取了200人進行調查問卷，整理數據后獲得如下統計表：

喜歡體育不喜歡體育

已選體育課（A組）7525

未選體育課（8組）4555

（1）若從樣本內喜歡體育的120人中用分層抽樣方法隨機抽取16人，問應在A組、B組各抽

取多少人？

（2）能否有99.5%的把握認為選報體育延時課與喜歡體育有關？

附：

P（K2>k）0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

K2二n（ad-bcf

（。+b）（c+d）（。+c）（b+d）

【解析】（1）依題意，分層抽樣的抽樣比為首=2,則有75x2=10,45x2=6,

所以在A組中抽取10人，在B組中抽取6人.

（2）依題意,2x2列聯表為:

喜歡體育不喜歡體育合計

已選體育課（A組）7525100

未選體育課（B組）4555100

合計12080200

于是得六的觀測值：小詈蒜—*.75>7.879,

所以有99.5%的把握認為選報體育延時課與喜歡體育有關.

易錯題通關

1.（2022屆云南省師范大學附屬中學高三高考適應性月考）某公司利用隨機數表對生產的900

支乙肝疫苗進行抽樣測試，先將疫苗按000,001,899進行編號，從中抽取90個樣本，

若選定從第4行第4列的數開始向右讀數，（下面摘取了隨機數表中的第3行至第5行），根

據下圖，讀出的第5個數的編號是（）

16766227665650267107329079785313553858598897541410

12568599269696682731050372931557121014218826498176

55595635643854824622316243099006184432532383013030

A.827B.310C.503D.729

【答案】C

【解析】從表中第4行第4列開始向右讀取分別為

685,992（舍），696,966（舍），827,310,503,第5個數為503,

故選C.

2.（2022屆天津市第一零二中學高三上學期期中）某高校調查了400名學生每周的自習時間

（單位：小時），制成了下圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本

數據分組為[17.5,20],（20,22.5],（22.5,25],（25,27.5],（27.5,30].根據直方圖這400名

學生中每周的自習時間不足22.5小時的人數是（）

A.90B.130C.250D.60

【答案】A

【解析】求出每周的自習時間不足22.5小時所占的頻率/=（0.02+0.07）x2.5=0.225,人數

M=400x0.225=90,故選A.

3.某校為了解學生體能素質，隨機抽取了50名學生，進行體能測試.并將這50名學生成績

整理得如下頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖.下列結論中不正確的是（）

A.這50名學生中成績在［80,100］內的人數占比為20%

B.這50名學生中成績在［60,80)內的人數有26人

C.這50名學生成績的中位數為70

D.這50名學生的平均成績［=68.2(同一組中的數據用該組區間的中點值做代表)

【答案】C

【解析】根據此頻率分布直方圖，成績在［80,100］內的頻率為(0.008+0.012)x10=0.20,所

以A正確；這50名學生中成績在［60,80)內的人數為(0.032+0.020)x10x50=26,所以B正

確；根據此頻率分布直方圖，(0.008+0.02)x10=0.28<0.5,

(0.008+0.02+0.032)x10=0.6>0.5,可得這50名學生成績的中位數?60,70),所以C錯誤

；根據頻率分布直方圖的平均數的計算公式，可得：

1=45x0.08+55x0.2+65x0.32+75x0.2+85x0.12+95x0.08=68.2，所以D正確.

故選C.

4.隨著國家二孩政策的全面放開，為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機

構用簡單隨機抽樣方法從不同地區調查了100位育齡婦女，結果如下表.

非一線一線總計

愿生452065

不愿生132235

總計5842100

計算得，K1?9.616.

參照下表，

川片4)0.0500.0100.001

島3.8416.63510.828

下列結論正確的是()

A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“生育意愿與城市級別有關”

B.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“生育意愿與城市級別無關”

C.有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”

D.有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”

【答案】C

【解析】因為9.616>6.635,所以有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”,

故選項A、B、D不正確，故選C.

5.某醫療機構通過抽樣調查（樣本容量”=1000）,利用2x2列聯表和K?統計量研究患肺病是

否與吸煙有關.計算得六=4.453,經查對臨界值表知產（KL3.841）=0.05,現給出四個結論,

其中正確的是（）

A.在100個吸煙的人中約有95個人患肺病

B.若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病

C.有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關”

D.只有5%的把握認為“患肺病與吸煙有關”

【答案】C

【解析】計算得K2=4.453,經查對臨界值表知K2..3.841）?0.05,

.,.有1-0.05=95%的把握說患肺病與吸煙有關，故選C.

6.（2022屆廣東省江門市高三上學期10月月考）在樣本頻率分布直方圖中，共有5個小矩形，

已知落在最中間這組的頻數是20,且最中間位置的小矩形的面積是其余小矩形面積之和的

7,則這個樣本容量是___________

4

【答案】100

【解析】設最中間位置的小矩形的面積為5,則S=!（l-S）,得S=:，即最中間這組的頻

45

20_

率為：頻數是20,...樣本容量是T=10°

5?

