【10天刷完高考真題】沖刺2023年高考數學考前必刷題限時集訓練（新高考通

用）

新高考真題限時訓練打卡第三天

一、單選題（本題共6小題，每小題5分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求）

1.（2020?海南?高考真題）設集合A={2,3,5,7},8={1,2,3,5,8},則Ac5=（）

A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,

8）

【答案】C

【分析】根據集合交集的運算可直接得到結果.

【詳解】因為4，{2,3,5,7},8={1,2,3,5,8},所以A8={2,3,5}故選：C

【點睛】本題考查的是集合交集的運算，較簡單.

2.（2020,海南?高考真題）（l+2i）（2+i）=（）

A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i

【答案】B

【分析】直接計算出答案即可.

【詳解】（l+2i）（2+i）=2+i+4i+2i?=5i故選：B

【點睛】本題考查的是復數的計算，較簡單.

3.（2020?海南?高考真題）要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去一個

村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【答案】C

【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.

【詳解】第一步，將3名學生分成兩個組，有C：C；=3種分法

第二步，將2組學生安排到2個村，有段=2種安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6種故選：C

【點睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.

4.（2019?全國?高考真題）設a,夕為兩個平面，則a//夕的充要條件是

A.a內有無數條直線與月平行

B.a內有兩條相交直線與夕平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,4垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素

養，利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：a內兩條相交直線都與尸平行是a//4的充分條件，由

面面平行性質定理知，若。///，則a內任意一條直線都與夕平行，所以a內兩條相交直線

都與用平行是a//￡的必要條件，故選B.

【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，

憑主觀臆斷，如：“若aua,bu0,al/b,則a〃夕”此類的錯誤.

5.（2020?山東?統考高考真題）己知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則4PA8

的取值范圍是（）

A.（—2,6）B.（—6,2）

C.（—2,4）D.（—4,6）

【答案】A

【分析】首先根據題中所給的條件，結合正六邊形的特征，得到AP在"方向上的投影的

取值范圍是（-1，3）,利用向量數量積的定義式，求得結果.

【詳解】

A8的模為2,根據正六邊形的特征，

可以得到AP在AB方向上的投影的取值范圍是（-L3）,

結合向量數量積的定義式，

可知AP-AB等于AB的模與AP在4B方向上的投影的乘積，

所以APM8的取值范圍是（-2,6），故選：A.

【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關平面向量數量積的取值范圍，涉及到的知識點

有向量數量積的定義式，屬于簡單題目.

6.（2019?全國?高考真題）關于函數f（x）=sin|x|+|sin燈有下述四個結論：

①/W是偶函數②/（力在區間（『）單調遞增

③在［f旭有4個零點④/（x）的最大值為2

其中所有正確結論的編號是

A.①②④B.②④C.①④D.①③

【答案】C

【分析】化簡函數〃x)=sin|x|+卜inR,研究它的性質從而得出正確答案.

【詳解】7(—)=5詞-聞+而(-力|=$山區+忖11目=/(》),：./(力為偶函數，故①正確.當

1<x<萬時，/(x)=2sinx,它在區間(多兀)單調遞減，故②錯誤.當OVxW萬時，

/(x)=2sinx,它有兩個零點：()，兀；當一;T<X<0時，/(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它

有一個零點：-萬，故〃x)在[-兀，可有3個零點：-兀，0,兀，故③錯誤.當

xe[2&n:,2&n:+7r](%€N*)時,/(x)=2sinx；當xe[2左兀+兀，2女兀+2兀](keN")時,

/(x)=sinx-sinx=O,又〃x)為偶函數，\/(x)的最大值為2,故④正確.綜上所述,

①④正確，故選C.

【點睛】畫出函數/(x)=sin|x|+卜in^的圖象，由圖象可得①④正確，故選C.

二、多選題(本題共2小題，每小題5分，共10分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。)

7.(2020?山東?統考高考真題)下圖是函數y=sin(3x+@)的部分圖像，則sin(3x+@)=()

【答案】BC

【分析】首先利用周期確定。的值，然后確定夕的值即可確定函數的解析式，最后利用誘導

公式可得正確結果.

【詳解】由函數圖像可知：q==貝！1悶="=且=2,所以不選A,

2362T71

不妨令69=2,

271-q

當._37+6_51時,y=-l.,.2x—+—+2^（A:eZ）,

“=-2-=豆122

2、

解得：cp=2k兀+§萬（攵￡Z）,

即函數的解析式為：

y=sin(2x+g乃+24乃)=sin(2x+/+/)=cos(2x+=sin^-2x).

而cos(2x+w)=-COS(N—2x)故選：BC.

【點睛】已知f(x)=Asin(<ox+(p)(A>0,3>0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖

得出，困難的是求待定系數3和tp,常用如下兩種方法：

(1)由3=手即可求出3；確定<p時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零

點”橫坐標xO,則令(?xO+q>=O(或3x()+<p=7t),即可求出<p.

(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形

解出3和(P，若對A,3的符號或對<p的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.

8.(2020?山東?統考高考真題)信息端是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的

取值為1,2,,〃，且P(X=i)=R>0(i=l,2,,〃)5口=1,定義X的信息幅H(X)=￡pJog2A.

i=li=l

()

A.若n=l,則H(X)=0

B.若"=2,則H(X)隨著Pi的增大而增大

C.若丹=,，=1,2,則H(X)隨著"的增大而增大

n

D.若c=2m,隨機變量丫所有可能的取值為1,2,,機，且P(，=/)=%+0”"式/=1,2,,加)，

則H(X)<H(Y)

【答案】AC

【分析】對于A選項，求得“(X),由此判斷出A選項；對于B選項，利用特殊值法進行

排除；對于C選項，計算出“(X),利用對數函數的性質可判斷出C選項；對于D選項，

計算出，(x),〃(y),利用基本不等式和對數函數的性質判斷出D選項.

【詳解】對于A選項，若”=1,則，,=1，PI=1,所以"(X)=-(lxlog21)=0,所以A選項

正確.

對于B選項，若"=2,貝！|i=l,2,p2=1-p,,

所以"(X)=-[p「log2P1+(l-pJlog2(l—pJ],

當月=：時,W(X)=-^.log2l+llog2^,

當PL?時,/7(X)=-^log21+l-log2^,

兩者相等，所以B選項錯誤.

對于C選項,若Pi=_(i=1,2,,〃)，則

n

=--log,-xn=-log-=logn,

\nnJ2n2

則”(X)隨著”的增大而增大，所以C選項正確.

對于D選項，若〃=2機，隨機變量y的所有可能的取值為1,2,,加，且P(Y=j)=p.+p2m+l_j

(J=l,2,,m).

2叫1

lo

"(X)=-ZP,?log?Pi=EA-g2—

/=1f=lPi

,1,1,1,1

=P\,'O§2—+〃2.l°g2—++P2gl.1°g2------+。2,〃*l°g2------

P^PlP2m7P2m

H(y)=(R+0m)?log?---+(P2+P2mT).l°g?-------------++(P,“+l0gz------------

Pl+Pin,P-L+Plm-\Pm+P0

,1,1,1,1

=PI-Iog2-----------+p2log2-------------++p2m_l-log,-------------+p2m-log2-----------由于

Pl+P2,?P2+P2MTP2+P2ZPl+P2m

p.>0(z=l,2,,2m),所以一>---------,所以log,一>log2---------------

PiP,+P2,”+IPiPi+Pin^-i

,1,1

所以P,?log?—>0bg2--------------,

PiPi+P2m+1

所以“(x)>”(y),所以D選項錯誤.故選：AC

【點睛】本小題主要考查對新定義“信息燧”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的

能力，涉及對數運算和對數函數及不等式的基本性質的運用，屬于難題.

三、填空題(本題共2小題，每小題5分，共10分，其中第10題第一空2分，第二空3

分)

9.(2020?山東?統考高考真題)將數列｛2n-l｝與｛3n-2｝的公共項從小到大排列得到數列｛m｝,

則S"｝的前n項和為.

【答案13n2-2n

【分析】首先判斷出數列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝項的特征，從而判斷出兩個數列公共項所構成新

數列的首項以及公差，利用等差數列的求和公式求得結果.

【詳解】因為數列｛2〃-1｝是以1為首項，以2為公差的等差數列，

數列｛3〃-2｝是以1首項，以3為公差的等差數列，

所以這兩個數列的公共項所構成的新數列｛%｝是以1為首項，以6為公差的等差數列，

所以｛《,｝的前〃項和為〃」+若々&MS/-2”，故答案為：3〃2-2”.

【點睛】該題考查的是有關數列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數列的公共項構成新

數列的特征，等差數列求和公式，屬于簡單題目.

10.（2020?海南?高考真題）已知正方體ABCD-4&G5的棱長為2,M、N分別為B&、AB

的中點，則三棱錐4MMs的體積為

【答案】:

【分析】利用%一'皿=外."計算即可.

因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M、N分別為BB1、AB的中點

所以匕=%-麗=gxgxlxlx2=g

故答案為：g

【點睛】在求解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當成頂點好計算一些.

四、解答題（本題共3小題，共34分，其中第11題10分。解答應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟。）

11.（2020?海南?高考真題）已知公比大于1的等比數列｛《,｝滿足%+4=20,4=8.