7.2020年12月31日，國務院聯防聯控機制發布，國藥集團中國生物的新型冠狀病毒滅活

疫苗已獲國家藥監局批準附條件上市.在新型冠狀病毒疫苗研發過程中，需要利用基因編輯

小鼠進行動物實驗.現隨機抽取100只基因編輯小鼠對某種新型冠狀病毒疫苗進行實驗，得

到如下2x2列聯表（部分數據缺失）：

被新型冠狀病毒感染未被新型冠狀病毒感染合計

注射疫苗1050

未注射疫苗3050

合計30100

計算可知，在犯錯誤的概率最多不超過的前提下，可認為“給基因編輯小鼠注射該種

疫苗能起到預防新型冠狀病毒感染的效果”.

富f八八2n(ad-bc)2

參考公式：X=/.,n-a+b+c+d.

(a+b)v(c+d)(a+c)(b+d)

pQ%)0.100.050.0250.0100.0050.001

%2.7063.4815.0246.6357.87910.828

【答案】0.05%

【解析】完善2x2列聯表如下：

被新型冠狀病毒感染未被新型冠狀病毒感染合計

注射疫苗104050

未注射疫苗203050

合計3070100

百位,n(ad-bc)2100x(10x30-40x20)2--修-

因為力2=-----------1---------乙--------=----------------------L工4.762,3.841<4.762<5.024所

(〃+h)(c+d)(a+c)(h+d)30x70x50x50

以在犯錯誤的概率最多不超過0.05的前提下，可認為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到

預防新型冠狀病毒感染的效果

8.為保障食品安全，某地食品監管部門對轄區內甲、乙兩家食品企業進行檢查，分別從這兩

家企業生產的某種同類產品中隨機抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項關鍵質量指標值

為檢測依據.已知該質量指標值對應的產品等級如下：

L15,[25,[35,

質量指標值[20,25)[30,35)[40,45]

20)30)40)

等級次品二等品一等品二等品三等品次品

根據質量指標值的分組，統計得到了甲企業的樣本頻率分布直方圖和乙企業的樣本頻數分布

表（如下面表，其中。＞0）.

質量指標

頻數

值

[15,20)2

[20,25)18

[25,30)48

[30,35)14

[35,40)16

[40,45]2

合計100

(1)現從甲企業生產的產品中任取一件，試估計該件產品為次品的概率；

(2)為守法經營、提高利潤，乙企業將所有次品銷毀，并將一、二、三等品的售價分別定為120

元、90元、60元.一名顧客隨機購買了乙企業銷售的2件該食品，記其支付費用為X元，用頻

率估計概率，求X的分布列和數學期望；

(3)根據圖表數據，請自定標準，對甲、乙兩企業食品質量的優劣情況進行比較.

【解析】(1)^(?+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080)x5=1,

解得a=0.008,

所以甲企業的樣本中次品的頻率為(K0.020)x5=0.14,

即從甲企業生產的產品中任取一件，該件產品為次品的概率是0.14；

(2)由圖表知，乙企業在100件樣本中合格品有96件，則一等品的概率為2=:，

962

二等品的概率為竺署=1三等品的概率為￡

963966

由題意知，隨機變量X的可能取值為：120,150,180,210,240；

且尸(X=120)=，x[=上，P(X=150)=C>lxl=lP(X=180)=C^xlxl+lxl=A>

6636369263318

P(X=210)=C1X-!-X-=1,P(X=240)=-xl=l,

233224

??.隨機變量X的分布列為:

X120150180210240

15J_

P

3691834

所以X的數學期望為E(X)=120W+150X\+180X[+210X1+240：=200；

369lo34

(3)答案不唯一，參考如下：

①以產品的合格率(非次品的占有率)為標準，對甲、乙兩家企業的食品質量進行比較，

由圖表可知，甲企業產品的合格率約為0.86,乙企業產品的合格率約為0.96,即乙企業產品

的合格率高于甲企業產品的合格率，

所以認為乙企業的食品生產質量更高.

②以產品次品率為標準，對甲、乙兩家企業的食品質量進行比較也可得出結論.

③以產品中一等品的概率為標準，對甲、乙兩家企業的食品質量進行比較，根據圖表可知，

甲企業產品中一等品的概率約為0.4,

乙企業產品中一等品的概率約為0.48,即一企業產品中一等品的概率高于甲企業產品中一等

品的概率，

所以乙企業的食品生產質量更高.

④根據第(2)問的定價，計算購買一件產品費用的數學期望，從而比較甲、乙兩個企業產品的

優劣.

9.(2022屆陜西省西安市高三上學期模擬)某高校數學系為了控制大一學生上課使用手機，

針對上課使用手機情況，進行量化比，若發現上課使用手機則扣除其對應的積分，根據調查

發現每次被扣分數與本系一大學生每周上課使用手機人數的關系如下表所示：

每次被扣分數M單位：分)025810

每周上課使用手機人數M單位：次)5025201510

(1)試根據以上數據，建立y關于x的回歸直線方程(結果保留一位小數)；

參考公式：線性回歸方程§=%+當中，bT-------,a=3-bx.

Yxi2~nx'