（1）求｛““｝的通項公式；

（2）求4%-〃2。3+…+（T）"1anan+l-

o,2“+3

【答案】（1）q=2";（2）|-（-Dw^y-

【分析】（1）由題意得到關于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確

定數列的通項公式；

（2）首先求得數列］（-1廠'?！啊Ｓ茫耐椆剑缓蠼Y合等比數列前n項和公式求解其前n項

和即可.

【詳解】（1）設等比數列｛%｝的公比為q（q>l）,則卜+%；R+"W=20,

%=qq=o

整理可得：2/-5q+2=0,

q>l,q=2,%=2,

數列的通項公式為：4=2?2"-'=2".

+112+,

(2)由于:(-ifa?an+l=(-ifx2"x2"=(-if2",故:

1

?,?2-a2a3+...+(-1)"-anan+l

=23-*25*+27*-29+...+(-1),,-1-22n+i

I一22)

【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于

熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，等差數列與等比數列求和公式是數列求和的

基礎.

12.（2020?山東.統考高考真題）如圖，四棱錐P-ABCZ）的底面為正方形，PD0底面ABCZ）.設

平面PAD與平面PBC的交線為I.

（1）證明：應平面PZJC；

（2）已知PO=AO=1,。為/上的點，求PB與平面QC。所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）見.

3

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得4），平面PDC,利用線面平行的判定定理以

及性質定理，證得A￡>///,從而得到/上平面產。C；

（2）方法一:根據題意，建立相應的空間直角坐標系，得到相應點的坐標，設出點,

之后求得平面QCO的法向量以及向量P8的坐標，求得卜。$<"〃8>|的最大值，即為直線尸3

與平面Q8所成角的正弦值的最大值.

【詳解】（1）證明：

在正方形中，AD//BC,因為平面PBC,8Cu平面PBC,

所以〃平面PBC,又因為AOu平面PAO,平面R4￡?c平面P8C=/,

所以4）/〃，因為在四棱錐P-A8CD中，底面A8CD是正方形，所以A。DC,.」，OC,且

產。,平面ABC￡>,所以A。，？。.」，加，

因為CDPD=D,所以/，平面P￡）C.

(2)［方法一］【最優解】：通性通法

因為￡>P,ZM,OC兩兩垂直，建立空間直角坐標系。-孫z,如圖所示:

因為叨=AD=1,設。((),0,0),C(0,1,0),A(l,0,0),P(0,0,1),0),

設。(肛0,1),則有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,l),PB=(l,l-1),

設平面的法向量為n=(x,y9z),

猊:即仁…

令X=］,貝”=-，"，所以平面。8的一個法向量為"=(1,0,-根)，則

1+0+

cos<PB>=

HM+1

根據直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦

ruur|1+"2|

值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于Icos<4PB>|=

6JnF+1

g收音考乒考庠考g咚當且僅當會時取

等號，所以直線總與平面QC。所成角的正弦值的最大值為好.

3

［方法二］:定義法

如圖2,因為/u平面PBC,Qel,所以Qe平面PBC.

圖2

在平面PQC中，設PBQC=E.

在平面PAQ中，過P點作PF_L。。，交。。于F,連接EF.

因為PD_L平面ABCROCU平面ABCD,所以DCJLPD.

又由。CJ.AZ),A￡)PO=O,POu平面尸相＞,ADu平面PAD,所以。C_L平面PAD.又

PFu平面PAD,所以。C_LPF.又由。C=2Q。u平面QOC,。Cu平面

QDC,所以PF_L平面。DC,從而4EP即為PB與平面QC。所成角.

設PQ=a,在△尸。/)中，易求。尸

由VPQE與雙相似，得群震寸可得汨瞥

所以si"/號J=g方舟爭當且

僅當4=1時等號成立.

［方法三］:等體積法

如圖3,延長C8至G,使得8G=PQ,連接GQ,GD,則P8//QG,

過G點作GML平面QOC,交平面QDC于M,連接QM,則

NGQM即為所求.

設PQ=x,在三棱錐Q-OCG中，

VQ.DCG=^PD-CD(CB+BG)=^(1+X).

在三棱錐G-QDC中，20c=^GM-CDQD=^GM-V177.

由其-DCG=%-0￡>C得1（1+X）=2Ji+3,

o32

14-y

解得<y/2,

yjl+x2

當且僅當x=l時等號成立.

在此△尸D8中，易求PB=6=QG,所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值

為sinZMQG=

【整體點評】(2)方法一：根據題意建立空間直角坐標系，直線PB與平面QCD所成角的

正弦值即為平面QC。的法向量〃與向量P8的夾角的余弦值的絕對值，即再

根據基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優解；

方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角

形以及基本不等式即可求出；

方法三：巧妙利用P8〃QG,將線轉移，再利用等體積法求得點面距，利用直線PB與平面

QCD所成角的正弦值即為點面距與線段長度的比值的方法，即可求出.

13.（2020?山東?統考高考真題）已知橢圓C：4+衛=1（。>/,>0）的離心率為更，且過點

a-bl2

A（2,l）.

（1）求C的方程：

（2）點/，N在C上，且AM1.4V,AD^MN,。為垂足.證明：存在定點。，使得

為定值.

【答案】（1）［+4=1；（2）詳見解析.

o3

【分析】（1）由題意得到關于。,仇。的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.

（2）方法一：設出點M,N的坐標，在斜率存在時設方程為丫="+，”，聯立直線方程與橢

圓方程，根據已知條件，已得到機#的關系，進而得直線MN恒過定點，在直線斜率不存在

時要單獨驗證，然后結合直角三角形的性質即可確定滿足題意的點Q的位置.

也

a2

41

【詳解】（1）由題意可得：—+77=1,解得：片=6萬=/=3,

a~b~

a2=b2+c2

故橢圓方程為：4+v=i-

o3

（2）［方法一］:通性通法

設點”（芭,3）,陽毛,％）,

若直線MN斜率存在時，設直線MN的方程為：y=kx+m,

代入橢圓方程消去》并整理得：（1+2/卜2+4hnx+2病-6=0,

4km2m2-6

可得N+x=-

21+2/~\+2k2

因為AMJ.4V,所以AM.AN=0，即（芯一2）（/-2）+（乂-1）（%-1）=。,

根據X=g+〃?,％=小+加，代入整理可得：

2

（&2+1）工］工2+（〃加_后_2）（工］+x2）+（/w-l）+4=0,

所以+（袖T-2）（-7^T）+（〃IT）2+4=0,

1?4Ky1十乙K）

整理化簡得（2Z+3帆+1）（2%+加-1）=0,

因為4（2,1）不在直線上，所以歌

故2女+3，〃+l=0,k*l,于是MN的方程為y=^(x-g)-g僅片1),

所以直線過定點直線過定點P

當直線MN的斜率不存在時，可得"(不,-乂)，

由AAT4N=0得：(百-2)(%1-2)+(y)-1)=0,

得(玉一2y+l-y；=0,結合J+［=i可得：3X,2-8X,+4=0,

解得：占=：或月=2(舍).

32

此時直線MN過點?

令Q為”的中點，即

若。與「不重合，則由題設知4P是RtAADP的斜邊，故口口=/4尸|=手，

若力與P重合，則pQ|=g|AP|,故存在點。色4)，使得|92)為定值.

［方法二］【最優解】：平移坐標系

將原坐標系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標系下橢圓的方程為

在上生+包位=1,設直線MN的方程為m+犯，=4.將直線MV方程與橢圓方程聯立得

63

工2+4x+2)a+4)=0,BPx2+(nvc+ny)x4-2y2+(mx+ny)y=0,化簡得

(〃+2)y2+(/n4-ri)xy+(1+nt)x2=0,即(〃+2)(工)+(加+〃)())+(1+優)=0.

設M(%，X),N(X2，%)，因為則怎"匹="^=一1,即m=-〃一3.

%x2n+2

代入直線MN方程中得〃(y-x)-3x-4=0.則在新坐標系下直線MN過定點則

在原坐標系下直線MN過定點P

又ADLMN,D在以4P為直徑的圓上.AP的中點j即為圓心Q.經檢驗，直線MN垂

直于x軸時也成立.

故存在使得|DQ|=g|”|=孚.

［方法三］:建立曲線系

A點處的切線方程為竽+學=1,即x+y-3=0.設直線M4的方程為3-y-2K+i=0,

63

直線MB的方程為何x-y-2&+l=0,直線MN的方程為履-y+〃?=0.由題意得尢？&-1.

則過A,M,N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線M4,"8可表示為

<22、

—+-24+1）（221一,-222+1）=0（其中丸為系數）.

、63）

用直線MN及點A處的切線可表示為"（丘-），+帆）?*+￥-3）=。（其中〃為系數）.

/22、

即F——1+九y—2k［+y—2公+1）=〃（"一y+zzz）（x+y—3）.

I63J

對比個項、x項及y項系數得

」（1+3=〃（1T）,①

<2（4+4+/）=〃（加-3%）,②

22（^+22-1）=〃（帆+3）.③

21

將①代入②@,消去4〃并化簡得3w+24+1=0,即根=

故直線MN的方程為y"x-gj-g,直線MN過定點又